Wykładnicza macierz

W matematyce The wykładniczy matrycy , określany również jako funkcję wykładniczą matrycy , to funkcja o zestaw matryc kwadratowych , który jest zdefiniowany w sposób analogiczny do zwykle (skalarne) funkcji wykładniczej . Wykładnicza macierz ustanawia połączenie między algebrą Liego a powiązaną grupą Liego .

definicja

Być rzeczywistym lub kompleks - matryca . Wykładnik , który jest oznaczony przez lub , jest macierzą zdefiniowaną przez następujący szereg potęgowy ( rozwinięcie Taylora ): ${\ styl wyświetlania X}$ ${\ styl wyświetlania n \ razy n}$${\ styl wyświetlania X}$${\ styl wyświetlania e ^ {X}}$${\ styl wyświetlania \ exp (X)}$${\ styl wyświetlania n \ razy n}$

${\ displaystyle e ^ {X} = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {X ^ {k}} {k!}} = E + X + {\ frac {X ^ {2 } } {2}} + \ kropki}$.

Szereg ten, podobnie jak w przypadku zwykłej funkcji wykładniczej , jest zawsze zbieżny . Dlatego wykładnik jest dobrze zdefiniowany. Kiedy macierzy wykładniczy matryca jest równa zwykłej funkcji wykładniczej . Uogólnieniem, użytecznym również dla macierzy nieskończonych, jest funkcja wykładnicza na dowolnych algebrach Banacha . ${\ styl wyświetlania X}$${\ styl wyświetlania X}$${\ styl wyświetlania 1 \ razy 1}$${\ styl wyświetlania X}$

nieruchomości

Wykładnicza macierz ma szereg właściwości zwykłej funkcji wykładniczej. Na przykład, w wykładniczej - zerowej macierzy jest równa - macierzą jednostkową : ${\ styl wyświetlania (n \ razy n)}$ ${\ styl wyświetlania 0}$${\ styl wyświetlania (n \ razy n)}$ ${\ styl wyświetlania E}$

${\ styl wyświetlania e ^ {0} = E}$.

Dla dowolnych macierzy zespolonych i dowolnych liczb zespolonych i uchwytów ${\ styl wyświetlania n \ razy n}$${\ styl wyświetlania X}$${\ styl wyświetlania a}$${\ styl wyświetlania b}$

${\ displaystyle e ^ {aX} \ cdot e ^ {bX} = e ^ {(a + b) X}}$.

Wynika

${\ displaystyle e ^ {X} \ cdot e ^ {- X} = e ^ {(1-1) X} = e ^ {0} = E}$,

To znaczy

${\ styl wyświetlania \ po lewej (e ^ {X} \ po prawej) ^ {-1} = e ^ {- X}}$.

Zbyt odwrócona macierz oznacza . ${\ styl wyświetlania \ lewy (e ^ {X} \ prawy) ^ {-1}}$${\ styl wyświetlania e ^ {X}}$

Funkcja wykładnicza spełnia wszystkie liczby i . To samo dotyczy macierzy dojazdów i , czyli off ${\ displaystyle e ^ {x + y} = e ^ {x} \, e ^ {y}}$${\ styl wyświetlania x}$${\ styl wyświetlania y}$${\ styl wyświetlania X}$${\ styl wyświetlania Y}$

${\ styl wyświetlania X \ razy Y = Y \ razy X}$

następuje

${\ displaystyle e ^ {X + Y} = e ^ {X} \ cdot e ^ {Y}}$.

To równanie jest generalnie niepoprawne w przypadku macierzy nieprzemiennych. W tym przypadku można obliczyć za pomocą wzoru Bakera-Campbella-Hausdorffa . ${\ styl wyświetlania e ^ {X + Y}}$

Wykładniczy macierzy do transpozycji jest równy transpozycji wykładniczej : ${\ styl wyświetlania X}$ ${\ styl wyświetlania X}$

${\ displaystyle \ exp \ po lewej (X ^ {\ matematyka {T}} \ po prawej) = \ po lewej (\ exp X \ po prawej) ^ {\ matematyka {T}}}$

Wynika z tego, że czynność MATRIX wykładniczej odwzorowuje symetrycznych matryc symetrycznych macierzy i macierzy skosu symetryczny do macierzy ortogonalnych . Analogicznie stosuje się zależność między adjunkcją i potęgowaniem

${\ displaystyle \ exp \ lewy (X ^ {*} \ prawy) = \ lewy (\ exp X \ prawy) ^ {*}}$,

tak, że funkcja wykładnicza macierzy odwzorowuje macierze hermitowskie na macierze hermitowskie i pochyla macierze hermitowskie do macierzy unitarnych .

Obowiązują również następujące zasady:

• Jeśli jest odwracalne , to jest .${\ styl wyświetlania Y}$ ${\ displaystyle e ^ {YXY ^ {-1}} = Ye ^ {X} Y ^ {-1}}$
• ${\ displaystyle \ det (e ^ {X}) = e ^ {{\ mbox {tr}} (X)}}$, Tu oznacza się ślady w macierzy kwadratowej .${\ displaystyle {\ mbox {tr}} (X)}$${\ styl wyświetlania X}$
• ${\ styl wyświetlania e ^ {\ nazwa operatora {diag} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} = \ nazwa operatora {diag} \ lewo (e ^ {x_ {1}}, \ ldots, e ^ { x_ {n}} \ prawy)}$.

Mapa wykładnicza

Wykładnik macierzy jest zawsze macierzą odwracalną . Odwrotny od jest podane przez. Wykładnicza (złożona) macierz zapewnia zatem odwzorowanie ${\ styl wyświetlania e ^ {X}}$${\ styl wyświetlania e ^ {- X}}$

${\ displaystyle \ exp \ dwukropek M_ {n} (\ mathbb {C}) \ do {\ mbox {GL}} (n, \ mathbb {C})}$

z przestrzeni wektorowej wszystkich macierzy (złożonych) do ogólnej grupy liniowej , grupy wszystkich macierzy odwracalnych (złożonych). To odwzorowanie jest surjektywne , tj. każda (rzeczywista lub złożona) macierz odwracalna może być zapisana jako macierz wykładnicza złożonej macierzy. Archetypy (lub przekroje lokalne ) można obliczyć za pomocą logarytmów macierzowych . ${\ styl wyświetlania (n \ razy n)}$

Na każde dwie macierze i dotyczy ${\ styl wyświetlania X}$${\ styl wyświetlania Y}$

${\ displaystyle \ | e ^ {X + Y} -e ^ {X} \ | \ leq \ | Y \ | e ^ {\ | X \ |} e ^ {\ | Y \ |}}$,

gdzie oznacza dowolną normę macierzy . Wynika z tego, że mapowanie wykładnicze jest ciągłe, a nawet ciągłe lipschitz na zwartych podzbiorach . Istnieje jednak dokładniejsze ograniczenie normy samej macierzy wykładniczej ${\ styl wyświetlania \ | \ cdot \ |}$${\ styl wyświetlania M_ {n} (\ mathbb {C})}$

${\ displaystyle \ | mi ^ {X} \ | \ leq e ^ {\ mu (X)}}$

z normą macierzy logarytmicznej i zakresem liczbowym wartości . ${\ styl wyświetlania \ mu}$

Przydzial

${\ displaystyle t \ mapsto e ^ {tX}, \ qquad t \ in \ mathbb {R},}$

definiuje gładką krzywą w ogólnej grupie liniowej, która daje macierz tożsamości. Zapewnia to jednoparametrową podgrupę ogólnej grupy liniowej, da ${\ styl wyświetlania t = 0}$

${\ displaystyle e ^ {tX} e ^ {sX} = e ^ {(t + s) X}}$

ma zastosowanie. Wyprowadzenie tej funkcji w punkcie jest przez ${\ styl wyświetlania t}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} e ^ {tX} = Xe ^ {tX} \ qquad (1)}$

dany. Wyprowadzenie for to tylko macierz , czyli tworzy tę jednoparametrową podgrupę. ${\ styl wyświetlania t = 0}$${\ styl wyświetlania X}$${\ styl wyświetlania X}$

Bardziej ogólnie stosuje się:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} e ^ {X (t)} = \ int _ {0} ^ {1} e ^ {(1- \ alfa) X (t)} {\ frac { dX (t)} {dt}} e ^ {\ alfa X (t)} d \ alfa}$

Przykłady algebr Liego i powiązanych grup Liego

Grupa kłamstw	przykład
Ogólna grupa liniowa  ${\ styl wyświetlania \ matematyka {GL} (n, K)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n) = \ {X \ w M_ {n} (\ mathbb {R}) \}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n) = \ {X \ in M_ {n} (\ mathbb {R}) \ vert \ det (X) \ neq 0 \}}$.
Grupa ortogonalna  ${\ styl wyświetlania \ matematyka {O} (n, K)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {o}} (n) = \ {X \ w M_ {n} (\ mathbb {R}) \ vert X ^ {T} = - X \}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {O} (n) = \ {X \ w M_ {n} (\ mathbb {R}) \ vert X ^ {T} = X ^ {-1} \}}$
Grupa jednostkowa  ${\ styl wyświetlania \ matematyka {U} (n)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {u}} (n) = \ {X \ w M_ {n} (\ mathbb {C}) \ vert X ^ {*} = - X \}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {U} (n) = \ {X \ w M_ {n} (\ mathbb {C}) \ vert X ^ {*} = X ^ {-1} \}}$
Specjalna grupa unitarna  ${\ styl wyświetlania \ matematyka {SU} (n)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2) = \ {X \ w M_ {2} (\ mathbb {C}) \ vert X ^ {*} = - X, \ operatorname {tr} (X) = 0 \}}$jest mapowany z suriektywu do . ${\ styl wyświetlania \ exp}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SU} (2) = \ {A \ w M_ {2} (\ mathbb {C}) \ vert A ^ {*} = A ^ {-1}, \ det (A) = 1 \}}$
Specjalna grupa ortogonalna  ${\ styl wyświetlania \ matematyka {SO} (n, K)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {tak}} (n, \ mathbb {R}) = {\ mathfrak {o}} (n, \ mathbb {R}) = \ {X \ w M_ {n} (\ mathbb { R}) \ vert X ^ {T} = - X \}}$( skośne macierze symetryczne ) jest mapowane od suriektywnej do . ${\ styl wyświetlania \ exp}$${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n, \ mathbb {R}) = \ {A \ w M_ {n} (\ mathbb {R}) \ vert A ^ {T} = A ^ {-1}, \ det (A) = 1 \}}$
Specjalna grupa liniowa  ${\ styl wyświetlania \ matematyka {SL} (n, K)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})}$jest mapowany z nie- suriekcją do . Notoryczny kontrprzykład z nie jest na obrazie . ${\ styl wyświetlania \ exp}$ ${\ styl wyświetlania \ mathrm {SL} (2, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle {\ początek {pmatrix} -1 i \\ 0 i -1 \ koniec {pmatrix}} \ w \ mathrm {SL} (2, \ mathbb {C})}$${\ styl wyświetlania a \ neq 0}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})}$

Z ostatniego przykładu widać, że mapowanie wykładnicze dla generowania grup Liego (w zależności od algebry Liego) generalnie nie jest surjektywne.

Liniowe równania różniczkowe

Jedną z zalet macierzy wykładniczej jest to, że można ją wykorzystać do rozwiązywania układów liniowych równań różniczkowych zwyczajnych , np. B. może być wykorzystany do modelu przestrzeni stanów dynamicznych układów transmisyjnych. Na przykład z równania (1) powyżej wynika, że ​​rozwiązanie problemu wartości początkowej

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} y (t) = Ay (t), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}}$

z macierzą kwadratową według ${\ styl wyświetlania A}$

${\ styl wyświetlania y (t) = e ^ {A (t-t_ {0})} y_ {0}}$

dane jest.

Wykładniczą macierz można również wykorzystać do rozwiązania równania niejednorodnego

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} y (t) = Ay (t) + z (t), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}}$,

być użytym. Przykłady można znaleźć poniżej w rozdziale Aplikacje .

Dla równań różniczkowych postaci

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} y (t) = A (t) \, y (t), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}}$

przy niestałym na ogół nie ma rozwiązań zamkniętych. Serii Magnus , jednak, zapewnia ogólne rozwiązanie w notacji macierzowej pośrednictwem funkcji wykładniczej matrycy, nawet w przypadku współczynników niż stałych (jako nieskończona serii wykładnika).${\ styl wyświetlania A}$

Obliczanie wykładniczej macierzy

Seria Taylora

Funkcja wykładnicza macierzy i może w zasadzie być obliczona przy użyciu ekspansję Taylor ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ razy n}}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ exp (w) = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {A ^ {k} t ^ {k}} {k!}} = E + w + {\ frac { A ^ {2} t ^ {2}} {2}} + {\ frac {A ^ {3} t ^ {3}} {6}} + {\ frac {A ^ {4} t ^ {4 } } {24}} + \ cdots}$

Odnosi się tutaj do Wydziału z . Jeżeli dokładność jest wystarczająca (szereg jest absolutnie zbieżny), szereg powinien kończyć się na skończonej liczbie kroków obliczeniowych. Im większe wpisy w macierzy, tym więcej wyrazów w szeregu należy obliczyć (np. w celu rozwiązania liniowego równania różniczkowego dla dużego kroku czasowego). W celu usprawnienia algorytmu rozwiązania w tym zakresie, wpisy w macierzy można elegancko skalować za pomocą reguły obliczeniowej (metoda „Scaling & Squaring”). Jeśli (naturalna) norma macierzy nie jest zbyt duża, szereg można również obliczyć przy użyciu przybliżenia Padé . Metoda skalowania i kwadratury ma koszt rzędu wielkości (zasadniczo mnożenia macierzy ). Współczynnik zależy od parametrów skalowania, aw szczególności od wzorca macierzy. ${\ styl wyświetlania k!}$${\ styl wyświetlania k}$${\ displaystyle e ^ {w} = (e ^ {w / m}) ^ {m}}$ ${\ styl wyświetlania \ | O \ |}$${\ displaystyle {\ matematyczne {O}} (n ^ {3})}$${\ styl wyświetlania n ^ {3}}$

Nil Potężny Upadek

Macierz jest nilpotentna, jeśli jest odpowiednia dla odpowiedniej liczby naturalnej . W tym przypadku rozwinięcie szeregu wyrazów załamuje się po skończonej liczbie wyrazów, a macierz wykładnicza może być użyta jako ${\ styl wyświetlania N}$${\ styl wyświetlania N ^ {q} = 0}$${\ styl wyświetlania q}$${\ styl wyświetlania e ^ {N}}$

${\ displaystyle \ exp (N) = E + N + {\ frac {1} {2}} N ^ {2} + {\ frac {1} {6}} N ^ {3} + \ cdots + {\ frac {1} {(q-1)!}} N ^ {q-1}}$

być obliczone.

Diagonalizacja macierzy

Czy macierz jest macierzą diagonalną?${\ styl wyświetlania D}$

${\ displaystyle D = {\ zacząć {pmatrix} a_ {1} & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & a_ {2} & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ ldots & a_ {n } \ end {pmatrix}}}$,

wtedy można znaleźć jego wykładnik, stosując zwykłą funkcję wykładniczą do każdego wpisu głównej przekątnej :

${\ displaystyle e ^ {D} = {\ początek {pmatrix} e ^ {a_ {1}} & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & e ^ {a_ {2}} & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ ldots & e ^ {a_ {n}} \ end {pmatrix}}}$.

Dzięki temu można również obliczyć wykładnik macierzy diagonalizowalnej . Do diagonalizacji ${\ styl wyświetlania A}$

${\ styl wyświetlania A = VDV ^ {-1}}$

z macierzą diagonalną , przynależną eigenbase oraz - wartości własne macierzy są określone. Dla funkcji wykładniczej macierzy wynika z tego ${\ styl wyświetlania D}$ ${\ styl wyświetlania V}$${\ styl wyświetlania n}$ ${\ styl wyświetlania \ lambda}$${\ styl wyświetlania A}$

${\ displaystyle \ exp (At) = Ve ^ {Dt} \, V ^ {-1} = V \ operatorname {diag} (e ^ {\ lambda _ {1} t}, e ^ {\ lambda _ {2 } t}, \ dotsc, e ^ {\ lambda _ {n} t}) \, V ^ {-1}}$

ze zwykłą funkcją wykładniczą . Dowód wynika bezpośrednio z rozwinięcia Taylora funkcji wykładniczej. ${\ displaystyle e ^ {\ lambda _ {i} t}}$

Diagonalizacja macierzy, podobnie jak algorytm QR czy postać normalna Jordana , należy do metod dekompozycji macierzy do obliczania funkcji wykładniczej. Diagonalizacja i algorytm QR mają wysiłek rzędu wielkości iw porównaniu z metodami opartymi na rozwinięciu Taylora są niezależne od . Główny wysiłek obliczeniowy (tutaj: wyznaczanie wartości własnych i wektorów własnych ) jest również niezależny od zmiennych . Aby rozwiązać na przykład równania różniczkowe liniowe dla kilku kroków czasowych , taką ilość pracy trzeba wykonać tylko raz. Obliczenie kolejnych kroków czasowych odbywa się metodą diagonalizacji przez proste mnożenie macierzy, a algorytmem QR wysiłek jest tylko rzędu wielkości . ${\ displaystyle {\ matematyczne {O}} (n ^ {3})}$${\ styl wyświetlania \ | O \ |}$${\ styl wyświetlania t}$${\ styl wyświetlania t}$${\ displaystyle {\ matematyczne {O}} (n ^ {2})}$

Przykład 1

Należy obliczyć następującą funkcję wykładniczą macierzy:

${\ displaystyle \ exp (At) = \ exp \ left [{\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ a_ {2,1} & a_ {2,2} \ end {pmatrix}} t \ prawy]}$.

W tym celu macierz jest najpierw diagonalizowana przy użyciu wartości własnych i wektorów własnych. Z macierzą diagonalną i bazą własną wygląda to następująco: ${\ styl wyświetlania (2 \ razy 2)}$${\ styl wyświetlania A}$${\ styl wyświetlania D}$${\ styl wyświetlania V}$

${\ displaystyle \ exp (At) = Ve ^ {Dt} \, V ^ {-1} = V {\ początek {pmatrix} e ^ {\ lambda _ {1} t} i 0 \\ 0 i e ^ { \ lambda _ {2} t} \ end {pmatrix}} V ^ {-1}}$.

Wartości własne wielomianu charakterystycznego wyznaczone do

${\ displaystyle \ lambda _ {1,2} = {\ frac {a_ {2,2}} {2}} \ pm {\ sqrt {\ left ({\ frac {a_ {2,2}} {2} } \ po prawej) ^ {2} + a_ {2,1}}}}$.

Poniższe dotyczy dwóch wektorów własnych lub podstawy własnej:

${\ displaystyle V = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\\ lambda _ {1} & \ lambda _ {2} \ end {pmatrix}} ~~~}$jak ${\ displaystyle ~~ V ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ lambda _ {2} - \ lambda _ {1}}} {\ początek {pmatrix} \ lambda _ {2} & - 1 \ \ - \ lambda _ {1} & 1 \ end {pmatrix}}}$

Podstawienie za macierzową funkcję wykładniczą daje w końcu

${\ displaystyle \ exp (w) = {\ frac {1} {\ lambda _ {2} - \ lambda _ {1}}} {\ początek {pmatrix} \ lambda _ {2} e ^ {\ lambda _ { 1} t} - \ lambda _ {1} e ^ {\ lambda _ {2} t} & e ^ {\ lambda _ {2} t} -e ^ {\ lambda _ {1} t} \\\ lambda _ {1} \ lambda _ {2} (e ^ {\ lambda _ {1} t} -e ^ {\ lambda _ {2} t}) & \ lambda _ {2} e ^ {\ lambda _ {2 } t} - \ lambda _ {1} e ^ {\ lambda _ {1} t} \ end {pmatrix}}}$

jako zamknięte rozwiązanie analityczne.

Przykład 2

Funkcja wykładnicza macierzy

${\ displaystyle \ exp (At) = \ exp \ left [{\ początek {pmatrix} 3 i -4 \\ 4 i -5 \ koniec {pmatrix}} t \ po prawej] = {\ początek {pmatrix} (1 + 4t) e ^ {- t} & - 4. ^ {- t} \\ 4. ^ {- t} & (1-4t) e ^ {- t} \ koniec {pmacierz}}}$

ma rozwiązanie, ale sama macierz nie może być diagonalizowana. Macierz ma dwie wartości własne . Chociaż wartość własna ma krotność algebraiczną 2, istnieje tylko jeden liniowo niezależny wektor własny. Podstawa z wektorów własnych ${\ styl wyświetlania A}$${\ displaystyle \ lambda _ {1,2} = - 1}$

${\ displaystyle V = {\ begin {pmatrix} a_ {2,1} & a_ {2,1} \\\ lambda _ {1} -a_ {1,1} & \ lambda _ {2} -a_ {1 , 1} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -4 & -4 \\ - 4 & -4 \ end {pmatrix}}}$

nie można odwrócić . Wyróżnik wielomianu charakterystycznego

${\ displaystyle D_ {2} = \ po lewej ({\ frac {a_ {1,1} -a_ {2,2}} {2}} \ po prawej) ^ {2} + a_ {1,2} \, a_ {2,1} = \ lewo ({\ frac {3 - (- 5)} {2}} \ prawo) ^ {2} -16}$

zawsze staje się zerem. W takim przypadku, tj. gdy występują te same wartości własne lub wektory własne, do przekształcenia można użyć postaci normalnej Jordana.

Metoda dzielenia

Jeśli wielomian minimalny (lub wielomian charakterystyczny ) macierzy rozkłada się na czynniki liniowe (tak jest zawsze powyżej ), to może on być jednoznacznie sumą ${\ styl wyświetlania X}$${\ styl wyświetlania \ mathbb {C}}$${\ styl wyświetlania X}$

${\ styl wyświetlania X = A + N}$

być zdemontowany, z

• ${\ styl wyświetlania A}$ jest diagonalizowalny,
• ${\ styl wyświetlania N}$ jest nilpotentny i
• ${\ styl wyświetlania A}$komutuje z (tj .).${\ styl wyświetlania N}$${\ styl wyświetlania AN = NA}$

Pozwala to na wykładniczą opłatę, redukując ją do wyżej wymienionych przypadków: . W ostatnim kroku potrzebujesz przemienności i . ${\ styl wyświetlania X}$${\ displaystyle e ^ {X} = e ^ {A + N} = e ^ {A} e ^ {N}}$${\ styl wyświetlania A}$${\ styl wyświetlania N}$

Używanie postaci normalnej Jordana

Inna metoda polega na użyciu Postać Jordana się , przy czym stosuje się również metody rozszczepiania. Niech będzie normalną postacią Jordana z macierzą zmiany bazy , wtedy ${\ styl wyświetlania X}$${\ styl wyświetlania J}$${\ styl wyświetlania X}$ ${\ styl wyświetlania P}$

${\ displaystyle e ^ {X} = Pe ^ {J} P ^ {-1}.}$

Ponieważ

${\ displaystyle J = J_ {a_ {1}} (\ lambda _ {1}) \ oplus J_ {a_ {2}} (\ lambda _ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus J_ {a_ {n}} (\ lambda _ {n})}$

ma zastosowanie

${\ displaystyle {\ zacząć {wyrównany} e ^ {J} & = \ exp {\ duży (} J_ {a_ {1}} (\ lambda _ {1}) \ oplus J_ {a_ {2}} (\ lambda _ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus J_ {a_ {n}} (\ lambda _ {n}) {\ duży)} \\ & = \ exp {\ duży (} J_ {a_ {1}} ( \ lambda _ {1}) {\ duży)} \ oplus \ exp {\ duży (} J_ {a_ {2}} (\ lambda _ {2}) {\ duży)} \ oplus \ cdots \ oplus \ exp { \ duży (} J_ {a_ {k}} (\ lambda _ {k}) {\ duży)}. \ end {wyrównany}}}$

Dlatego wystarczy znać wykładnik bloku Jordana. Teraz każdy blok Jordana ma kształt

${\ displaystyle J_ {a} (\ lambda) = \ lambda \, E + N,}$

gdzie jest specjalna macierz nilpotent. Tak więc wykładnik bloku Jordana to ${\ styl wyświetlania N}$

${\ displaystyle e ^ {\ lambda E + N} = e ^ {\ lambda} e ^ {N}.}$

przykład

Spójrz na matrycę

${\ displaystyle B = {\ początek {pmatrix} 21 i 17 i 6 \\ - 5 i -1 i -6 \\ 4 i 4 i 16 \ koniec {pmatrix}}}$,

która jest postacią normalną Jordana

${\ displaystyle J = P ^ {-1} BP = {\ początek {pmatrix} 4 i 0 i 0 \\ 0 i 16 i 1 \\ 0 i 0 i 16 \ koniec {pmacierz}}}$

z macierzą przejścia

${\ displaystyle P = {\ zacząć {pmatrix} -1 & 1 & {\ tfrac {5} {8}} \\ 1 & -1 & - {\ tfrac {1} {8}} \\ 0 & 2 & 0 \ koniec {pmatrix}}}$

Ma. Następnie dotyczy

${\ styl wyświetlania J = J_ {1} (4) \ oplus J_ {2} (16)}$

oraz

${\ displaystyle e ^ {B} = Pe ^ {J} P ^ {-1} = P (e ^ {J_ {2} (16)} \ oplus e ^ {J_ {1} (4)}) P ^ {-1}}$.

Więc jest

${\ displaystyle \ exp \ left [{\ begin {pmatrix} 16 i 0 \\ 0 i 16 \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} 0 i 1 \\ 0 i 0 \ end {pmatrix}} \ prawo] = e ^ {16} E \ cdot \ lewo [{\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} + {1 \ ponad 2!} {\ Begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} + \ cdots \ right] = {\ begin {pmatrix} e ^ {16 } i e ^ {16} \\ 0 i e ^ {16} \ koniec {pmacierz}}}$.

Wykładnik macierzy 1×1 jest trywialny. Z następującymi ${\ styl wyświetlania e ^ {J_ {1} (4)} = e ^ {4}}$

${\ displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ exp (B) & = P \ exp (J) P ^ {-1} = P {\ zacząć {pmatrix} e ^ {4} & 0 & 0 \\ 0 & e ^ {16} & e ^ {16} \\ 0 & 0 & e ^ {16} \ koniec {pmacierz}} P ^ {-1} \\ [6 pkt] & = {1 \ ponad 4} {\ początek { pmatrix} 13e ^ {16} -e ^ {4} & 13e ^ {16} -5e ^ {4} & 2e ^ {16} -2e ^ {4} \\ - 9e ^ {16} + e ^ {4 } & - 9e ^ {16} + 5e ^ { 4} & - 2e ^ {16} + 2e ^ {4} \\ 16e ^ {16} & 16e ^ {16} & 4e ^ {16} \ koniec {pmatrix }}. \ Koniec {wyrównany}}}$

Obliczanie postaci normalnej Jordana, a z niej wykładniczej, jest w ten sposób bardzo żmudne. Zwykle wystarczy obliczyć wpływ macierzy wykładniczej na kilka wektorów.

Obliczenia numeryczne

Rozkład postaci normalnej Jordana jest numerycznie niestabilny, ponieważ ze względu na arytmetykę zmiennoprzecinkową do wartości własnych wprowadzane są błędy zaokrągleń, które uniemożliwiają grupowanie wartości własnych w grupy identycznych wartości własnych. Dlatego w obliczeniach stosuje się inne techniki obliczania wykładniczego macierzy. Najbardziej efektywne dostępne algorytmy obejmują aproksymację Padé ze skalowaniem i podnoszeniem do kwadratu (patrz obliczenia przy użyciu szeregu Taylora ) lub metody dekompozycji macierzy , takie jak diagonalizacja macierzy . W przypadku dużych macierzy wysiłek obliczeniowy można również zmniejszyć, stosując przestrzenie Krylowa, których wektory bazowe zostały zortogonalizowane metodą Arnoldiego .

Czystszy algorytm

Inną możliwością obliczenia wykładniczej macierzy jest algorytm Putzera. Przy danej macierzy i rekurencyjnie definiuje się funkcje i macierze różniczkowalne w sposób ciągły , tak aby: ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ razy n}}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$${\ styl wyświetlania p_ {k}}$${\ styl wyświetlania M_ {k}}$

${\ displaystyle \ exp (At) = \ suma _ {k = 1} ^ {n} p_ {k} (t) M_ {k-1}}$

Rozwiązanie macierzy wykładniczej macierzy otrzymuje się jako wielomian. Obliczenie ma wysiłek rzędu wielkości (obliczanie wartości własnych, a w szczególności mnożenia macierzy) i dlatego jest odpowiednie tylko dla małych macierzy. ${\ styl wyświetlania (n \ razy n)}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (n ^ {4})}$${\ styl wyświetlania n}$

Aplikacje

Jednorodne liniowe równania różniczkowe

Wykładnicza macierz może być wykorzystana do rozwiązania układu równań różniczkowych liniowych . Równanie różniczkowe postaci

${\ displaystyle y '= Cy}$

ma rozwiązanie . Jeśli masz wektor ${\ styl wyświetlania e ^ {Ct}}$

${\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = {\ początek {pmatrix} y_ {1} (t) \\\ vdots \\ y_ {n} (t) \ koniec {pmatrix}}}$

rozważymy, to można rozważyć układ sprzężonych liniowych równań różniczkowych jako

${\ displaystyle \ mathbf {y} '(t) = A \ mathbf {y} (t) + \ mathbf {b}}$.

Jeśli zastosujesz współczynnik integracji i pomnożysz po obu stronach, otrzymasz ${\ styl wyświetlania e ^ {- tA}}$

${\ displaystyle e ^ {- tA} \ mathbf {y} '(t) -e ^ {- tA} A \ mathbf {y} = e ^ {- tA} \ mathbf {b}}$,

${\ displaystyle D (e ^ {- tA} \ mathbf {y}) = e ^ {- tA} \ mathbf {b}}$.

Jeśli jeden oblicza, otrzymuje się roztwór różnicowego układu równań. ${\ styl wyświetlania e ^ {tA}}$

Przykład (jednorodny)

Podano następujący układ równań różniczkowych:

${\ displaystyle {\ begin {wyrównany} y_ {1} '& = 3y_ {1} -y_ {2}, \\ y_ {2}' & = y_ {1} + y_ {2}. \ end {wyrównany} }}$

Można to zapisać za pomocą macierzy współczynników ${\ displaystyle y '(t) = Ay (t)}$

${\ displaystyle A = {\ początek {pmatrix} 3 i -1 \\ 1 i 1 \ koniec {pmatrix}}}$.

Daje to skojarzoną macierz wykładniczą do

${\ displaystyle e ^ {tA} = e ^ {2t} {\ początek {pmatrix} 1 + t & -t \\ t & 1-t \ koniec {pmatrix}}}$.

W ten sposób otrzymuje się ogólne rozwiązanie układu równań różniczkowych

${\ displaystyle {\ początek {pmatrix} y_ {1} (t) \\ y_ {2} (t) \ koniec {pmatrix}} = C_ {1} e ^ {2t} {\ początek {pmatrix} 1 + t \\ t \ end {pmatrix}} + C_ {2} e ^ {2t} {\ begin {pmatrix} -t \\ 1-t \ end {pmatrix}}}$.

Przypadek niejednorodny - zmienność stałych

Dla przypadku niejednorodnego można zastosować metodę podobną do zmienności stałych . Poszukuje się rozwiązania formularza : ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {p} (t) = e ^ {tA} \ mathbf {z} (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {p} '= (e ^ {tA})' \ mathbf {z} (t) + e ^ {tA} \ mathbf {z} '(t) = Ae ^ {tA } \ mathbf {z} (t) + e ^ {tA} \ mathbf {z} '(t) = A \ mathbf {y} _ {p} (t) + e ^ {tA} \ mathbf {z}' (T)}$

Aby znaleźć rozwiązanie , obstawiasz ${\ styl wyświetlania \ mathbf {y} _ {p}}$

${\ displaystyle e ^ {tA} \ mathbf {z} '(t) = \ mathbf {b} (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {z} '(t) = (e ^ {tA}) ^ {-1} \ mathbf {b} (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {z} (t) = \ int _ {0} ^ {t} e ^ {- uA} \ mathbf {b} (u) \, du + \ mathbf {c}}$

To skutkuje

${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {p} = e ^ {tA} \ int _ {0} ^ {t} e ^ {- uA} \ mathbf {b} (u) \, du + e ^ {tA } \ mathbf {c} = \ int _ {0} ^ {t} e ^ {(tu) A} \ mathbf {b} (u) \, du + e ^ {tA} \ mathbf {c}}$,

gdzie zależy od warunków początkowych. ${\ styl wyświetlania c}$

Przykład (niejednorodny)

Podano układ równań różniczkowych

${\ displaystyle {\ begin {wyrównany} y_ {1} '& = 3y_ {1} -y_ {2} -2e ^ {t}, \\ y_ {2}' & = y_ {1} + y_ {2} -e ^ {t}. \ end {wyrównany}}}$

System sam się pisze z powyższą matrycą${\ styl wyświetlania A}$

${\ displaystyle y '(t) = Ay (t) + b (t)}$

z

${\ displaystyle b (t) = e ^ {t} {\ początek {pmatrix} -2 \\ - 1 \ koniec {pmatrix}}}$.

Ogólne rozwiązanie równania jednorodnego zostało już obliczone powyżej. Suma rozwiązań jednorodnych i specjalnych daje w wyniku rozwiązanie problemu niejednorodnego. Musisz tylko znaleźć specjalne rozwiązanie (zmieniając stałe). Z powyższego równania otrzymujemy: ${\ displaystyle y_ {p} (t)}$

${\ displaystyle y_ {p} (t) = e ^ {tA} \ int _ {0} ^ {t} e ^ {- uA} b (u) \, ty}$,

więc

${\ displaystyle y_ {p} (t) = e ^ {2t} {\ początek {pmacierz} 1 + t & -t \\ t & 1-t \ koniec {pmacierz}} \ int _ {0} ^ {t } e ^ {-2u} {\ begin {pmatrix} 1-u & u \\ - u & 1 + u \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} -2e ^ {u} \\ - e ^ { u} \ end {pmatrix} } \, du = {\ begin {pmatrix} -e ^ {2t} (1 + t) + e ^ {t} \\ - te ^ {2t} \ end {pmatrix}}}$.

Zobacz też

• Matryce
• Logarytm macierzy
• Funkcja wykładnicza
• Mapowanie wykładnicze

literatura

• Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Tematy w analizie macierzy . Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-46713-6 (angielski).
• Cleve Moler, Charles F. Van Loan: Dziewiętnaście wątpliwych sposobów obliczania wykładniczego macierzy, dwadzieścia pięć lat później . W: Przegląd SIAM . taśma 45 , nie. 1 , 2003, ISSN  1095-7200 , s. 1-49 , doi : 10.1137 / S00361445024180 ( cornell.edu [PDF]). 
• VI Arnolʹd: Równania różniczkowe zwyczajne . Springer-Verlag, Berlin / Nowy Jork 1980, ISBN 3-540-09216-1 .

Indywidualne dowody

1. ^ S. Blanes, F. Casas, JA Oteo, J. Ros: Rozszerzenie Magnus i niektóre z jego zastosowań. (= Raporty Fizyki. Tom 470). Biblioteka Uniwersytetu Cornella, 2009, OCLC 635162561 .
2. ↑ T. Möller: Symboliczna, oparta na matematyce symulacja przestrzeni cylindrów dla regeneracyjnych obiegów gazu. W: Int J Energy Environ inż. Springer Berlin / Heidelberg, luty 2015. http://link.springer.com/article/10.1007/s40095-015-0163-3