Matrice esponenziale

In matematica , l' esponenziale matriciale , detta anche funzione esponenziale matriciale , è una funzione sull'insieme delle matrici quadrate , definita analogamente alla consueta funzione esponenziale (scalare) . L'esponenziale di matrice stabilisce la connessione tra l' algebra di Lie e il gruppo di Lie associato .

definizione

Essere un vero e proprio o complesso - a matrice . L'esponenziale di , che è denotato da o , è la matrice, che è definita dalla seguente serie di potenze ( espansione di Taylor ): ${\ stile di visualizzazione X}$ ${\ stile di visualizzazione n \ volte n}$${\ stile di visualizzazione X}$${\ stile di visualizzazione e ^ {X}}$${\ displaystyle \ exp (X)}$${\ stile di visualizzazione n \ volte n}$

${\ displaystyle e ^ {X} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {X ^ {k}} {k!}} = E + X + {\ frac {X ^ {2 } } {2}} + \ punti}$.

Questa serie, come quella della funzione esponenziale ordinaria , converge sempre. Quindi l'esponenziale di è ben definito. Quando è una matrice, l'esponenziale di matrice è uguale alla funzione esponenziale ordinaria . Una generalizzazione, utile anche per matrici infinite, è la funzione esponenziale su algebre di Banach arbitrarie . ${\ stile di visualizzazione X}$${\ stile di visualizzazione X}$${\ stile di visualizzazione 1 \ volte 1}$${\ stile di visualizzazione X}$

proprietà

L'esponenziale di matrice condivide alcune delle proprietà della funzione esponenziale ordinaria. Ad esempio, l'esponenziale del - matrice zero è uguale al - matrice unitaria : ${\ stile di visualizzazione (n \ volte n)}$ ${\ stile di visualizzazione 0}$${\ stile di visualizzazione (n \ volte n)}$ ${\ stile di visualizzazione E}$

${\ stile di visualizzazione e ^ {0} = E}$.

Per tutte le matrici complesse e tutti i numeri complessi e vale ${\ stile di visualizzazione n \ volte n}$${\ stile di visualizzazione X}$${\ stile di visualizzazione a}$${\ stile di visualizzazione b}$

${\ displaystyle e ^ {aX} \ cdot e ^ {bX} = e ^ {(a + b) X}}$.

Segue

${\ displaystyle e ^ {X} \ cdot e ^ {- X} = e ^ {(1-1) X} = e ^ {0} = E}$,

Questo significa

${\ displaystyle \ sinistra (e ^ {X} \ destra) ^ {- 1} = e ^ {- X}}$.

La matrice troppo inversa denota . ${\ displaystyle \ sinistra (e ^ {X} \ destra) ^ {- 1}}$${\ stile di visualizzazione e ^ {X}}$

La funzione esponenziale soddisfa per tutti i numeri e . Lo stesso vale per le matrici commutanti e , cioè off ${\ displaystyle e ^ {x + y} = e ^ {x} \, e ^ {y}}$${\ stile di visualizzazione x}$${\ stile di visualizzazione y}$${\ stile di visualizzazione X}$${\ stile di visualizzazione Y}$

${\ displaystyle X \ volte Y = Y \ volte X}$

segue

${\ displaystyle e ^ {X + Y} = e ^ {X} \ cdot e ^ {Y}}$.

Questa equazione è generalmente errata per le matrici non commutanti. In questo caso si può calcolare con l'aiuto della formula di Baker-Campbell-Hausdorff . ${\ stile di visualizzazione e ^ {X + Y}}$

L'esponenziale della matrice da trasporre è uguale alla trasposizione dell'esponenziale di : ${\ stile di visualizzazione X}$ ${\ stile di visualizzazione X}$

${\ displaystyle \ exp \ left (X ^ {\ mathrm {T}} \ right) = \ left (\ exp X \ right) ^ {\ mathrm {T}}}$

Ne consegue che la funzione matrice esponenziale Mappe matrici simmetriche alle matrici simmetriche e matrici antisimmetrica a matrici ortogonali . La relazione tra aggiunta ed elevazione a potenza si applica in modo analogo

${\ displaystyle \ exp \ left (X ^ {*} \ right) = \ left (\ exp X \ right) ^ {*}}$,

in modo che la matrice funzione esponenziale Mappe matrici hermitiane a matrici hermitiane e sghembe Hermitiane matrici a matrici unitarie .

Vale anche quanto segue:

• Se è invertibile , allora lo è .${\ stile di visualizzazione Y}$ ${\ displaystyle e ^ {YXY ^ {- 1}} = Sì ^ {X} Y ^ {- 1}}$
• ${\ displaystyle \ det (e ^ {X}) = e ^ {{\ mbox {tr}} (X)}}$, Qui denota la traccia della matrice quadrata .${\ displaystyle {\ mbox {tr}} (X)}$${\ stile di visualizzazione X}$
• ${\ displaystyle e ^ {\ operatorname {diag} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} = \ operatorname {diag} \ left (e ^ {x_ {1}}, \ ldots, e ^ { x_ {n}} \ destra)}$.

La mappa esponenziale

L'esponenziale di una matrice è sempre una matrice invertibile . L' inverso di è dato da. L'esponenziale di matrice (complessa) fornisce quindi una mappatura ${\ stile di visualizzazione e ^ {X}}$${\ displaystyle e ^ {- X}}$

${\ displaystyle \ exp \ due punti M_ {n} (\ mathbb {C}) \ a {\ mbox {GL}} (n, \ mathbb {C})}$

dallo spazio vettoriale di tutte le matrici (complesse) nel gruppo lineare generale , il gruppo di tutte le matrici (complesse) invertibili. Questa mappatura è suriettiva , cioè ogni matrice invertibile (reale o complessa) può essere scritta come matrice esponenziale di una matrice complessa. Gli archetipi (o sezioni locali ) possono essere calcolati utilizzando i logaritmi matriciali . ${\ stile di visualizzazione (n \ volte n)}$

Per ogni due matrici e si applica ${\ stile di visualizzazione X}$${\ stile di visualizzazione Y}$

${\ displaystyle \ | e ^ {X + Y} -e ^ {X} \ | \ leq \ | Y \ | e ^ {\ | X \ |} e ^ {\ | Y \ |}}$,

dove denota qualsiasi norma di matrice . Da ciò segue che la mappatura esponenziale è continua e anche Lipschitz continua su sottoinsiemi compatti di . Tuttavia, esiste un limite più preciso per la norma dell'esponenziale di matrice stessa ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {C})}$

${\ displaystyle \ | e ^ {X} \ | \ leq e ^ {\ mu (X)}}$

con la norma della matrice logaritmica e l' intervallo numerico di valori . ${\ displaystyle \ mu}$

L'incarico

${\ displaystyle t \ mapsto e ^ {tX}, \ qquad t \ in \ mathbb {R},}$

definisce una curva liscia nel gruppo lineare generale che produce per la matrice identità. Ciò fornisce un sottogruppo di un parametro del gruppo lineare generale, da ${\ stile di visualizzazione t = 0}$

${\ displaystyle e ^ {tX} e ^ {sX} = e ^ {(t + s) X}}$

è applicabile. La derivazione di questa funzione nel punto è passante ${\ stile di visualizzazione t}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} e ^ {tX} = Xe ^ {tX} \ qquad (1)}$

dato. La derivazione per è solo la matrice , cioè crea questo sottogruppo di un parametro. ${\ stile di visualizzazione t = 0}$${\ stile di visualizzazione X}$${\ stile di visualizzazione X}$

Più in generale vale:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} e ^ {X (t)} = \ int _ {0} ^ {1} e ^ {(1- \ alpha) X (t)} {\ frac { dX (t)} {dt}} e ^ {\ alpha X (t)} d \ alpha}$

Esempi di algebre di Lie e gruppi di Lie associati

Gruppo di bugie	esempio
Gruppo lineare generale  ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n, K)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n) = \ {X \ in M_ {n} (\ mathbb {R}) \}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n) = \ {X \ in M_ {n} (\ mathbb {R}) \ vert \ det (X) \ neq 0 \}}$.
Gruppo ortogonale  ${\ displaystyle \ mathrm {O} (n, K)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {o}} (n) = \ {X \ in M_ {n} (\ mathbb {R}) \ vert X ^ {T} = - X \}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {O} (n) = \ {X \ in M_ {n} (\ mathbb {R}) \ vert X ^ {T} = X ^ {- 1} \}}$
Gruppo unitario  ${\ displaystyle \ mathrm {U} (n)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {u}} (n) = \ {X \ in M_ {n} (\ mathbb {C}) \ vert X ^ {*} = - X \}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {U} (n) = \ {X \ in M_ {n} (\ mathbb {C}) \ vert X ^ {*} = X ^ {- 1} \}}$
Gruppo unitario speciale  ${\ displaystyle \ mathrm {SU} (n)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2) = \ {X \ in M_ {2} (\ mathbb {C}) \ vert X ^ {*} = - X, \ operatorname {tr} (X) = 0 \}}$è mappato da suriettiva a . ${\ displaystyle \ exp}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SU} (2) = \ {A \ in M_ {2} (\ mathbb {C}) \ vert A ^ {*} = A ^ {- 1}, \ det (A) = 1 \}}$
Gruppo ortogonale speciale  ${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n, K)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (n, \ mathbb {R}) = {\ mathfrak {o}} (n, \ mathbb {R}) = \ {X \ in M_ {n} (\ mathbb { R}) \ vert X ^ {T} = - X \}}$( matrici simmetriche oblique ) è mappato da suriettiva a . ${\ displaystyle \ exp}$${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n, \ mathbb {R}) = \ {A \ in M_ {n} (\ mathbb {R}) \ vert A ^ {T} = A ^ {- 1}, \ det (A) = 1 \}}$
Gruppo lineare speciale  ${\ displaystyle \ mathrm {SL} (n, K)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})}$è mappato da non suriettivo a . Il famigerato controesempio con non è nell'immagine di . ${\ displaystyle \ exp}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SL} (2, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -1 & a \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} \ in \ mathrm {SL} (2, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle a \ neq 0}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})}$

Dall'ultimo esempio si può vedere che la mappatura esponenziale per la generazione di gruppi di Lie (a seconda Lie) è generalmente non suriettiva.

Equazioni differenziali lineari

Uno dei vantaggi dell'esponenziale matriciale è che può essere utilizzato per risolvere sistemi di equazioni differenziali ordinarie lineari , ad es. B. può essere utilizzato per il modello dello spazio degli stati dei sistemi di trasmissione dinamici. Ad esempio, dall'equazione (1) sopra segue che la soluzione del problema del valore iniziale

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} y (t) = Ay (t), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}}$

con una matrice quadrata di ${\ stile di visualizzazione A}$

${\ displaystyle y (t) = e ^ {A (t-t_ {0})} y_ {0}}$

dato è.

L'esponenziale di matrice può essere utilizzato anche per risolvere l'equazione disomogenea

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} y (t) = Ay (t) + z (t), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}}$,

essere usato. Di seguito sono riportati degli esempi nel capitolo Applicazioni .

Per equazioni differenziali della forma

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} y (t) = A (t) \, y (t), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}}$

con non costante non ci sono in generale soluzioni chiuse. La serie di Magnus , invece, fornisce una soluzione generale in notazione matriciale tramite la funzione esponenziale matriciale anche nel caso di coefficienti non costanti (come serie infinita dell'esponente).${\ stile di visualizzazione A}$

Calcolo della matrice esponenziale

Serie di Taylor

La funzione esponenziale della matrice e può in linea di principio essere calcolata utilizzando il suo sviluppo di Taylor: ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ volte n}}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ exp (At) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {A ^ {k} t ^ {k}} {k!}} = E + At + {\ frac { A ^ {2} t ^ {2}} {2}} + {\ frac {A ^ {3} t ^ {3}} {6}} + {\ frac {A ^ {4} t ^ {4 } } {24}} + \ cdots}$

Qui si riferisce alla la facoltà di . Se la precisione è sufficiente (la serie è assolutamente convergente), la serie dovrebbe terminare con un numero finito di passi di calcolo. Più grandi sono le voci nella matrice, più termini nella serie devono essere calcolati (ad esempio per risolvere l'equazione differenziale lineare per un grande passo temporale). Al fine di migliorare l'algoritmo risolutivo a questo proposito, le voci nella matrice possono essere elegantemente scalate utilizzando la regola di calcolo (metodo "Scaling & Squaring"). Se la norma della matrice (naturale) non è troppo grande, la serie può essere calcolata anche utilizzando l' approssimazione di Padé . Il metodo di ridimensionamento e quadratura ha una spesa dell'ordine di grandezza (essenzialmente moltiplicazioni matriciali ). Il fattore di dipende dai parametri di scala e, in particolare, dalla matrice standard. ${\ displaystyle k!}$${\ stile di visualizzazione k}$${\ displaystyle e ^ {At} = (e ^ {At / m}) ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ | A \ |}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (n ^ {3})}$${\ stile di visualizzazione n ^ {3}}$

Potente caduta del Nilo

Una matrice è nilpotente se vale per un opportuno numero naturale . In questo caso lo sviluppo in serie di si interrompe dopo un numero finito di termini e l'esponenziale di matrice può essere usato come ${\ stile di visualizzazione N}$${\ stile di visualizzazione N ^ {q} = 0}$${\ stile di visualizzazione q}$${\ stile di visualizzazione e ^ {N}}$

${\ displaystyle \ exp (N) = E + N + {\ frac {1} {2}} N ^ {2} + {\ frac {1} {6}} N ^ {3} + \ cdots + {\ frac {1} {(q-1)!}} N ^ {q-1}}$

essere calcolato.

Diagonalizzazione della matrice

La matrice è una matrice diagonale?${\ stile di visualizzazione D}$

${\ displaystyle D = {\ begin {pmatrix} a_ {1} & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & a_ {2} & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ ldots & a_ {n } \ end {pmatrix}}}$,

quindi puoi trovare il suo esponenziale applicando la solita funzione esponenziale a ciascuna voce sulla diagonale principale :

${\ displaystyle e ^ {D} = {\ begin {pmatrix} e ^ {a_ {1}} & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & e ^ {a_ {2}} & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ ldots & e ^ {a_ {n}} \ end {pmatrix}}}$.

Con questo si può anche calcolare l'esponenziale di una matrice diagonalizzabile . Per la diagonalizzazione ${\ stile di visualizzazione A}$

${\ displaystyle A = VDV ^ {- 1}}$

da una matrice diagonale , gli associati be autobasi e - autovalori della matrice determinata. Per la funzione esponenziale di matrice segue da questo ${\ stile di visualizzazione D}$ ${\ stile di visualizzazione V}$${\ stile di visualizzazione n}$ ${\ displaystyle \ lambda}$${\ stile di visualizzazione A}$

${\ displaystyle \ exp (At) = Ve ^ {Dt} \, V ^ {- 1} = V \ nomeoperatore {diag} (e ^ {\ lambda _ {1} t}, e ^ {\ lambda _ {2 } t}, \ puntic, e ^ {\ lambda _ {n} t}) \, V ^ {- 1}}$

con la funzione esponenziale ordinaria . La dimostrazione segue direttamente dallo sviluppo di Taylor della funzione esponenziale. ${\ displaystyle e ^ {\ lambda _ {i} t}}$

La diagonalizzazione della matrice, come l' algoritmo QR o la forma normale di Jordan , appartiene ai metodi di scomposizione della matrice per il calcolo della funzione esponenziale. La diagonalizzazione e l'algoritmo QR hanno ciascuno uno sforzo dell'ordine di grandezza e, rispetto ai metodi basati sull'espansione di Taylor, sono indipendenti da . Anche lo sforzo di calcolo principale (qui: determinazione degli autovalori e degli autovettori ) è indipendente dalle variabili . Per risolvere, ad esempio, equazioni differenziali lineari per più fasi temporali , questa quantità di lavoro deve essere eseguita una sola volta. Con il metodo della diagonalizzazione, il calcolo degli ulteriori passi temporali viene effettuato mediante semplice moltiplicazione matriciale, e con l'algoritmo QR, lo sforzo è solo dell'ordine di grandezza . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (n ^ {3})}$${\ displaystyle \ | A \ |}$${\ stile di visualizzazione t}$${\ stile di visualizzazione t}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (n ^ {2})}$

Esempio 1

Si calcola la seguente funzione esponenziale di matrice:

${\ displaystyle \ exp (At) = \ exp \ left [{\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ a_ {2,1} & a_ {2,2} \ end {pmatrix}} t \ right]}$.

A tal fine, la matrice viene prima diagonalizzata utilizzando gli autovalori e gli autovettori. Con la matrice diagonale e l'autobase segue: ${\ stile di visualizzazione (2 \ volte 2)}$${\ stile di visualizzazione A}$${\ stile di visualizzazione D}$${\ stile di visualizzazione V}$

${\ displaystyle \ exp (At) = Ve ^ {Dt} \, V ^ {- 1} = V {\ begin {pmatrix} e ^ {\ lambda _ {1} t} & 0 \\ 0 & e ^ { \ lambda _ {2} t} \ end {pmatrix}} V ^ {- 1}}$.

Gli autovalori del polinomio caratteristico determinato a

${\ displaystyle \ lambda _ {1,2} = {\ frac {a_ {2,2}} {2}} \ pm {\ sqrt {\ left ({\ frac {a_ {2,2}} {2} } \ destra) ^ {2} + a_ {2,1}}}}$.

Per i due autovettori o per l'autobase vale quanto segue:

${\ displaystyle V = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\\ lambda _ {1} & \ lambda _ {2} \ end {pmatrix}} ~~~}$come ${\ displaystyle ~~ V ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ lambda _ {2} - \ lambda _ {1}}} {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {2} & - 1 \ \ - \ lambda _ {1} & 1 \ end {pmatrix}}}$

Sostituendo la funzione esponenziale di matrice si ottiene infine

${\ displaystyle \ exp (At) = {\ frac {1} {\ lambda _ {2} - \ lambda _ {1}}} {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {2} e ^ {\ lambda _ { 1} t} - \ lambda _ {1} e ^ {\ lambda _ {2} t} & e ^ {\ lambda _ {2} t} -e ^ {\ lambda _ {1} t} \\\ lambda _ {1} \ lambda _ {2} (e ^ {\ lambda _ {1} t} -e ^ {\ lambda _ {2} t}) & \ lambda _ {2} e ^ {\ lambda _ {2 } t} - \ lambda _ {1} e ^ {\ lambda _ {1} t} \ end {pmatrix}}}$

come soluzione analitica chiusa.

Esempio 2

La funzione esponenziale di matrice

${\ displaystyle \ exp (At) = \ exp \ left [{\ begin {pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & -5 \ end {pmatrix}} t \ right] = {\ begin {pmatrix} (1 + 4t) e ^ {- t} & - 4th ^ {- t} \\ 4th ^ {- t} & (1-4t) e ^ {- t} \ end {pmatrix}}}$

ha una soluzione, ma la matrice stessa non è diagonalizzabile. La matrice ha i due autovalori . Sebbene l'autovalore abbia la molteplicità algebrica 2, esiste un solo autovettore linearmente indipendente. La base degli autovettori ${\ stile di visualizzazione A}$${\ displaystyle \ lambda _ {1,2} = - 1}$

${\ displaystyle V = {\ begin {pmatrix} a_ {2,1} & a_ {2,1} \\\ lambda _ {1} -a_ {1,1} & \ lambda _ {2} -a_ {1 , 1} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -4 & -4 \\ - 4 & -4 \ end {pmatrix}}}$

non può essere invertito . Il discriminante del polinomio caratteristico

${\ displaystyle D_ {2} = \ sinistra ({\ frac {a_ {a_ {1,1} -a_ {2,2}} {2}} \ destra) ^ {2} + a_ {1,2} \ , a_ {2,1} = \ sinistra ({\ frac {3 - (- 5)} {2}} \ destra) ^ {2} -16}$

diventa sempre zero. In questo caso, cioè quando si verificano gli stessi autovalori o autovettori, per la trasformazione può essere utilizzata la forma normale di Jordan.

Metodo di divisione

Se il polinomio minimo (o il polinomio caratteristico ) della matrice si scompone in fattori lineari (questo è sempre il caso sopra ), allora può essere inequivocabilmente in una somma ${\ stile di visualizzazione X}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ stile di visualizzazione X}$

${\ stile di visualizzazione X = A + N}$

essere smontato, con

• ${\ stile di visualizzazione A}$ è diagonalizzabile,
• ${\ stile di visualizzazione N}$ è nilpotente e
• ${\ stile di visualizzazione A}$commuta con (cioè ).${\ stile di visualizzazione N}$${\ displaystyle AN = NA}$

Ciò consente l'esponenziale di addebito, riducendolo ai casi sopra indicati: . Nell'ultimo passaggio è necessaria la commutatività di e . ${\ stile di visualizzazione X}$${\ stile di visualizzazione e ^ {X} = e ^ {A + N} = e ^ {A} e ^ {N}}$${\ stile di visualizzazione A}$${\ stile di visualizzazione N}$

Uso della forma normale di Jordan

Un altro metodo consiste nell'utilizzare la forma normale di Jordan di , per cui viene utilizzato anche il metodo di suddivisione. Sia la forma normale di Jordan di con la matrice di cambio di base , allora ${\ stile di visualizzazione X}$${\ stile di visualizzazione J}$${\ stile di visualizzazione X}$ ${\ stile di visualizzazione P}$

${\ displaystyle e ^ {X} = Pe ^ {J} P ^ {- 1}.}$

Perché

${\ displaystyle J = J_ {a_ {1}} (\ lambda _ {1}) \ oplus J_ {a_ {2}} (\ lambda _ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus J_ {a_ {n}} (\ lambda _ {n})}$

è applicabile

${\ displaystyle {\ begin {aligned} e ^ {J} & = \ exp {\ big (} J_ {a_ {1}} (\ lambda _ {1}) \ oplus J_ {a_ {2}} (\ lambda _ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus J_ {a_ {n}} (\ lambda _ {n}) {\ grande)} \\ & = \ exp {\ grande (} J_ {a_ {1}} ( \lambda _ {1}) {\ big)} \ oplus \ exp {\ big (} J_ {a_ {2}} (\ lambda _ {2}) {\ big)} \ oplus \ cdots \ oplus \ exp { \ big (} J_ {a_ {k}} (\ lambda _ {k}) {\ big)}. \ end {allineato}}}$

Pertanto, è sufficiente conoscere l'esponenziale di un blocco di Jordan. Ora ogni blocco Jordan è della forma

${\ displaystyle J_ {a} (\ lambda) = \ lambda \, E + N,}$

dove è una matrice nilpotente speciale. Quindi l'esponenziale del blocco di Jordan è ${\ stile di visualizzazione N}$

${\ displaystyle e ^ {\ lambda E + N} = e ^ {\ lambda} e ^ {N}.}$

esempio

Guarda la matrice

${\ displaystyle B = {\ begin {pmatrix} 21 & 17 & 6 \\ - 5 & -1 & -6 \\ 4 & 4 & 16 \ end {pmatrix}}}$,

che è la forma normale di Jordan

${\ displaystyle J = P ^ {- 1} BP = {\ begin {pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 1 \\ 0 & 0 & 16 \ end {pmatrix}}}$

con la matrice di transizione

${\ displaystyle P = {\ begin {pmatrix} -1 & 1 & {\ tfrac {5} {8}} \\ 1 & -1 & - {\ tfrac {1} {8}} \\ 0 & 2 & 0 \ fine {pmatrix}}}$

Ha. Allora si applica

${\ displaystyle J = J_ {1} (4) \ oplus J_ {2} (16)}$

e

${\ displaystyle e ^ {B} = Pe ^ {J} P ^ {- 1} = P (e ^ {J_ {2} (16)} \ oplus e ^ {J_ {1} (4)}) P ^ {-1}}$.

così è

${\ displaystyle \ exp \ left [{\ begin {pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 16 \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} \ right] = e ^ {16} E \ cdot \ left [{\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} + {1 \ over 2!} {\ Begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} + \ cdots \ right] = {\ begin {pmatrix} e ^ {16 } & e ^ {16} \\ 0 & e ^ {16} \ end {pmatrix}}}$.

L'esponenziale di una matrice 1 × 1 è banale. Con segue ${\ stile di visualizzazione e ^ {J_ {1} (4)} = e ^ {4}}$

${\ displaystyle {\ begin {allineato} \ exp (B) & = P \ exp (J) P ^ {- 1} = P {\ begin {pmatrix} e ^ {4} & 0 & 0 \\ 0 & e ^ {16} & e ^ {16} \\ 0 & 0 & e ^ {16} \ end {pmatrix}} P ^ {- 1} \\ [6pt] & = {1 \ over 4} {\ begin { pmatrix} 13e ^ {16} -e ^ {4} & 13e ^ {16} -5e ^ {4} & 2e ^ {16} -2e ^ {4} \\ - 9e ^ {16} + e ^ {4 } & - 9e ^ {16} + 5e ^ { 4} & - 2e ^ {16} + 2e ^ {4} \\ 16e ^ {16} & 16e ^ {16} & 4e ^ {16} \ end {pmatrix }}. \ Fine {allineato}}}$

Calcolare la forma normale di Jordan e da essa l'esponenziale è molto noioso in questo modo. Solitamente è sufficiente calcolare l'effetto della matrice esponenziale su pochi vettori.

Calcolo numerico

La scomposizione in forma normale di Jordan è numericamente instabile perché, a causa dell'aritmetica in virgola mobile, negli autovalori vengono introdotti errori di arrotondamento, che rendono impossibile raggruppare gli autovalori in gruppi di autovalori identici. Pertanto, nei numeri vengono utilizzate altre tecniche per il calcolo dell'esponenziale di matrice. Gli algoritmi più efficaci disponibili includono l' approssimazione di Padé con scalatura e quadratura (vedi calcolo con la serie di Taylor ) oi metodi di scomposizione matriciale come la diagonalizzazione della matrice . Nel caso di grandi matrici, lo sforzo computazionale può essere ridotto anche utilizzando spazi di Krylow i cui vettori di base sono stati ortogonalizzati con il metodo di Arnoldi .

Algoritmo più pulito

Un'altra possibilità per calcolare l'esponenziale della matrice è l'algoritmo di Putzer. Con una matrice data e ricorsivamente si definiscono funzioni e matrici continuamente derivabili , in modo che: ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ volte n}}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle p_ {k}}$${\ displaystyle M_ {k}}$

${\ displaystyle \ exp (At) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} p_ {k} (t) M_ {k-1}}$

La soluzione dell'esponenziale matriciale di una matrice si ottiene come polinomio. Il calcolo ha uno sforzo dell'ordine di grandezza (calcolo degli autovalori e in particolare delle moltiplicazioni matriciali) ed è quindi adatto solo per matrici piccole. ${\ stile di visualizzazione (n \ volte n)}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (n ^ {4})}$${\ stile di visualizzazione n}$

Applicazioni

Equazioni differenziali lineari omogenee

L'esponenziale matriciale può essere utilizzato per risolvere un sistema di equazioni differenziali lineari . Un'equazione differenziale della forma

${\ displaystyle y '= Cy}$

ha la soluzione . Se hai il vettore ${\ stile di visualizzazione e ^ {Ct}}$

${\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = {\ begin {pmatrix} y_ {1} (t) \\\ vdots \\ y_ {n} (t) \ end {pmatrix}}}$

considerato, allora si può considerare un sistema di equazioni differenziali lineari accoppiate come

${\ displaystyle \ mathbf {y} '(t) = A \ mathbf {y} (t) + \ mathbf {b}}$.

Se applichi il fattore di integrazione e moltiplichi su entrambi i lati, ottieni ${\ displaystyle e ^ {- tA}}$

${\ displaystyle e ^ {- tA} \ mathbf {y} '(t) -e ^ {- tA} A \ mathbf {y} = e ^ {- tA} \ mathbf {b}}$,

${\ displaystyle D (e ^ {- tA} \ mathbf {y}) = e ^ {- tA} \ mathbf {b}}$.

Se si calcola, si ottiene una soluzione del sistema di equazioni differenziali. ${\ stile di visualizzazione e ^ {tA}}$

Esempio (omogeneo)

Il seguente sistema di equazioni differenziali è dato

${\ displaystyle {\ begin {allineato} y_ {1} '& = 3y_ {1} -y_ {2}, \\ y_ {2}' & = y_ {1} + y_ {2}. \ end {allineato} }}$

Può essere scritto usando la matrice dei coefficienti ${\ displaystyle y '(t) = Ay (t)}$

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}}}$.

Questo dà la matrice associata esponenziale a

${\ displaystyle e ^ {tA} = e ^ {2t} {\ inizio {pmatrix} 1 + t & -t \\ t & 1-t \ fine {pmatrix}}}$.

Si ottiene così la soluzione generale del sistema di equazioni differenziali

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} y_ {1} (t) \\ y_ {2} (t) \ end {pmatrix}} = C_ {1} e ^ {2t} {\ begin {pmatrix} 1 + t \\ t \ end {pmatrix}} + C_ {2} e ^ {2t} {\ begin {pmatrix} -t \\ 1-t \ end {pmatrix}}}$.

Caso disomogeneo - variazione delle costanti

Per il caso disomogeneo si può utilizzare un metodo simile alla variazione delle costanti . Si cerca una soluzione della forma : ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {p} (t) = e ^ {tA} \ mathbf {z} (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {p} '= (e ^ {tA})' \ mathbf {z} (t) + e ^ {tA} \ mathbf {z} '(t) = Ae ^ {tA } \ mathbf {z} (t) + e ^ {tA} \ mathbf {z} '(t) = A \ mathbf {y} _ {p} (t) + e ^ {tA} \ mathbf {z}' (T)}$

Per trovare la soluzione , puoi scommetterci ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {p}}$

${\ displaystyle e ^ {tA} \ mathbf {z} '(t) = \ mathbf {b} (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {z} '(t) = (e ^ {tA}) ^ {- 1} \ mathbf {b} (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {z} (t) = \ int _ {0} ^ {t} e ^ {- uA} \ mathbf {b} (u) \, du + \ mathbf {c}}$

Questo risulta in

${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {p} = e ^ {tA} \ int _ {0} ^ {t} e ^ {- uA} \ mathbf {b} (u) \, du + e ^ {tA } \ mathbf {c} = \ int _ {0} ^ {t} e ^ {(tu) A} \ mathbf {b} (u) \, du + e ^ {tA} \ mathbf {c}}$,

dove è determinato dalle condizioni iniziali. ${\ stile di visualizzazione c}$

Esempio (disomogeneo)

Il sistema di equazioni differenziali è dato

${\ displaystyle {\ begin {allineato} y_ {1} '& = 3y_ {1} -y_ {2} -2e ^ {t}, \\ y_ {2}' & = y_ {1} + y_ {2} -e ^ {t}. \ end {allineato}}}$

Il sistema si scrive con la matrice sopra ${\ stile di visualizzazione A}$

${\ displaystyle y '(t) = Ay (t) + b (t)}$

insieme a

${\ displaystyle b (t) = e ^ {t} {\ inizio {pmatrix} -2 \\ - 1 \ fine {pmatrix}}}$.

La soluzione generale dell'equazione omogenea è già stata calcolata sopra. La somma delle soluzioni omogenee e speciali dà luogo alla soluzione del problema disomogeneo. Devi solo trovare una soluzione speciale (variando le costanti). Dall'equazione sopra si ottiene: ${\ displaystyle y_ {p} (t)}$

${\ displaystyle y_ {p} (t) = e ^ {tA} \ int _ {0} ^ {t} e ^ {- uA} b (u) \, tu}$,

così

${\ displaystyle y_ {p} (t) = e ^ {2t} {\ begin {pmatrix} 1 + t & -t \\ t & 1-t \ end {pmatrix}} \ int _ {0} ^ {t } e ^ {-2u} {\ begin {pmatrix} 1-u & u \\ - u & 1 + u \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} -2e ^ {u} \\ - e ^ { u} \ end {pmatrix} } \, du = {\ begin {pmatrix} -e ^ {2t} (1 + t) + e ^ {t} \\ - te ^ {2t} \ end {pmatrix}}}$.

Guarda anche

• matrici
• Logaritmo della matrice
• Funzione esponenziale
• Mappatura esponenziale

letteratura

• Roger A. Horn, Charles R. Johnson: argomenti nell'analisi della matrice . Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-46713-6 (inglese).
• Cleve Moler, Charles F. Van Loan: diciannove modi dubbi per calcolare l'esponenziale di una matrice, venticinque anni dopo . In: Recensione SIAM . nastro 45 , nr. 1 , 2003, ISSN  1095-7200 , pag. 1-49 , doi : 10.1137 / S00361445024180 ( cornell.edu [PDF]). 
• VI Arnolʹd: Equazioni differenziali ordinarie . Springer-Verlag, Berlino / New York 1980, ISBN 3-540-09216-1 .

Evidenze individuali

1. ^ S. Blanes, F. Casas, JA Oteo, J. Ros: L'espansione Magnus e alcune delle sue applicazioni. (= Rapporti di Fisica. Volume 470). Biblioteca della Cornell University, 2009, OCLC 635162561 .
2. ↑ T. Möller: Simulazione simbolica basata sulla matematica degli spazi dei cilindri per cicli di gas rigenerativi. In: Int J Energy Environment Ing. Springer Berlino / Heidelberg, febbraio 2015. http://link.springer.com/article/10.1007/s40095-015-0163-3