Meromorfní funkce - Meromorphic function

V matematickém oblasti komplexní analýzy , je meromorfní funkce na otevřeném podmnožina D v komplexní rovině je funkce , která je holomorphic na všech D, s výjimkou pro množinu izolovaných bodů , které jsou póly funkce. Termín pochází ze starořeckého meros ( μέρος ), což znamená „část“.

Každá meromorfní funkce na D může být vyjádřena jako poměr mezi dvěma holomorfními funkcemi (se jmenovatelem není konstantní 0) definovanými na D : jakýkoli pól se musí shodovat s nulou ve jmenovateli.

Funkce gama je meromorfní v celé komplexní rovině.

Heuristický popis

Intuitivně je meromorfní funkce poměrem dvou dobře vychovaných (holomorfních) funkcí. Taková funkce bude stále dobře vychovaná, s výjimkou případu v bodech, kde je jmenovatel zlomku nula. Pokud má jmenovatel nulu na z a čitatel ne, pak se hodnota funkce přiblíží nekonečnu; mají -li obě části nulu na z , pak je třeba porovnat násobnost těchto nul.

Z algebraických hlediska, pokud je doména funkci je připojen , pak sada meromorfní funkce je pole frakcí v oboru integrity množiny holomorfních funkcí. To je analogické vztahu mezi racionálními čísly a celými čísly .

Před alternativním použitím

Ve 20. století se změnil jak studijní obor, ve kterém je tento termín používán, tak přesný význam pojmu. V roce 1930, v teorii skupiny , meromorfní funkce (nebo meromorph ) byla funkce ze skupiny G do sebe, který zachoval produkt na skupině. Obraz této funkce se nazývá automorfismus z G . Podobně homomorfní funkce (nebo homomorf ) byla funkcí mezi skupinami, které konzervovaly produkt, zatímco homomorfismus byl obrazem homomorfního. Tato forma termínu je nyní zastaralá a související termín meromorph se již v teorii grup nepoužívá. Pojem endomorfismus se nyní používá pro samotnou funkci, přičemž obrázku funkce není přiřazen žádný zvláštní název.

Meromorphic funkce není nutně endomorphism, protože komplexní body na jeho pólech nejsou v jeho doméně, ale smět být v jeho rozsahu.

Vlastnosti

Vzhledem k tomu, že póly meromorfní funkce jsou izolované, je jich nanejvýš spočitatelně mnoho. Sada pólů může být nekonečná, jak dokládá funkce

${\ Displaystyle f (z) = \ csc z = {\ frac {1} {\ sin z}}.}$

Pomocí analytické pokračování k odstranění odnímatelné singularity , meromorfní funkce mohou být přidány, odečíst, násobí, a podíl může být vytvořen, pokud není na připojeném zařízení z D . Proto, pokud D je připojen, meromorfní funkce tvoří pole , ve skutečnosti je rozšíření pole z komplexních čísel . ${\ displaystyle f/g}$${\ displaystyle g (z) = 0}$

Vyšší rozměry

V několika komplexních proměnných je meromorfní funkce definována jako lokální podíl dvou holomorfních funkcí. Například je meromorfní funkcí v dvojrozměrném komplexním afinním prostoru. Zde již neplatí, že každou meromorfní funkci lze považovat za holomorfní funkci s hodnotami v Riemannově sféře : Existuje soubor „neurčitosti“ kodimenze dvě (v daném příkladu se tato množina skládá z původu ). ${\ Displaystyle f (z_ {1}, z_ {2}) = z_ {1}/z_ {2}}$${\ displaystyle (0,0)}$

Na rozdíl od první dimenze ve vyšších dimenzích existují kompaktní komplexní potrubí, na kterých neexistují žádné nekonstantní meromorfní funkce, například nejsložitější tori .

Příklady

• Například všechny racionální funkce
  $${\ Displaystyle f (z) = {\ frac {z^{3} -2z+10} {z^{5}+3z-1}},}$$

  
  jsou meromorfní v celé komplexní rovině.
• Funkce
  $${\ Displaystyle f (z) = {\ frac {e^{z}} {z}} \ quad {\ text {and}} \ quad f (z) = {\ frac {\ sin {z}} {( z-1)^{2}}}}$$

  
  stejně jako gama funkce a Riemannova zeta funkce jsou meromorfní v celé komplexní rovině.
• Funkce
  $${\ Displaystyle f (z) = e^{\ frac {1} {z}}}$$

  
  je definována v celé komplexní rovině kromě počátku, 0. 0 však není pól této funkce, ale podstatná singularita . Tato funkce tedy není meromorfní v celé komplexní rovině. Je však meromorfní (dokonce holomorfní) na .${\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$
• Komplex logaritmus funkce
  $${\ Displaystyle f (z) = \ ln (z)}$$

  
  není meromorfní na celé komplexní rovině, protože ji nelze definovat na celé komplexní rovině, přičemž vylučuje pouze sadu izolovaných bodů.
• Funkce
  $${\ Displaystyle f (z) = \ csc {\ frac {1} {z}} = {\ frac {1} {\ sin \ left ({\ frac {1} {z}} \ right)}}}}$$

  
  není meromorfní v celé rovině, protože bod je akumulačním bodem pólů a není tedy izolovanou singularitou.${\ displaystyle z = 0}$
• Funkce
  $${\ Displaystyle f (z) = \ sin {\ frac {1} {z}}}$$

  
  není ani meromorfní, protože má zásadní singularitu v 0.

Na povrchu Riemann

Na Riemannově povrchu každý bod připouští otevřené sousedství, které je biholomorfní pro otevřenou podmnožinu komplexní roviny. Tím lze pro každý Riemannův povrch definovat pojem meromorfní funkce.

Když D je celá Riemannova sféra , pole meromorfních funkcí je prostě pole racionálních funkcí v jedné proměnné nad komplexním polem, protože je možné dokázat, že jakákoli meromorfní funkce na sféře je racionální. (Toto je speciální případ takzvaného principu GAGA .)

Pro každý Riemannův povrch je meromorfní funkce stejná jako holomorfní funkce, která se mapuje na Riemannovu sféru a která není konstantní ∞. Póly odpovídají komplexním číslům, která jsou namapována na ∞.

Na nekompaktním Riemannově povrchu lze každou meromorfní funkci realizovat jako podíl dvou (globálně definovaných) holomorfních funkcí. Naproti tomu na kompaktním Riemannově povrchu je každá holomorfní funkce konstantní, zatímco vždy existují nekonstantní meromorfní funkce.

Poznámky pod čarou

Reference