Matris exponentiell

Inom matematik är matrisexponentialen , även kallad matrixexponentiell funktion , en funktion på uppsättningen kvadratmatriser , som definieras analogt med den vanliga (skalär) exponentiella funktionen . Matrisen exponentiell upprättar sambandet mellan Lie -algebra och den associerade Lie -gruppen .

definition

Vara en verklig eller komplext - matris . Exponentialen för , som betecknas med eller , är matrisen, som definieras av följande kraftserier ( Taylor -expansion ): ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle n \ gånger n}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle e ^ {X}}$${\ displaystyle \ exp (X)}$${\ displaystyle n \ gånger n}$

${\ displaystyle e ^ {X} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {X ^ {k}} {k!}} = E + X + {\ frac {X ^ {2 }} {2}} + \ prickar}$.

Denna serie, precis som den vanliga exponentiella funktionen , konvergerar alltid. Därför är exponentialen väl definierad. När är en matris är matrisens exponential lika med den vanliga exponentialfunktionen . En generalisering, som också är användbar för oändliga matriser, är den exponentiella funktionen på godtyckliga Banach -algebra . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle 1 \ times 1}$${\ displaystyle X}$

egenskaper

Matrisen exponential delar ett antal av egenskaperna för den vanliga exponentialfunktionen. Exempelvis är exponentialen för - nollmatrisen lika med - - matrisen : ${\ displaystyle (n \ gånger n)}$ ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle (n \ gånger n)}$ ${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle e ^ {0} = E}$.

För alla komplexa matriser och komplexa tal och håll ${\ displaystyle n \ gånger n}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle e ^ {aX} \ cdot e ^ {bX} = e ^ {(a + b) X}}$.

Det följer

${\ displaystyle e ^ {X} \ cdot e ^ {- X} = e ^ {(1-1) X} = e ^ {0} = E}$,

Det betyder

${\ displaystyle \ left (e ^ {X} \ right) ^ {- 1} = e ^ {- X}}$.

Matrisen som är för omvänd betecknar . ${\ displaystyle \ left (e ^ {X} \ right) ^ {- 1}}$${\ displaystyle e ^ {X}}$

Den exponentiella funktionen uppfyller alla nummer och . Detsamma gäller för pendlingsmatriser och , det vill säga av ${\ displaystyle e ^ {x + y} = e ^ {x} \, e ^ {y}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle X \ times Y = Y \ times X}$

följer

${\ displaystyle e ^ {X + Y} = e ^ {X} \ cdot e ^ {Y}}$.

Denna ekvation är generellt felaktig för icke-kommuterande matriser. I det här fallet kan man beräkna med hjälp av Baker-Campbell-Hausdorff-formeln . ${\ displaystyle e ^ {X + Y}}$

Exponentialen för matrisen som ska transponeras är lika med transponeringen av exponentialen för : ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ exp \ left (X ^ {\ mathrm {T}} \ right) = \ left (\ exp X \ right) ^ {\ mathrm {T}}}$

Det följer att matrisens exponentiella funktion kartlägger symmetriska matriser till symmetriska matriser och skev-symmetriska matriser till ortogonala matriser . Förhållandet mellan tillägg och exponentiering gäller analogt

${\ displaystyle \ exp \ left (X ^ {*} \ right) = \ left (\ exp X \ right) ^ {*}}$,

så att matrisens exponentiella funktion kartlägger hermitiska matriser till hermitiska matriser och snedvrider hermitiska matriser till enhetsmatriser .

Följande gäller också:

• Om det är inverterbart , så är det .${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle e ^ {YXY ^ {- 1}} = Ye ^ {X} Y ^ {- 1}}$
• ${\ displaystyle \ det (e ^ {X}) = e ^ {{\ mbox {tr}} (X)}}$, Här betecknar den spår av den kvadratiska matrisen .${\ displaystyle {\ mbox {tr}} (X)}$${\ displaystyle X}$
• ${\ displaystyle e ^ {\ operatorname {diag} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} = \ operatorname {diag} \ left (e ^ {x_ {1}}, \ ldots, e ^ { x_ {n}} \ höger)}$.

Den exponentiella kartan

Exponeringen av en matris är alltid en inverterbar matris . Den inversa av är given av. Den (komplexa) matrisexponentialen ger således en kartläggning ${\ displaystyle e ^ {X}}$${\ displaystyle e ^ {- X}}$

${\ displaystyle \ exp \ colon M_ {n} (\ mathbb {C}) \ till {\ mbox {GL}} (n, \ mathbb {C})}$

från vektorrummet för alla (komplexa) matriser till den allmänna linjära gruppen , gruppen av alla (komplexa) inverterbara matriser. Denna kartläggning är surjektiv , dvs varje (verklig eller komplex) inverterbar matris kan skrivas som exponentiell matris för en komplex matris. Arketyper (eller lokala sektioner ) kan beräknas med hjälp av matrislogaritmer . ${\ displaystyle (n \ gånger n)}$

För varannan matris och gäller ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle \ | e ^ {X + Y} -e ^ {X} \ | \ leq \ | Y \ | e ^ {\ | X \ |} e ^ {\ | Y \ |}}$,

där betecknar vilken matrisnorm som helst . Det följer att den exponentiella kartläggningen är kontinuerlig och till och med lipschitz -kontinuerlig på kompakta delmängder av . Det finns dock en mer exakt gräns för själva matrisens exponentiella norm ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {C})}$

${\ displaystyle \ | e ^ {X} \ | \ leq e ^ {\ mu (X)}}$

med den logaritmiska matrisnormen och det numeriska värdet . ${\ displaystyle \ mu}$

Uppgiften

${\ displaystyle t \ mapsto e ^ {tX}, \ qquad t \ in \ mathbb {R},}$

definierar en jämn kurva i den allmänna linjära gruppen som ger identitetsmatrisen. Detta ger en undergrupp med en parameter för den allmänna linjära gruppen, da ${\ displaystyle t = 0}$

${\ displaystyle e ^ {tX} e ^ {sX} = e ^ {(t + s) X}}$

är tillämplig. Avledningen av denna funktion i punkten är genom ${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} e ^ {tX} = Xe ^ {tX} \ qquad (1)}$

given. Avledningen för är bara matrisen , det vill säga skapar denna enparameterundergrupp. ${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Mer allmänt gäller:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} e ^ {X (t)} = \ int _ {0} ^ {1} e ^ {(1- \ alpha) X (t)} {\ frac { dX (t)} {dt}} e ^ {\ alfa X (t)} d \ alpha}$

Exempel på Lie -algebra och tillhörande Lie -grupper

Ljugrupp	exempel
Allmän linjär grupp  ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n, K)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n) = \ {X \ i M_ {n} (\ mathbb {R}) \}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n) = \ {X \ i M_ {n} (\ mathbb {R}) \ vert \ det (X) \ neq 0 \}}$.
Ortogonal grupp  ${\ displaystyle \ mathrm {O} (n, K)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {o}} (n) = \ {X \ i M_ {n} (\ mathbb {R}) \ vert X ^ {T} = - X \}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {O} (n) = \ {X \ i M_ {n} (\ mathbb {R}) \ vert X ^ {T} = X ^ {- 1} \}}$
Enhetsgrupp  ${\ displaystyle \ mathrm {U} (n)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {u}} (n) = \ {X \ i M_ {n} (\ mathbb {C}) \ vert X ^ {*} = - X \}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {U} (n) = \ {X \ i M_ {n} (\ mathbb {C}) \ vert X ^ {*} = X ^ {- 1} \}}$
Särskild enhetsgrupp  ${\ displaystyle \ mathrm {SU} (n)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2) = \ {X \ i M_ {2} (\ mathbb {C}) \ vert X ^ {*} = - X, \ operatorname {tr} (X) = 0 \}}$är kartlagt från surjektiv till . ${\ displaystyle \ exp}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SU} (2) = \ {A \ i M_ {2} (\ mathbb {C}) \ vert A ^ {*} = A ^ {- 1}, \ det (A) = 1 \}}$
Särskild ortogonal grupp  ${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n, K)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (n, \ mathbb {R}) = {\ mathfrak {o}} (n, \ mathbb {R}) = \ {X \ i M_ {n} (\ mathbb { R}) \ vert X ^ {T} = - X \}}$( skeva symmetriska matriser ) mappas från surjektiv till . ${\ displaystyle \ exp}$${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n, \ mathbb {R}) = \ {A \ i M_ {n} (\ mathbb {R}) \ vert A ^ {T} = A ^ {- 1}, \ det (A) = 1 \}}$
Särskild linjär grupp  ${\ displaystyle \ mathrm {SL} (n, K)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})}$är kartlagt från icke- subjektivt till . Notoriskt motexempel med är inte i bilden av . ${\ displaystyle \ exp}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SL} (2, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -1 & a \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} \ in \ mathrm {SL} (2, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle a \ neq 0}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})}$

Från det sista exemplet kan man se att den exponentiella kartläggningen för generering av Lie -grupper (beroende på Lie -algebra) i allmänhet inte är subjektiv.

Linjära differentialekvationer

En av fördelarna med matrisexponential är att den kan användas för att lösa system med linjära vanliga differentialekvationer , t.ex. B. kan användas för statens rymdmodell för dynamiska överföringssystem. Till exempel, från ekvation (1) ovan följer att lösningen på problemet med initialvärdet

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} y (t) = Ay (t), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}}$

med en kvadratisk matris av ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle y (t) = e ^ {A (t-t_ {0})} y_ {0}}$

givet är.

Matrisexponentialen kan också användas för att lösa den inhomogena ekvationen

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} y (t) = Ay (t) + z (t), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}}$,

användas. Exempel finns nedan i kapitlet Applikationer .

För differentialekvationer av formen

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} y (t) = A (t) \, y (t), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}}$

med icke-konstant finns det i allmänhet inga slutna lösningar. Dock Magnus-serien ger en allmän lösning i matrisnotation via matrisexponentialfunktion funktion även i fallet med icke-konstanta koefficienter (som en oändlig serie av exponenten).${\ displaystyle A}$

Beräkning av matrisens exponential

Taylor -serien

Matrisens exponentiella funktion och kan i princip beräknas med dess Taylor -expansion: ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ gånger n}}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ exp (At) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {A ^ {k} t ^ {k}} {k!}} = E + At + {\ frac {A ^ {2} t ^ {2}} {2}} + {\ frac {A ^ {3} t ^ {3}} {6}} + {\ frac {A ^ {4} t ^ {4 }} {24}} + \ cdots}$

Här hänvisar till den fakultet av . Om noggrannheten är tillräcklig (serien är absolut konvergent) bör serien avslutas med ett begränsat antal beräkningssteg. Ju större poster i matrisen, desto fler termer i serien måste beräknas (t.ex. för att lösa den linjära differentialekvationen för ett stort tidssteg). För att förbättra lösningsalgoritmen i detta avseende kan posterna i matrisen elegant skalas med hjälp av beräkningsregeln ("Scaling & Squaring" -metoden). Om den (naturliga) matrisnormen inte är för stor kan serien också beräknas med hjälp av Padé -approximationen . Metoden för skalning och kvadrering har en kostnad av storleksordningen (i huvudsak matrismultiplikationer ). Faktorn beror på skalningsparametrarna och i synnerhet på matrisstandarden. ${\ displaystyle k!}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle e ^ {At} = (e ^ {At / m}) ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ | På \ |}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (n ^ {3})}$${\ displaystyle n ^ {3}}$

Nilen Potent Fall

En matris är nollpotent om den håller för ett lämpligt naturligt tal . I detta fall bryts serieutvidgningen av efter ett begränsat antal termer och matrisen exponentiell kan användas som ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N ^ {q} = 0}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle e ^ {N}}$

${\ displaystyle \ exp (N) = E + N + {\ frac {1} {2}} N ^ {2} + {\ frac {1} {6}} N ^ {3} + \ cdots + {\ frac {1} {(q-1)!}} N ^ {q-1}}$

beräknas.

Diagonalisering av matrisen

Är matrisen en diagonal matris${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle D = {\ begin {pmatrix} a_ {1} & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & a_ {2} & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ ldots & a_ {n} \ end {pmatrix}}}$,

då kan man hitta dess exponential genom att tillämpa den vanliga exponentialfunktionen på varje post i huvuddiagonal :

${\ displaystyle e ^ {D} = {\ begin {pmatrix} e ^ {a_ {1}} & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & e ^ {a_ {2}} & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ ldots & e ^ {a_ {n}} \ end {pmatrix}}}$.

Med detta kan man också beräkna exponentialen för en diagonaliserbar matris . För diagonalisering ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle A = VDV ^ {- 1}}$

med en diagonal matris är associerad egenbasis och - egenvärden för matrisen bestämda. För matrisens exponentiella funktion följer det av detta ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ exp (At) = Ve ^ {Dt} \, V ^ {- 1} = V \ operatorname {diag} (e ^ {\ lambda _ {1} t}, e ^ {\ lambda _ {2 } t}, \ dotsc, e ^ {\ lambda _ {n} t}) \, V ^ {- 1}}$

med den vanliga exponentiella funktionen . Beviset följer direkt av Taylor -expansionen av den exponentiella funktionen. ${\ displaystyle e ^ {\ lambda _ {i} t}}$

Matrisens diagonalisering, liksom QR -algoritmen eller Jordaniens normala form , tillhör matrisnedbrytningsmetoderna för att beräkna den exponentiella funktionen. Diagonaliseringen och QR -algoritmen har vardera en ansträngning av storleksordningen och är, i jämförelse med metoder baserade på Taylor -expansionen, oberoende av . Huvudberäkningsinsatsen (här: bestämning av egenvärden och egenvektorer ) är också oberoende av variablerna . För att lösa exempelvis linjära differentialekvationer för flera tidssteg behöver denna mängd arbete endast utföras en gång. Med diagonaliseringsmetoden utförs beräkningen av de ytterligare tidsstegen genom enkel matrismultiplikation, och med QR -algoritmen är ansträngningen endast i storleksordningen . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (n ^ {3})}$${\ displaystyle \ | På \ |}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (n ^ {2})}$

exempel 1

Följande matrisexponentiella funktion ska beräknas:

${\ displaystyle \ exp (At) = \ exp \ left [{\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ a_ {2,1} & a_ {2,2} \ end {pmatrix}} t \ right]}$.

För detta ändamål diagonaliseras först matrisen med hjälp av egenvärden och egenvektorer. Med den diagonala matrisen och egenbasen följer det: ${\ displaystyle (2 \ gånger 2)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle \ exp (At) = Ve ^ {Dt} \, V ^ {- 1} = V {\ begin {pmatrix} e ^ {\ lambda _ {1} t} & 0 \\ 0 & e ^ { \ lambda _ {2} t} \ end {pmatrix}} V ^ {- 1}}$.

Egenskaperna för det karakteristiska polynomet bestämt till

${\ displaystyle \ lambda _ {1,2} = {\ frac {a_ {2,2}} {2}} \ pm {\ sqrt {\ left ({\ frac {a_ {2,2}} {2} } \ höger) ^ {2} + a_ {2,1}}}}$.

Följande gäller för de två egenvektorerna eller egenbasen:

${\ displaystyle V = {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\\ lambda _ {1} & \ lambda _ {2} \ end {pmatrix}} ~~~}$som ${\ displaystyle ~~ V ^ { - 1} = {\ frac {1} {\ lambda _ {2} - \ lambda _ {1}}} {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {2} & - 1 \ \ - \ lambda _ {1} & 1 \ end {pmatrix}}}$

Att ersätta matrisens exponentiella funktion ger slutligen resultat

${\ displaystyle \ exp (At) = {\ frac {1} {\ lambda _ {2} - \ lambda _ {1}}} {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {2} e ^ {\ lambda _ { 1} t} - \ lambda _ {1} e ^ {\ lambda _ {2} t} & e ^ {\ lambda _ {2} t} -e ^ {\ lambda _ {1} t} \\\ lambda _ {1} \ lambda _ {2} (e ^ {\ lambda _ {1} t} -e ^ {\ lambda _ {2} t}) & \ lambda _ {2} e ^ {\ lambda _ {2 } t} - \ lambda _ {1} e ^ {\ lambda _ {1} t} \ end {pmatrix}}}$

som en sluten analytisk lösning.

Exempel 2

Matrisens exponentiella funktion

${\ displaystyle \ exp (At) = \ exp \ left [{\ begin {pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & -5 \ end {pmatrix}} t \ right] = {\ begin {pmatrix} (1 + 4t) e ^ {- t} &- 4th ^ {- t} \\ 4th ^ {- t} & (1-4t) e ^ {- t} \ end {pmatrix}}}$

har en lösning, men själva matrisen är inte diagonaliserbar. Matrisen har de två egenvärdena . Så även om egenvärdet har den algebraiska multipliciteten 2, finns det bara en linjärt oberoende egenvektor. Grunden från egenvektorerna ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ lambda _ {1,2} = - 1}$

${\ displaystyle V = {\ begin {pmatrix} a_ {2,1} & a_ {2,1} \\\ lambda _ {1} -a_ {1,1} & \ lambda _ {2} -a_ {1 , 1} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -4 & -4 \\ -4 & -4 \ end {pmatrix}}}$

kan inte vändas . Det karakteristiska polynomets diskriminant

${\ displaystyle D_ {2} = \ vänster ({\ frac {a_ {1,1} -a_ {2,2}} {2}} \ höger) ^ {2} + a_ {1,2} \, a_ {2,1} = \ vänster ({\ frac {3 - ( - 5)} {2}} \ höger) ^ {2} -16}$

blir alltid noll. I detta fall, det vill säga när samma egenvärden eller egenvektorer uppstår, kan Jordans normala form användas formellt för transformationen.

Delningsmetod

Om matrisens minimala polynom (eller det karakteristiska polynomet ) bryts ner till linjära faktorer (detta är alltid fallet ovan ), kan det vara entydigt till en summa ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle X = A + N}$

demonteras, med

• ${\ displaystyle A}$ är diagonaliserbar,
• ${\ displaystyle N}$ är nollpotent och
• ${\ displaystyle A}$kommuterar med (dvs. ).${\ displaystyle N}$${\ displaystyle AN = NA}$

Detta gör att du den exponentiella av laddningen, genom att reducera den till ovannämnda fall: . I det sista steget behöver du kommutativitet för och . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle e ^ {X} = e ^ {A + N} = e ^ {A} e ^ {N}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle N}$

Användning av Jordaniens normala form

En annan metod är att använda Jordan normala formen av , varigenom klyvningen metod används också. Låt vara Jordaniens normala form med basförändringsmatrisen , då ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle e ^ {X} = Pe ^ {J} P ^ {- 1}.}$

Eftersom

${\ displaystyle J = J_ {a_ {1}} (\ lambda _ {1}) \ oplus J_ {a_ {2}} (\ lambda _ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus J_ {a_ {n}} (\ lambda _ {n})}$

är tillämplig

${\ displaystyle {\ begin {align} e ^ {J} & = \ exp {\ big (} J_ {a_ {1}} (\ lambda _ {1}) \ oplus J_ {a_ {2}} (\ lambda _ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus J_ {a_ {n}} (\ lambda _ {n}) {\ big)} \\ & = \ exp {\ big (} J_ {a_ {1}} ( \ lambda _ {1}) {\ big)} \ oplus \ exp {\ big (} J_ {a_ {2}} (\ lambda _ {2}) {\ big)} \ oplus \ cdots \ oplus \ exp { \ big (} J_ {a_ {k}} (\ lambda _ {k}) {\ big)}. \ end {align}}}$

Därför behöver man bara veta exponentialen för ett Jordan -block. Nu är varje Jordan -block av formen

${\ displaystyle J_ {a} (\ lambda) = \ lambda \, E + N,}$

var finns en speciell nilpotent matris. Så exponentiell för Jordan -blocket är ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle e ^ {\ lambda E + N} = e ^ {\ lambda} e ^ {N}.}$

exempel

Titta på matrisen

${\ displaystyle B = {\ begin {pmatrix} 21 & 17 & 6 \\ -5 & -1 & -6 \\ 4 & 4 & 16 \ end {pmatrix}}}$,

som är Jordaniens normala form

${\ displaystyle J = P ^ {- 1} BP = {\ begin {pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 1 \\ 0 & 0 & 16 \ end {pmatrix}}}$

med övergångsmatrisen

${\ displaystyle P = {\ begin {pmatrix} -1 & 1 & {\ tfrac {5} {8}} \\ 1 & -1 & -{\ tfrac {1} {8}} \\ 0 & 2 & 0 \ end {pmatrix}}}$

Har. Sedan gäller

${\ displaystyle J = J_ {1} (4) \ oplus J_ {2} (16)}$

och

${\ displaystyle e ^ {B} = Pe ^ {J} P ^ {- 1} = P (e ^ {J_ {2} (16)} \ oplus e ^ {J_ {1} (4)}) P ^ {-1}}$.

Så är det

${\ displaystyle \ exp \ left [{\ begin {pmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 16 \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} \ höger] = e ^ {16} E \ cdot \ left [{\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ slutet {pmatrix}} + {1 \ över 2!} {\ Begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} + \ cdots \ right] = {\ begin {pmatrix} e ^ {16 } & e ^ {16} \\ 0 & e ^ {16} \ end {pmatrix}}}$.

Exponentialen för en 1 × 1 matris är trivial. Med följande ${\ displaystyle e ^ {J_ {1} (4)} = e ^ {4}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ exp (B) & = P \ exp (J) P ^ {- 1} = P {\ begin {pmatrix} e ^ {4} & 0 & 0 \\ 0 & e ^ {16} & e ^ {16} \\ 0 & 0 & e ^ {16} \ end {pmatrix}} P ^ {- 1} \\ [6pt] & = {1 \ över 4} {\ begin { pmatrix} 13e ^ {16} -e ^ {4} & 13e ^ {16} -5e ^ {4} & 2e ^ {16} -2e ^ {4} \\ -9e ^ {16} + e ^ {4 } & - 9e ^ {16} + 5e ^ {4} & - 2e ^ {16} + 2e ^ {4} \\ 16e ^ {16} & 16e ^ {16} & 4e ^ {16} \ end {pmatrix }}. \ End {align}}}$

Att beräkna Jordans normala form och därav exponentiell är mycket tråkigt på detta sätt. Det är vanligtvis tillräckligt att beräkna effekten av den exponentiella matrisen på några vektorer.

Numerisk beräkning

Jordens normala sönderdelning är numeriskt instabil eftersom, på grund av flytpunktens aritmetik, införs avrundningsfel i egenvärdena, vilket gör det omöjligt att gruppera egenvärdena i grupper av identiska egenvärden. Därför används andra tekniker för att beräkna matrisens exponential i numerik. De mest effektiva algoritmerna som finns är Padé -approximationen med skalning och kvadrering (se beräkning med Taylor -serien ) eller matrisnedbrytningsmetoder , till exempel matrisens diagonalisering . När det gäller stora matriser kan beräkningsansträngningen också minskas genom att använda Krylow -utrymmen vars basvektorer har ortogonaliserats med Arnoldi -metoden .

Renare algoritm

En annan möjlighet att beräkna matrisens expontial är Putzer -algoritmen. Med en given matris och rekursivt definieras kontinuerligt differentierbara funktioner och matriser , så att: ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ gånger n}}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle p_ {k}}$${\ displaystyle M_ {k}}$

${\ displaystyle \ exp (At) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} p_ {k} (t) M_ {k-1}}$

Lösningen av matrisens exponential för en matris erhålls som ett polynom. Beräkningen har en ansträngning av storleksordningen (beräkning av egenvärdena och i synnerhet matrismultiplikationer) och är därför endast lämplig för små matriser. ${\ displaystyle (n \ gånger n)}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (n ^ {4})}$${\ displaystyle n}$

Ansökningar

Homogena linjära differentialekvationer

Matrisexponentialen kan användas för att lösa ett system med linjära differentialekvationer . En differentialekvation av formen

${\ displaystyle y '= Cy}$

har lösningen . Om du har vektorn ${\ displaystyle e ^ {Ct}}$

${\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = {\ begin {pmatrix} y_ {1} (t) \\\ vdots \\ y_ {n} (t) \ end {pmatrix}}}$

betraktas, då kan man betrakta ett system med kopplade linjära differentialekvationer som

${\ displaystyle \ mathbf {y} '(t) = A \ mathbf {y} (t) + \ mathbf {b}}$.

Om du tillämpar integrationsfaktorn och multiplicerar på båda sidor får du ${\ displaystyle e ^ {- tA}}$

${\ displaystyle e ^ {- tA} \ mathbf {y} '(t) -e ^ {- tA} A \ mathbf {y} = e ^ {- tA} \ mathbf {b}}$,

${\ displaystyle D (e ^ {- tA} \ mathbf {y}) = e ^ {- tA} \ mathbf {b}}$.

Om man räknar får man en lösning av differentialekvationssystemet. ${\ displaystyle e ^ {tA}}$

Exempel (homogent)

Följande differentialekvationssystem ges

${\ displaystyle {\ begin {align} y_ {1} '& = 3y_ {1} -y_ {2}, \\ y_ {2}' & = y_ {1} + y_ {2}. \ end {align} }}$

Det kan skrivas med hjälp av koefficientmatrisen ${\ displaystyle y '(t) = Ay (t)}$

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}}}$.

Detta ger den associerade matrisen exponentiell till

${\ displaystyle e ^ {tA} = e ^ {2t} {\ begin {pmatrix} 1 + t & -t \\ t & 1 -t \ end {pmatrix}}}$.

Den allmänna lösningen för differentialekvationssystemet erhålls således

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} y_ {1} (t) \\ y_ {2} (t) \ end {pmatrix}} = C_ {1} e ^ {2t} {\ begin {pmatrix} 1 + t \\ t \ end {pmatrix}} + C_ {2} e ^ {2t} {\ begin {pmatrix} -t \\ 1 -t \ end {pmatrix}}}$.

Inhomogent fall - variation av konstanterna

För det inhomogena fallet kan man använda en metod som liknar variationen av konstanterna . En lösning av formuläret söks: ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {p} (t) = e ^ {tA} \ mathbf {z} (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {p} '= (e ^ {tA})' \ mathbf {z} (t) + e ^ {tA} \ mathbf {z} '(t) = Ae ^ {tA } \ mathbf {z} (t) + e ^ {tA} \ mathbf {z} '(t) = A \ mathbf {y} _ {p} (t) + e ^ {tA} \ mathbf {z}' (t)}$

För att hitta lösningen satsar du ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {p}}$

${\ displaystyle e ^ {tA} \ mathbf {z} '(t) = \ mathbf {b} (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {z} '(t) = (e ^ {tA}) ^ {- 1} \ mathbf {b} (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {z} (t) = \ int _ {0} ^ {t} e ^ {- uA} \ mathbf {b} (u) \, du + \ mathbf {c}}$

Detta resulterar i

${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {p} = e ^ {tA} \ int _ {0} ^ {t} e ^ {- uA} \ mathbf {b} (u) \, du + e ^ {tA } \ mathbf {c} = \ int _ {0} ^ {t} e ^ {(tu) A} \ mathbf {b} (u) \, du + e ^ {tA} \ mathbf {c}}$,

där bestäms av de ursprungliga villkoren. ${\ displaystyle c}$

Exempel (inhomogent)

Differentialekvationssystemet ges

${\ displaystyle {\ begin {align} y_ {1} '& = 3y_ {1} -y_ {2} -2e ^ {t}, \\ y_ {2}' & = y_ {1} + y_ {2} -e ^ {t}. \ end {align}}}$

Systemet skriver sig själv med matrisen ovan ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle y '(t) = Ay (t) + b (t)}$

med

${\ displaystyle b (t) = e ^ {t} {\ begin {pmatrix} -2 \\ - 1 \ end {pmatrix}}}$.

Den allmänna lösningen av den homogena ekvationen har redan beräknats ovan. Summan av homogena och speciella lösningar resulterar i lösningen för det inhomogena problemet. Du behöver bara hitta en speciell lösning (genom att variera konstanterna). Från ekvationen ovan får vi: ${\ displaystyle y_ {p} (t)}$

${\ displaystyle y_ {p} (t) = e ^ {tA} \ int _ {0} ^ {t} e ^ {- uA} b (u) \, du}$,

så

${\ displaystyle y_ {p} (t) = e ^ {2t} {\ begin {pmatrix} 1 + t & -t \\ t & 1 -t \ end {pmatrix}} \ int _ {0} ^ {t } e ^ {-2u} {\ begin {pmatrix} 1 -u & u \\ -u & 1 + u \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} -2e ^ {u} \\ -e ^ { u} \ end {pmatrix}} \, du = {\ begin {pmatrix} -e ^ {2t} (1 + t) + e ^ {t} \\ - te ^ {2t} \ end {pmatrix}}}$.

Se även

• Matriser
• Matrislogaritm
• Exponentiell funktion
• Exponentiell kartläggning

litteratur

• Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Ämnen i matrisanalys . Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-46713-6 (engelska).
• Cleve Moler, Charles F. Van Loan: Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, tjugofem år senare . I: SIAM Review . tejp 45 , nej. 1 , 2003, ISSN  1095-7200 , sid. 1-49 , doi : 10.1137 / S00361445024180 ( cornell.edu [PDF]). 
• VI Arnolʹd: Vanliga differentialekvationer . Springer-Verlag, Berlin / New York 1980, ISBN 3-540-09216-1 .

Individuella bevis

1. ^ S. Blanes, F. Casas, JA Oteo, J. Ros: Magnus -expansionen och några av dess tillämpningar. (= Fysikrapporter. Volym 470). Cornell University Library, 2009, OCLC 635162561 .
2. ↑ T. Möller: Symbolisk matematikbaserad simulering av cylinderutrymmen för regenerativa gascykler. I: Int J Energy Environ Eng. Springer Berlin/Heidelberg, februari 2015. http://link.springer.com/article/10.1007/s40095-015-0163-3