Exponențial matricial

În matematică , exponențialul matricial , denumit și funcția exponențială a matricei , este o funcție a setului de matrice pătrate , care este definită în mod analog funcției exponențiale obișnuite (scalare) . Exponențialul matricial stabilește legătura dintre algebra Lie și grupul Lie asociat .

definiție

Fii un adevarat sau complex - matrice . Exponențialul , care este notat cu sau , este matricea, care este definită de următoarea serie de puteri ( expansiunea Taylor ): ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle e ^ {X}}$${\ displaystyle \ exp (X)}$${\ displaystyle n \ times n}$

${\ displaystyle e ^ {X} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {X ^ {k}} {k!}} = E + X + {\ frac {X ^ {2 }} {2}} + \ dots}$.

Această serie, ca și cea a funcției exponențiale obișnuite , converge întotdeauna. Prin urmare, exponențialul lui este bine definit. Când este o matrice, exponențiala matricei este egală cu funcția exponențială obișnuită . O generalizare, care este utilă și pentru matrici infinite, este funcția exponențială a algebrelor Banach arbitrare . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle 1 \ times 1}$${\ displaystyle X}$

proprietăți

Exponențialul matricial împarte un număr de proprietăți ale funcției exponențiale obișnuite. De exemplu, exponențiala matricei - zero este egală cu matricea - unitate : ${\ displaystyle (n \ times n)}$ ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle (n \ times n)}$ ${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle e ^ {0} = E}$.

Pentru orice matrice complexă și orice numere și păstrări complexe${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle e ^ {aX} \ cdot e ^ {bX} = e ^ {(a + b) X}}$.

Urmează

${\ displaystyle e ^ {X} \ cdot e ^ {- X} = e ^ {(1-1) X} = e ^ {0} = E}$,

Asta inseamna

${\ displaystyle \ left (e ^ {X} \ right) ^ {- 1} = e ^ {- X}}$.

Matricea prea inversă denotă . ${\ displaystyle \ left (e ^ {X} \ right) ^ {- 1}}$${\ displaystyle e ^ {X}}$

Funcția exponențială satisface pentru toate numerele și . Același lucru este valabil și pentru matricile de navetă și , adică, oprit ${\ displaystyle e ^ {x + y} = e ^ {x} \, e ^ {y}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle X \ times Y = Y \ times X}$

urmează

${\ displaystyle e ^ {X + Y} = e ^ {X} \ cdot e ^ {Y}}$.

Această ecuație este în general incorectă pentru matricile care nu comută. În acest caz, se poate calcula cu ajutorul formulei Baker-Campbell-Hausdorff . ${\ displaystyle e ^ {X + Y}}$

Exponențialul matricei de transpus este egal cu transpunerea exponențialei de : ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ exp \ left (X ^ {\ mathrm {T}} \ right) = \ left (\ exp X \ right) ^ {\ mathrm {T}}}$

Rezultă că funcția exponențială matricea mapează matrici simetrice pentru matrici simetrice și matrici skew simetrice pentru matrici ortogonale . Relația dintre adjuncție și exponențiere se aplică în mod analog

${\ displaystyle \ exp \ left (X ^ {*} \ right) = \ left (\ exp X \ right) ^ {*}}$,

astfel încât matricea exponențială hărți matrici Hermitian la matrici Hermitian si skew Hermitian matrici de matrici unitare .

Se aplică și următoarele:

• Dacă este inversabil , atunci este .${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle e ^ {YXY ^ {- 1}} = Ye ^ {X} Y ^ {- 1}}$
• ${\ displaystyle \ det (e ^ {X}) = e ^ {{\ mbox {tr}} (X)}}$, Aici denotă Trasarea matricei pătrat .${\ displaystyle {\ mbox {tr}} (X)}$${\ displaystyle X}$
• ${\ displaystyle e ^ {\ operatorname {diag} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} = \ operatorname {diag} \ left (e ^ {x_ {1}}, \ ldots, e ^ { x_ {n}} \ right)}$.

Harta exponențială

Exponențialul unei matrice este întotdeauna o matrice inversabilă . Inversă a este dată de. Exponențialul matricial (complex) oferă astfel o mapare ${\ displaystyle e ^ {X}}$${\ displaystyle e ^ {- X}}$

${\ displaystyle \ exp \ colon M_ {n} (\ mathbb {C}) \ to {\ mbox {GL}} (n, \ mathbb {C})}$

din spațiul vectorial al tuturor matricilor (complexe) în grupul liniar general , grupul tuturor matricilor inversabile (complexe). Această mapare este surjectivă , adică fiecare matrice inversabilă (reală sau complexă) poate fi scrisă ca matrice exponențială a unei matrice complexe. Arhetipurile (sau secțiunile locale ) pot fi calculate folosind logaritmi matriciali . ${\ displaystyle (n \ times n)}$

Pentru fiecare două matrice și se aplică ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle \ | e ^ {X + Y} -e ^ {X} \ | \ leq \ | Y \ | e ^ {\ | X \ |} e ^ {\ | Y \ |}}$,

unde denotă orice normă matricială . Rezultă că maparea exponențială este continuă și chiar lipschitz continuă pe subseturi compacte de . Cu toate acestea, există o limită mai precisă pentru norma exponențialei matricei în sine ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {C})}$

${\ displaystyle \ | e ^ {X} \ | \ leq e ^ {\ mu (X)}}$

cu norma matricei logaritmice și gama numerică de valori . ${\ displaystyle \ mu}$

Atribuirea

${\ displaystyle t \ mapsto e ^ {tX}, \ qquad t \ in \ mathbb {R},}$

definește o curbă lină în grupul liniar general care dă matricea identității. Aceasta oferă un subgrup cu un singur parametru al grupului liniar general, da ${\ displaystyle t = 0}$

${\ displaystyle e ^ {tX} e ^ {sX} = e ^ {(t + s) X}}$

este aplicabil. Derivarea acestei funcții în punct este prin ${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} e ^ {tX} = Xe ^ {tX} \ qquad (1)}$

dat. Derivarea pentru este doar matricea , adică creează acest subgrup cu un singur parametru. ${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Mai general se aplică:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} e ^ {X (t)} = \ int _ {0} ^ {1} e ^ {(1- \ alpha) X (t)} {\ frac { dX (t)} {dt}} e ^ {\ alpha X (t)} d \ alpha}$

Exemple de algebre Lie și grupuri Lie asociate

Grup de minciuni	exemplu
Grup liniar general  ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n, K)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n) = \ {X \ în M_ {n} (\ mathbb {R}) \}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n) = \ {X \ în M_ {n} (\ mathbb {R}) \ vert \ det (X) \ neq 0 \}}$.
Grup ortogonal  ${\ displaystyle \ mathrm {O} (n, K)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {o}} (n) = \ {X \ în M_ {n} (\ mathbb {R}) \ vert X ^ {T} = - X \}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {O} (n) = \ {X \ în M_ {n} (\ mathbb {R}) \ vert X ^ {T} = X ^ {- 1} \}}$
Grup unitar  ${\ displaystyle \ mathrm {U} (n)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {u}} (n) = \ {X \ în M_ {n} (\ mathbb {C}) \ vert X ^ {*} = - X \}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {U} (n) = \ {X \ în M_ {n} (\ mathbb {C}) \ vert X ^ {*} = X ^ {- 1} \}}$
Grup unitar special  ${\ displaystyle \ mathrm {SU} (n)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2) = \ {X \ în M_ {2} (\ mathbb {C}) \ vert X ^ {*} = - X, \ operatorname {tr} (X) = 0 \}}$este mapat de la surjectiv la . ${\ displaystyle \ exp}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SU} (2) = \ {A \ în M_ {2} (\ mathbb {C}) \ vert A ^ {*} = A ^ {- 1}, \ det (A) = 1 \}}$
Grup ortogonal special  ${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n, K)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (n, \ mathbb {R}) = {\ mathfrak {o}} (n, \ mathbb {R}) = \ {X \ în M_ {n} (\ mathbb { R}) \ vert X ^ {T} = - X \}}$( matricile simetrice înclinate ) este mapat de la surjectiv la . ${\ displaystyle \ exp}$${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n, \ mathbb {R}) = \ {A \ în M_ {n} (\ mathbb {R}) \ vert A ^ {T} = A ^ {- 1}, \ det (A) = 1 \}}$
Grup liniar special  ${\ displaystyle \ mathrm {SL} (n, K)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})}$este mapat de la non- surjectiv la . Contraexemplul notoriu cu nu este în imaginea lui . ${\ displaystyle \ exp}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SL} (2, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -1 & a \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} \ in \ mathrm {SL} (2, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle a \ neq 0}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})}$

Din ultimul exemplu se poate observa că maparea exponențială pentru generarea grupurilor Lie (în funcție de algebra Lie) nu este, în general, surjectivă.

Ecuații diferențiale liniare

Unul dintre avantajele exponențialei matricei este că poate fi utilizat pentru rezolvarea sistemelor de ecuații diferențiale ordinare liniare , de ex. B. poate fi utilizat pentru modelul spațiului de stare al sistemelor de transmisie dinamică. De exemplu, din ecuația (1) de mai sus rezultă că soluția problemei valorii inițiale

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} y (t) = Ay (t), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}}$

cu o matrice pătrată de ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle y (t) = e ^ {A (t-t_ {0})} y_ {0}}$

dat este.

Exponențialul matricial poate fi, de asemenea, utilizat pentru a rezolva ecuația neomogenă

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} y (t) = Ay (t) + z (t), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}}$,

fi folosit. Exemple pot fi găsite mai jos în capitolul Aplicații .

Pentru ecuațiile diferențiale ale formei

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} y (t) = A (t) \, y (t), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}}$

cu neconstanta nu exista in general solutii inchise. Seria Magnus , cu toate acestea, oferă o soluție generală în notație matrice prin funcția exponențială matrice , chiar și în cazul unor coeficienți non-constante (ca o serie infinită de exponent).${\ displaystyle A}$

Calculul exponențialei matricei

Seria Taylor

Funcția exponențială a matricei și, în principiu, poate fi calculată utilizând expansiunea sa Taylor: ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ exp (At) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {A ^ {k} t ^ {k}} {k!}} = E + At + {\ frac {A ^ {2} t ^ {2}} {2}} + {\ frac {A ^ {3} t ^ {3}} {6}} + {\ frac {A ^ {4} t ^ {4 }} {24}} + \ cdots}$

Aici se referă la facultatea de . Dacă precizia este suficientă (seria este absolut convergentă), seria ar trebui să se încheie la un număr finit de etape de calcul. Cu cât intrările din matrice sunt mai mari, cu atât mai mulți termeni din serie trebuie calculați (de exemplu, pentru rezolvarea ecuației diferențiale liniare pentru o etapă mare de timp). Pentru a îmbunătăți algoritmul soluției în acest sens, intrările din matrice pot fi scalate elegant folosind regula de calcul (metoda „Scaling & Squaring”). Dacă norma matricială (naturală) nu este prea mare, seria poate fi calculată și folosind aproximarea Padé . Metoda scalării și a pătratului are o cheltuială de ordinul mărimii (în esență multiplicări matrice ). Factorul depinde de parametrii de scalare și, în special, de standardul matricei. ${\ displaystyle k!}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle e ^ {At} = (e ^ {At / m}) ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ | At \ |}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (n ^ {3})}$${\ displaystyle n ^ {3}}$

Nilul cădere puternică

O matrice este nilpotentă dacă este valabilă pentru un număr natural adecvat . În acest caz, expansiunea în serie a se întrerupe după un număr finit de termeni și exponențialul matricei poate fi folosit ca ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N ^ {q} = 0}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle e ^ {N}}$

${\ displaystyle \ exp (N) = E + N + {\ frac {1} {2}} N ^ {2} + {\ frac {1} {6}} N ^ {3} + \ cdots + {\ frac {1} {(q-1)!}} N ^ {q-1}}$

fi calculat.

Diagonalizarea matricei

Este matricea o matrice diagonală${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle D = {\ begin {pmatrix} a_ {1} & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & a_ {2} & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ ldots & a_ {n} \ end {pmatrix}}}$,

atunci se poate găsi exponențialul său aplicând funcția exponențială obișnuită la fiecare intrare a diagonalei principale :

${\ displaystyle e ^ {D} = {\ begin {pmatrix} e ^ {a_ {1}} & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & e ^ {a_ {2}} & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ ldots & e ^ {a_ {n}} \ end {pmatrix}}}$.

Cu aceasta se poate calcula și exponențialul unei matrice diagonalizabile . Pentru diagonalizare ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle A = VDV ^ {- 1}}$

cu o matrice diagonală , se determină baza proprie asociată și - valorile proprii ale matricei . Pentru funcția exponențială a matricei rezultă din aceasta ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ exp (At) = Ve ^ {Dt} \, V ^ {- 1} = V \ operatorname {diag} (e ^ {\ lambda _ {1} t}, e ^ {\ lambda _ {2 } t}, \ dotsc, e ^ {\ lambda _ {n} t}) \, V ^ {- 1}}$

cu funcția exponențială obișnuită . Dovada rezultă direct din expansiunea Taylor a funcției exponențiale. ${\ displaystyle e ^ {\ lambda _ {i} t}}$

Diagonalizarea matricei, precum algoritmul QR sau forma normală Jordan , aparține metodelor de descompunere a matricei pentru calcularea funcției exponențiale. Diagonalizarea și algoritmul QR au fiecare un efort de ordinul mărimii și, în comparație cu metodele bazate pe expansiunea Taylor, sunt independente de . Efortul principal de calcul (aici: determinarea valorilor proprii și a vectorilor proprii ) este, de asemenea, independent de variabile . Pentru a rezolva, de exemplu, ecuațiile diferențiale liniare pentru mai mulți pași de timp , această cantitate de muncă trebuie făcută o singură dată. Calculul etapelor de timp ulterioare se efectuează cu metoda de diagonalizare prin multiplicare simplă a matricei și cu algoritmul QR efortul este doar în ordinea mărimii . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (n ^ {3})}$${\ displaystyle \ | At \ |}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (n ^ {2})}$

exemplul 1

Următoarea funcție exponențială a matricei trebuie calculată:

${\ displaystyle \ exp (At) = \ exp \ left [{\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ a_ {2,1} & a_ {2,2} \ end {pmatrix}} t \ right]}$.

În acest scop, matricea este diagonalizată mai întâi folosind valorile proprii și vectorii proprii. Cu matricea diagonală și baza proprie, urmează: ${\ displaystyle (2 \ times 2)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle \ exp (At) = Ve ^ {Dt} \, V ^ {- 1} = V {\ begin {pmatrix} e ^ {\ lambda _ {1} t} & 0 \\ 0 & e ^ { \ lambda _ {2} t} \ end {pmatrix}} V ^ {- 1}}$.

Valorile proprii ale polinomului caracteristic determinate la

${\ displaystyle \ lambda _ {1,2} = {\ frac {a_ {2,2}} {2}} \ pm {\ sqrt {\ left ({\ frac {a_ {2,2}} {2} } \ dreapta) ^ {2} + a_ {2,1}}}}$.

Următoarele se aplică celor doi vectori proprii sau bazei proprii:

${\ displaystyle V = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\\ lambda _ {1} & \ lambda _ {2} \ end {pmatrix}} ~~~}$la fel de ${\ displaystyle ~~ V ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ lambda _ {2} - \ lambda _ {1}}} {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {2} & - 1 \ \ - \ lambda _ {1} & 1 \ end {pmatrix}}}$

Înlocuirea funcției exponențiale a matricei produce în cele din urmă

${\ displaystyle \ exp (At) = {\ frac {1} {\ lambda _ {2} - \ lambda _ {1}}} {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {2} e ^ {\ lambda _ { 1} t} - \ lambda _ {1} e ^ {\ lambda _ {2} t} & e ^ {\ lambda _ {2} t} -e ^ {\ lambda _ {1} t} \\\ lambda _ {1} \ lambda _ {2} (e ^ {\ lambda _ {1} t} -e ^ {\ lambda _ {2} t}) & \ lambda _ {2} e ^ {\ lambda _ {2 } t} - \ lambda _ {1} e ^ {\ lambda _ {1} t} \ end {pmatrix}}}$

ca o soluție analitică închisă.

Exemplul 2

Funcția exponențială a matricei

${\ displaystyle \ exp (At) = \ exp \ left [{\ begin {pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & -5 \ end {pmatrix}} t \ right] = {\ begin {pmatrix} (1 + 4t) e ^ {- t} & - 4th ^ {- t} \\ 4th ^ {- t} & (1-4t) e ^ {- t} \ end {pmatrix}}}$

are o soluție, dar matricea însăși nu poate fi diagonalizată. Matricea are cele două valori proprii . Deși valoarea proprie are multiplicitatea algebrică 2, există un singur vector propriu liniar independent. Baza din vectorii proprii ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ lambda _ {1,2} = - 1}$

${\ displaystyle V = {\ begin {pmatrix} a_ {2,1} & a_ {2,1} \\\ lambda _ {1} -a_ {1,1} & \ lambda _ {2} -a_ {1 , 1} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -4 & -4 \\ - 4 & -4 \ end {pmatrix}}}$

nu poate fi inversat . Discriminantul polinomului caracteristic

${\ displaystyle D_ {2} = \ left ({\ frac {a_ {1,1} -a_ {2,2}} {2}} \ right) ^ {2} + a_ {1,2} \, a_ {2,1} = \ left ({\ frac {3 - (- 5)} {2}} \ right) ^ {2} -16}$

devine mereu zero. În acest caz, adică atunci când apar aceleași valori proprii sau vectori proprii, forma normală Jordan poate fi utilizată pentru transformare.

Metoda de divizare

Dacă polinomul minim (sau polinomul caracteristic ) al matricei se descompune în factori liniari (acesta este întotdeauna cazul de mai sus ), atunci poate fi fără echivoc într-o sumă ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle X = A + N}$

fi dezasamblat, cu

• ${\ displaystyle A}$ este diagonalizabil,
• ${\ displaystyle N}$ este nilpotent și
• ${\ displaystyle A}$comutează cu (adică ).${\ displaystyle N}$${\ displaystyle AN = NA}$

Acest lucru vă permite exponențială de încărcare, prin reducerea acestuia la cazurile de mai sus: . În ultimul pas aveți nevoie de comutativitatea lui și . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle e ^ {X} = e ^ {A + N} = e ^ {A} e ^ {N}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle N}$

Utilizarea formei normale Jordan

O altă metodă este de a utiliza forma normală Jordan a , care este de asemenea folosit metoda de despicare. Fie forma normală a lui Jordan cu matricea de schimbare a bazei , atunci ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle e ^ {X} = Pe ^ {J} P ^ {- 1}.}$

pentru că

${\ displaystyle J = J_ {a_ {1}} (\ lambda _ {1}) \ oplus J_ {a_ {2}} (\ lambda _ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus J_ {a_ {n}} (\ lambda _ {n})}$

este aplicabil

${\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {J} & = \ exp {\ big (} J_ {a_ {1}} (\ lambda _ {1}) \ oplus J_ {a_ {2}} (\ lambda _ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus J_ {a_ {n}} (\ lambda _ {n}) {\ big)} \\ & = \ exp {\ big (} J_ {a_ {1}} ( \ lambda _ {1}) {\ big)} \ oplus \ exp {\ big (} J_ {a_ {2}} (\ lambda _ {2}) {\ big)} \ oplus \ cdots \ oplus \ exp { \ big (} J_ {a_ {k}} (\ lambda _ {k}) {\ big)}. \ end {align}}}$

Prin urmare, trebuie doar să cunoaștem exponențialul unui bloc Jordan. Acum, fiecare bloc Jordan are o formă

${\ displaystyle J_ {a} (\ lambda) = \ lambda \, E + N,}$

unde este o matrice nilpotentă specială. Deci exponențialul blocului Jordan este ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle e ^ {\ lambda E + N} = e ^ {\ lambda} e ^ {N}.}$

exemplu

Uită-te la matrice

${\ displaystyle B = {\ begin {pmatrix} 21 & 17 & 6 \\ - 5 & -1 & -6 \\ 4 & 4 & 16 \ end {pmatrix}}}$,

care este forma normală a Iordaniei

${\ displaystyle J = P ^ {- 1} BP = {\ begin {pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 1 \\ 0 & 0 & 16 \ end {pmatrix}}}$

cu matricea de tranziție

${\ displaystyle P = {\ begin {pmatrix} -1 & 1 & {\ tfrac {5} {8}} \\ 1 & -1 & - {\ tfrac {1} {8}} \\ 0 & 2 & 0 \ end {pmatrix}}}$

Are. Atunci se aplică

${\ displaystyle J = J_ {1} (4) \ oplus J_ {2} (16)}$

și

${\ displaystyle e ^ {B} = Pe ^ {J} P ^ {- 1} = P (e ^ {J_ {2} (16)} \ oplus e ^ {J_ {1} (4)}) P ^ {-1}}$.

La fel este

${\ displaystyle \ exp \ left [{\ begin {pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 16 \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} \ dreapta] = e ^ {16} E \ cdot \ left [{\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} + {1 \ over 2!} {\ Begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} + \ cdots \ right] = {\ begin {pmatrix} e ^ {16 } & e ^ {16} \\ 0 & e ^ {16} \ end {pmatrix}}}$.

Exponențiala unei matrice 1 × 1 este banală. Cu urmează ${\ displaystyle e ^ {J_ {1} (4)} = e ^ {4}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ exp (B) & = P \ exp (J) P ^ {- 1} = P {\ begin {pmatrix} e ^ {4} & 0 & 0 \\ 0 & e ^ {16} & e ^ {16} \\ 0 & 0 & e ^ {16} \ end {pmatrix}} P ^ {- 1} \\ [6pt] & = {1 \ over 4} {\ begin { pmatrix} 13e ^ {16} -e ^ {4} & 13e ^ {16} -5e ^ {4} & 2e ^ {16} -2e ^ {4} \\ - 9e ^ {16} + e ^ {4 } & - 9e ^ {16} + 5e ^ {4} & - 2e ^ {16} + 2e ^ {4} \\ 16e ^ {16} & 16e ^ {16} & 4e ^ {16} \ end {pmatrix }}. \ End {align}}}$

Calculând forma normală a Iordanului și din aceasta exponențialul este foarte plictisitor în acest fel. De obicei, este suficient să se calculeze efectul matricei exponențiale asupra câtorva vectori.

Calcul numeric

Descompunerea formei normale Jordan este instabilă numeric deoarece, datorită aritmeticii în virgulă mobilă, sunt introduse erori de rotunjire în valorile proprii, ceea ce face imposibilă gruparea valorilor proprii în grupuri de valori proprii identice. Prin urmare, alte tehnici pentru calcularea exponențialei matricei sunt utilizate în numerică. Cei mai eficienți algoritmi disponibili includ aproximarea Padé cu scalare și pătrat (vezi calculul utilizând seria Taylor ) sau metodele de descompunere a matricei , cum ar fi diagonalizarea matricei . În cazul matricilor mari, efortul de calcul poate fi redus și prin utilizarea spațiilor Krylow ale căror vectori de bază au fost ortogonalizați cu metoda Arnoldi .

Algoritm mai curat

O altă posibilitate de a calcula exponența matricei este algoritmul Putzer. Cu o matrice dată și recursiv, sunt definite funcții și matrice diferențiate continuu , astfel încât: ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle p_ {k}}$${\ displaystyle M_ {k}}$

${\ displaystyle \ exp (At) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} p_ {k} (t) M_ {k-1}}$

Soluția exponențialei matricei unei matrice se obține ca polinom. Calculul are un efort de ordinul mărimii (calculul valorilor proprii și, în special, înmulțirea matricii) și, prin urmare, este potrivit doar pentru matricile mici. ${\ displaystyle (n \ times n)}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (n ^ {4})}$${\ displaystyle n}$

Aplicații

Ecuații diferențiale liniare omogene

Exponențialul matricial poate fi utilizat pentru a rezolva un sistem de ecuații diferențiale liniare . O ecuație diferențială a formei

${\ displaystyle y '= Cy}$

are soluția . Dacă aveți vectorul ${\ displaystyle e ^ {Ct}}$

${\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = {\ begin {pmatrix} y_ {1} (t) \\\ vdots \\ y_ {n} (t) \ end {pmatrix}}}$

considerat, atunci se poate considera un sistem de ecuații diferențiale liniare cuplate ca

${\ displaystyle \ mathbf {y} '(t) = A \ mathbf {y} (t) + \ mathbf {b}}$.

Dacă aplicați factorul de integrare și multiplicați pe ambele părți, veți obține ${\ displaystyle e ^ {- tA}}$

${\ displaystyle e ^ {- tA} \ mathbf {y} '(t) -e ^ {- tA} A \ mathbf {y} = e ^ {- tA} \ mathbf {b}}$,

${\ displaystyle D (e ^ {- tA} \ mathbf {y}) = e ^ {- tA} \ mathbf {b}}$.

Dacă se calculează, se obține o soluție a sistemului de ecuații diferențiale. ${\ displaystyle e ^ {tA}}$

Exemplu (omogen)

Se dă următorul sistem de ecuații diferențiale

${\ displaystyle {\ begin {align} y_ {1} '& = 3y_ {1} -y_ {2}, \\ y_ {2}' & = y_ {1} + y_ {2}. \ end {align} }}$

Poate fi scris folosind matricea coeficientului ${\ displaystyle y '(t) = Ay (t)}$

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}}}$.

Aceasta oferă matricea asociată exponențială la

${\ displaystyle e ^ {tA} = e ^ {2t} {\ begin {pmatrix} 1 + t & -t \\ t & 1-t \ end {pmatrix}}}$.

Se obține astfel soluția generală a sistemului de ecuații diferențiale

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} y_ {1} (t) \\ y_ {2} (t) \ end {pmatrix}} = C_ {1} e ^ {2t} {\ begin {pmatrix} 1 + t \\ t \ end {pmatrix}} + C_ {2} e ^ {2t} {\ begin {pmatrix} -t \\ 1-t \ end {pmatrix}}}$.

Caz neomogen - variație a constantelor

Pentru cazul neomogen se poate folosi o metodă similară cu variația constantelor . Se caută o soluție a formularului : ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {p} (t) = e ^ {tA} \ mathbf {z} (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {p} '= (e ^ {tA})' \ mathbf {z} (t) + e ^ {tA} \ mathbf {z} '(t) = Ae ^ {tA } \ mathbf {z} (t) + e ^ {tA} \ mathbf {z} '(t) = A \ mathbf {y} _ {p} (t) + e ^ {tA} \ mathbf {z}' (t)}$

Pentru a găsi soluția , pariați ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {p}}$

${\ displaystyle e ^ {tA} \ mathbf {z} '(t) = \ mathbf {b} (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {z} '(t) = (e ^ {tA}) ^ {- 1} \ mathbf {b} (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {z} (t) = \ int _ {0} ^ {t} e ^ {- uA} \ mathbf {b} (u) \, du + \ mathbf {c}}$

Acest lucru are ca rezultat

${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {p} = e ^ {tA} \ int _ {0} ^ {t} e ^ {- uA} \ mathbf {b} (u) \, du + e ^ {tA } \ mathbf {c} = \ int _ {0} ^ {t} e ^ {(tu) A} \ mathbf {b} (u) \, du + e ^ {tA} \ mathbf {c}}$,

unde este determinat de condițiile inițiale. ${\ displaystyle c}$

Exemplu (neomogen)

Este dat sistemul de ecuații diferențiale

${\ displaystyle {\ begin {align} y_ {1} '& = 3y_ {1} -y_ {2} -2e ^ {t}, \\ y_ {2}' & = y_ {1} + y_ {2} -e ^ {t}. \ end {align}}}$

Sistemul se scrie cu matricea de mai sus ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle y '(t) = Ay (t) + b (t)}$

cu

${\ displaystyle b (t) = e ^ {t} {\ begin {pmatrix} -2 \\ - 1 \ end {pmatrix}}}$.

Soluția generală a ecuației omogene a fost deja calculată mai sus. Suma soluțiilor omogene și speciale are ca rezultat soluția pentru problema neomogenă. Trebuie doar să găsiți o soluție specială (prin variația constantelor). Din ecuația de mai sus obținem: ${\ displaystyle y_ {p} (t)}$

${\ displaystyle y_ {p} (t) = e ^ {tA} \ int _ {0} ^ {t} e ^ {- uA} b (u) \, tu}$,

asa de

${\ displaystyle y_ {p} (t) = e ^ {2t} {\ begin {pmatrix} 1 + t & -t \\ t & 1-t \ end {pmatrix}} \ int _ {0} ^ {t } e ^ {-2u} {\ begin {pmatrix} 1-u & u \\ - u & 1 + u \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} -2e ^ {u} \\ - e ^ { u} \ end {pmatrix}} \, du = {\ begin {pmatrix} -e ^ {2t} (1 + t) + e ^ {t} \\ - te ^ {2t} \ end {pmatrix}}}$.

Vezi si

• Matrici
• Logaritmul matricei
• Functie exponentiala
• Cartarea exponențială

literatură

• Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Subiecte în analiza matricială . Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-46713-6 (engleză).
• Cleve Moler, Charles F. Van Loan: nouăsprezece moduri dubioase de a calcula exponențialul unei matrice, douăzeci și cinci de ani mai târziu . În: SIAM Review . bandă 45 , nr. 1 , 2003, ISSN  1095-7200 , p. 1-49 , doi : 10.1137 / S00361445024180 ( cornell.edu [PDF]). 
• VI Arnolʹd: Ecuații diferențiale ordinare . Springer-Verlag, Berlin / New York 1980, ISBN 3-540-09216-1 .

Dovezi individuale

1. ^ S. Blanes, F. Casas, JA Oteo, J. Ros: expansiunea Magnus și unele dintre aplicațiile sale. (= Rapoarte fizice. Volumul 470). Biblioteca Universității Cornell, 2009, OCLC 635162561 .
2. ↑ T. Möller: Simulare simbolică bazată pe matematică a spațiilor cilindrilor pentru ciclurile de regenerare a gazelor. În: Int J Energy Environ Ing. Springer Berlin / Heidelberg, februarie 2015. http://link.springer.com/article/10.1007/s40095-015-0163-3