Matrix exponencial

Em matemática , a matriz exponencial , também conhecida como função exponencial da matriz , é uma função no conjunto de matrizes quadradas , que é definida analogamente à função exponencial usual (escalar) . A matriz exponencial estabelece a conexão entre a álgebra de Lie e o grupo de Lie associado .

definição

Seja um verdadeiro ou complexa - matriz . O exponencial de , que é denotado por ou , é a matriz, que é definida pela seguinte série de potências ( expansão de Taylor ): ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle e ^ {X}}$${\ displaystyle \ exp (X)}$${\ displaystyle n \ times n}$

${\ displaystyle e ^ {X} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {X ^ {k}} {k!}} = E + X + {\ frac {X ^ {2 }} {2}} + \ pontos}$.

Essa série, como a da função exponencial comum , sempre converge . Portanto, o exponencial de é bem definido. Quando é uma matriz, o exponencial da matriz é igual à função exponencial comum . Uma generalização, que também é útil para matrizes infinitas, é a função exponencial em álgebras de Banach arbitrárias . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle 1 \ times 1}$${\ displaystyle X}$

propriedades

A matriz exponencial compartilha várias propriedades da função exponencial comum. Por exemplo, o exponencial da matriz - zero é igual à matriz - unit : ${\ displaystyle (n \ vezes n)}$ ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle (n \ vezes n)}$ ${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle e ^ {0} = E}$.

Para quaisquer matrizes complexas e quaisquer números complexos e contenções ${\ displaystyle n \ times n}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle e ^ {aX} \ cdot e ^ {bX} = e ^ {(a + b) X}}$.

Segue-se

${\ displaystyle e ^ {X} \ cdot e ^ {- X} = e ^ {(1-1) X} = e ^ {0} = E}$,

Que significa

${\ displaystyle \ left (e ^ {X} \ right) ^ {- 1} = e ^ {- X}}$.

A matriz que é muito inversa denota . ${\ displaystyle \ left (e ^ {X} \ right) ^ {- 1}}$${\ displaystyle e ^ {X}}$

A função exponencial satisfaz para todos os números e . O mesmo é verdade para matrizes de comutação e , isto é, off ${\ displaystyle e ^ {x + y} = e ^ {x} \, e ^ {y}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle X \ times Y = Y \ times X}$

segue

${\ displaystyle e ^ {X + Y} = e ^ {X} \ cdot e ^ {Y}}$.

Esta equação é geralmente incorreta para matrizes não comutantes. Neste caso, pode-se calcular com a ajuda da fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff . ${\ displaystyle e ^ {X + Y}}$

O exponencial da matriz a ser transposta é igual à transposição do exponencial de : ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ exp \ left (X ^ {\ mathrm {T}} \ right) = \ left (\ exp X \ right) ^ {\ mathrm {T}}}$

Segue-se que a função exponencial de matriz mapeia matrizes simétricas para matrizes simétricas e matrizes assimétricas para matrizes ortogonais . A relação entre adjunção e exponenciação se aplica analogamente

${\ displaystyle \ exp \ left (X ^ {*} \ right) = \ left (\ exp X \ right) ^ {*}}$,

de modo que a função exponencial da matriz mapeia matrizes Hermitianas para matrizes Hermitianas e inclina matrizes Hermitianas para matrizes unitárias .

O seguinte também se aplica:

• Se for invertível , então é .${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle e ^ {YXY ^ {- 1}} = Ye ^ {X} Y ^ {- 1}}$
• ${\ displaystyle \ det (e ^ {X}) = e ^ {{\ mbox {tr}} (X)}}$, Aqui denota o traço da matriz quadrada .${\ displaystyle {\ mbox {tr}} (X)}$${\ displaystyle X}$
• ${\ displaystyle e ^ {\ operatorname {diag} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} = \ operatorname {diag} \ left (e ^ {x_ {1}}, \ ldots, e ^ { x_ {n}} \ right)}$.

O mapa exponencial

O exponencial de uma matriz é sempre uma matriz invertível . O inverso de é dado por. A matriz exponencial (complexa) fornece, assim, um mapeamento ${\ displaystyle e ^ {X}}$${\ displaystyle e ^ {- X}}$

${\ displaystyle \ exp \ colon M_ {n} (\ mathbb {C}) \ to {\ mbox {GL}} (n, \ mathbb {C})}$

do espaço vetorial de todas as matrizes (complexas) para o grupo linear geral , o grupo de todas as matrizes invertíveis (complexas). Este mapeamento é sobrejetivo , ou seja, toda matriz invertível (real ou complexa) pode ser escrita como a matriz exponencial de uma matriz complexa. Os arquétipos (ou seções locais ) podem ser calculados usando logaritmos de matriz . ${\ displaystyle (n \ vezes n)}$

Para cada duas matrizes e aplica - se ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle \ | e ^ {X + Y} -e ^ {X} \ | \ leq \ | Y \ | e ^ {\ | X \ |} e ^ {\ | Y \ |}}$,

onde denota qualquer norma de matriz . Segue-se que o mapeamento exponencial é contínuo e até mesmo lipschitz contínuo em subconjuntos compactos de . No entanto, há um limite mais preciso para a norma da própria matriz exponencial ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {C})}$

${\ displaystyle \ | e ^ {X} \ | \ leq e ^ {\ mu (X)}}$

com a norma da matriz logarítmica e a faixa numérica de valores . ${\ displaystyle \ mu}$

A atribuição

${\ displaystyle t \ mapsto e ^ {tX}, \ qquad t \ in \ mathbb {R},}$

define uma curva suave no grupo linear geral que produz a matriz de identidade. Isso fornece um subgrupo de um parâmetro do grupo linear geral, da ${\ displaystyle t = 0}$

${\ displaystyle e ^ {tX} e ^ {sX} = e ^ {(t + s) X}}$

é aplicável. A derivação desta função no ponto é através ${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} e ^ {tX} = Xe ^ {tX} \ qquad (1)}$

dado. A derivação para é apenas a matriz , ou seja, cria este subgrupo de um parâmetro. ${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Mais geralmente se aplica:

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} e ^ {X (t)} = \ int _ {0} ^ {1} e ^ {(1- \ alpha) X (t)} {\ frac { dX (t)} {dt}} e ^ {\ alpha X (t)} d \ alpha}$

Exemplos de álgebras de Lie e grupos de Lie associados

Grupo de mentiras	exemplo
Grupo linear geral  ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n, K)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n) = \ {X \ in M_ {n} (\ mathbb {R}) \}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {GL} (n) = \ {X \ in M_ {n} (\ mathbb {R}) \ vert \ det (X) \ neq 0 \}}$.
Grupo ortogonal  ${\ displaystyle \ mathrm {O} (n, K)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {o}} (n) = \ {X \ in M_ {n} (\ mathbb {R}) \ vert X ^ {T} = - X \}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {O} (n) = \ {X \ in M_ {n} (\ mathbb {R}) \ vert X ^ {T} = X ^ {- 1} \}}$
Grupo unitário  ${\ displaystyle \ mathrm {U} (n)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {u}} (n) = \ {X \ in M_ {n} (\ mathbb {C}) \ vert X ^ {*} = - X \}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {U} (n) = \ {X \ in M_ {n} (\ mathbb {C}) \ vert X ^ {*} = X ^ {- 1} \}}$
Grupo unitário especial  ${\ displaystyle \ mathrm {SU} (n)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2) = \ {X \ in M_ {2} (\ mathbb {C}) \ vert X ^ {*} = - X, \ operatorname {tr} (X) = 0 \}}$é mapeado de sobrejetivo para . ${\ displaystyle \ exp}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SU} (2) = \ {A \ in M_ {2} (\ mathbb {C}) \ vert A ^ {*} = A ^ {- 1}, \ det (A) = 1 \}}$
Grupo ortogonal especial  ${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n, K)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (n, \ mathbb {R}) = {\ mathfrak {o}} (n, \ mathbb {R}) = \ {X \ in M_ {n} (\ mathbb { R}) \ vert X ^ {T} = - X \}}$( matrizes simétricas distorcidas ) é mapeado de sobrejetiva para . ${\ displaystyle \ exp}$${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n, \ mathbb {R}) = \ {A \ in M_ {n} (\ mathbb {R}) \ vert A ^ {T} = A ^ {- 1}, \ det (A) = 1 \}}$
Grupo linear especial  ${\ displaystyle \ mathrm {SL} (n, K)}$	${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})}$é mapeado de não sobrejetiva a . Contra-exemplo notório com não está à imagem de . ${\ displaystyle \ exp}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SL} (2, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -1 & a \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} \ in \ mathrm {SL} (2, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle a \ neq 0}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (2, \ mathbb {C})}$

A partir do último exemplo, pode-se ver que o mapeamento exponencial para a geração de grupos de Lie (dependendo da álgebra de Lie) geralmente não é sobrejetivo.

Equações diferenciais lineares

Uma das vantagens da matriz exponencial é que ela pode ser usada para resolver sistemas de equações diferenciais ordinárias lineares , e. B. pode ser usado para o modelo de espaço de estado de sistemas de transmissão dinâmica. Por exemplo, da equação (1) acima, segue-se que a solução do problema do valor inicial

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} y (t) = Ay (t), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}}$

com uma matriz quadrada por ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle y (t) = e ^ {A (t-t_ {0})} y_ {0}}$

dado é.

A matriz exponencial também pode ser usada para resolver a equação não homogênea

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} y (t) = Ay (t) + z (t), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}}$,

ser usado. Os exemplos podem ser encontrados abaixo no capítulo Aplicativos .

Para equações diferenciais do formulário

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} y (t) = A (t) \, y (t), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}}$

com não constante , em geral não há soluções fechadas. A série Magnus , no entanto, fornece uma solução geral em notação de matriz por meio da função exponencial de matriz, mesmo no caso de coeficientes não constantes (como uma série infinita do expoente).${\ displaystyle A}$

Cálculo da matriz exponencial

Série Taylor

A função exponencial da matriz e pode, em princípio, ser calculada usando sua expansão de Taylor: ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ exp (At) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {A ^ {k} t ^ {k}} {k!}} = E + At + {\ frac {A ^ {2} t ^ {2}} {2}} + {\ frac {A ^ {3} t ^ {3}} {6}} + {\ frac {A ^ {4} t ^ {4 }} {24}} + \ cdots}$

Aqui refere-se a faculdade de . Se a precisão for suficiente (a série é absolutamente convergente), a série deve terminar em um número finito de etapas de cálculo. Quanto maiores as entradas na matriz, mais termos na série devem ser calculados (por exemplo, para resolver a equação diferencial linear para um grande intervalo de tempo). A fim de melhorar o algoritmo de solução neste sentido, as entradas na matriz podem ser elegantemente escaladas usando a regra de cálculo (método "Scaling & Squaring"). Se a norma da matriz (natural) não for muito grande, a série também pode ser calculada usando a aproximação de Padé . O método de escalonamento e quadratura tem uma despesa da ordem de magnitude (essencialmente multiplicações de matrizes ). O fator de depende dos parâmetros de escala e, em particular, do padrão da matriz. ${\ displaystyle k!}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle e ^ {At} = (e ^ {At / m}) ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ | Em \ |}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (n ^ {3})}$${\ displaystyle n ^ {3}}$

Queda potente do Nilo

Uma matriz é nilpotente se for válida para um número natural adequado . Neste caso, a expansão da série de quebra após um número finito de termos e a matriz exponencial pode ser usada como ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N ^ {q} = 0}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle e ^ {N}}$

${\ displaystyle \ exp (N) = E + N + {\ frac {1} {2}} N ^ {2} + {\ frac {1} {6}} N ^ {3} + \ cdots + {\ frac {1} {(q-1)!}} N ^ {q-1}}$

ser calculado.

Diagonalização da matriz

A matriz é uma matriz diagonal${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle D = {\ begin {pmatrix} a_ {1} & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & a_ {2} & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ ldots & a_ {n} \ end {pmatrix}}}$,

então, pode-se encontrar seu exponencial aplicando a função exponencial usual a cada entrada da diagonal principal :

${\ displaystyle e ^ {D} = {\ begin {pmatrix} e ^ {a_ {1}} & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & e ^ {a_ {2}} & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ ldots & e ^ {a_ {n}} \ end {pmatrix}}}$.

Com isso, também se pode calcular a exponencial de uma matriz diagonalizável . Para diagonalização ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle A = VDV ^ {- 1}}$

com uma matriz diagonal , o associado eigenbase e os - valores próprios da matriz são determinados. Para a função exponencial da matriz segue-se deste ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ exp (At) = Ve ^ {Dt} \, V ^ {- 1} = V \ operatorname {diag} (e ^ {\ lambda _ {1} t}, e ^ {\ lambda _ {2 } t}, \ dotsc, e ^ {\ lambda _ {n} t}) \, V ^ {- 1}}$

com a função exponencial comum . A prova segue diretamente da expansão de Taylor da função exponencial. ${\ displaystyle e ^ {\ lambda _ {i} t}}$

A diagonalização da matriz, como o algoritmo QR ou a forma normal de Jordan , pertence aos métodos de decomposição da matriz para o cálculo da função exponencial. A diagonalização e o algoritmo QR têm, cada um, um esforço da ordem de magnitude e, em comparação com os métodos baseados na expansão de Taylor, são independentes de . O principal esforço de cálculo (aqui: determinação dos autovalores e autovetores ) também é independente das variáveis . Para resolver, por exemplo, equações diferenciais lineares para várias etapas de tempo , essa quantidade de trabalho só precisa ser feita uma vez. O cálculo dos passos de tempo adicionais é realizado com o método de diagonalização por multiplicação de matrizes simples e com o algoritmo QR o esforço é apenas da ordem de magnitude . ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (n ^ {3})}$${\ displaystyle \ | Em \ |}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (n ^ {2})}$

Exemplo 1

A seguinte função exponencial de matriz deve ser calculada:

${\ displaystyle \ exp (At) = \ exp \ left [{\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ a_ {2,1} & a_ {2,2} \ end {pmatrix}} t \ right]}$.

Para tanto, a matriz é primeiro diagonalizada usando os autovalores e os autovetores. Com a matriz diagonal e a base própria, segue-se: ${\ displaystyle (2 \ vezes 2)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle \ exp (At) = Ve ^ {Dt} \, V ^ {- 1} = V {\ begin {pmatrix} e ^ {\ lambda _ {1} t} & 0 \\ 0 & e ^ { \ lambda _ {2} t} \ end {pmatriz}} V ^ {- 1}}$.

Os autovalores do polinômio característico determinado para

${\ displaystyle \ lambda _ {1,2} = {\ frac {a_ {2,2}} {2}} \ pm {\ sqrt {\ left ({\ frac {a_ {2,2}} {2} } \ right) ^ {2} + a_ {2,1}}}}$.

O seguinte se aplica aos dois vetores próprios ou à base própria:

${\ displaystyle V = {\ begin {pmatrix} 1 e 1 \\\ lambda _ {1} & \ lambda _ {2} \ end {pmatrix}} ~~~}$Como ${\ displaystyle ~~ V ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ lambda _ {2} - \ lambda _ {1}}} {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {2} & - 1 \ \ - \ lambda _ {1} & 1 \ end {pmatrix}}}$

Substituindo a função exponencial da matriz finalmente resulta

${\ displaystyle \ exp (At) = {\ frac {1} {\ lambda _ {2} - \ lambda _ {1}}} {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {2} e ^ {\ lambda _ { 1} t} - \ lambda _ {1} e ^ {\ lambda _ {2} t} & e ^ {\ lambda _ {2} t} -e ^ {\ lambda _ {1} t} \\\ lambda _ {1} \ lambda _ {2} (e ^ {\ lambda _ {1} t} -e ^ {\ lambda _ {2} t}) & \ lambda _ {2} e ^ {\ lambda _ {2 } t} - \ lambda _ {1} e ^ {\ lambda _ {1} t} \ end {pmatriz}}}$

como uma solução analítica fechada.

Exemplo 2

A função exponencial da matriz

${\ displaystyle \ exp (At) = \ exp \ left [{\ begin {pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & -5 \ end {pmatrix}} t \ right] = {\ begin {pmatrix} (1 + 4t) e ^ {- t} & - 4º ^ {- t} \\ 4º ^ {- t} & (1-4t) e ^ {- t} \ end {pmatriz}}}$

tem uma solução, mas a própria matriz não pode ser diagonalizada. A matriz possui os dois valores próprios . Embora o autovalor tenha a multiplicidade algébrica 2, existe apenas um autovetor linearmente independente. A base dos autovetores ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ lambda _ {1,2} = - 1}$

${\ displaystyle V = {\ begin {pmatrix} a_ {2,1} & a_ {2,1} \\\ lambda _ {1} -a_ {1,1} & \ lambda _ {2} -a_ {1 , 1} \ end {pmatriz}} = {\ begin {pmatrix} -4 e -4 \\ - 4 e -4 \ end {pmatrix}}}$

não pode ser invertido . O discriminante do polinômio característico

${\ displaystyle D_ {2} = \ left ({\ frac {a_ {1,1} -a_ {2,2}} {2}} \ right) ^ {2} + a_ {1,2} \, a_ {2,1} = \ left ({\ frac {3 - (- 5)} {2}} \ right) ^ {2} -16}$

sempre se torna zero. Neste caso, isto é, quando os mesmos valores próprios ou vetores próprios ocorrem, a forma normal de Jordan pode ser usada para a transformação.

Método de divisão

Se o polinômio mínimo (ou o polinômio característico ) da matriz se divide em fatores lineares (este é sempre o caso acima ), então ele pode ser inequivocamente em uma soma ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle X = A + N}$

ser desmontado, com

• ${\ displaystyle A}$ é diagonalizável,
• ${\ displaystyle N}$ é nilpotente e
• ${\ displaystyle A}$comuta com (ou seja ).${\ displaystyle N}$${\ displaystyle AN = NA}$

Isso permite que você a exponencial de carga, reduzindo-o aos casos acima referidos: . Na última etapa, você precisa da comutatividade de e . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle e ^ {X} = e ^ {A + N} = e ^ {A} e ^ {N}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle N}$

Uso da forma normal de Jordan

Outro método é usar a forma normal de Jordan de , em que o método de divisão também é usado. Seja a forma normal de Jordan com a matriz de mudança de base , então ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle e ^ {X} = Pe ^ {J} P ^ {- 1}.}$

Porque

${\ displaystyle J = J_ {a_ {1}} (\ lambda _ {1}) \ oplus J_ {a_ {2}} (\ lambda _ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus J_ {a_ {n}} (\ lambda _ {n})}$

é aplicável

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} e ^ {J} & = \ exp {\ big (} J_ {a_ {1}} (\ lambda _ {1}) \ oplus J_ {a_ {2}} (\ lambda _ {2}) \ oplus \ cdots \ oplus J_ {a_ {n}} (\ lambda _ {n}) {\ big)} \\ & = \ exp {\ big (} J_ {a_ {1}} ( \ lambda _ {1}) {\ big)} \ oplus \ exp {\ big (} J_ {a_ {2}} (\ lambda _ {2}) {\ big)} \ oplus \ cdots \ oplus \ exp { \ big (} J_ {a_ {k}} (\ lambda _ {k}) {\ big)}. \ end {alinhado}}}$

Portanto, basta saber a exponencial de um bloco de Jordan. Agora, cada bloco Jordan tem a forma

${\ displaystyle J_ {a} (\ lambda) = \ lambda \, E + N,}$

onde é uma matriz nilpotente especial. Portanto, o exponencial do bloco Jordan é ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle e ^ {\ lambda E + N} = e ^ {\ lambda} e ^ {N}.}$

exemplo

Olha a matriz

${\ displaystyle B = {\ begin {pmatrix} 21 & 17 & 6 \\ - 5 & -1 & -6 \\ 4 & 4 & 16 \ end {pmatrix}}}$,

qual é a forma normal de Jordan

${\ displaystyle J = P ^ {- 1} BP = {\ begin {pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 16 & 1 \\ 0 & 0 & 16 \ end {pmatrix}}}$

com a matriz de transição

${\ displaystyle P = {\ begin {pmatrix} -1 & 1 & {\ tfrac {5} {8}} \\ 1 & -1 & - {\ tfrac {1} {8}} \\ 0 & 2 & 0 \ end {pmatrix}}}$

Tem. Então aplica

${\ displaystyle J = J_ {1} (4) \ oplus J_ {2} (16)}$

e

${\ displaystyle e ^ {B} = Pe ^ {J} P ^ {- 1} = P (e ^ {J_ {2} (16)} \ oplus e ^ {J_ {1} (4)}) P ^ {-1}}$.

Então é

${\ displaystyle \ exp \ left [{\ begin {pmatrix} 16 e 0 \\ 0 & 16 \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} \ direita] = e ^ {16} E \ cdot \ left [{\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} + {1 \ over 2!} {\ Begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}} + \ cdots \ right] = {\ begin {pmatrix} e ^ {16 } & e ^ {16} \\ 0 & e ^ {16} \ end {pmatrix}}}$.

O exponencial de uma matriz 1 × 1 é trivial. Com segue ${\ displaystyle e ^ {J_ {1} (4)} = e ^ {4}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ exp (B) & = P \ exp (J) P ^ {- 1} = P {\ begin {pmatrix} e ^ {4} & 0 & 0 \\ 0 & e ^ {16} & e ^ {16} \\ 0 & 0 & e ^ {16} \ end {pmatrix}} P ^ {- 1} \\ [6pt] & = {1 \ over 4} {\ begin { pmatriz} 13e ^ {16} -e ^ {4} & 13e ^ {16} -5e ^ {4} & 2e ^ {16} -2e ^ {4} \\ - 9e ^ {16} + e ^ {4 } & - 9e ^ {16} + 5e ^ {4} & - 2e ^ {16} + 2e ^ {4} \\ 16e ^ {16} & 16e ^ {16} & 4e ^ {16} \ end {pmatriz }}. \ End {alinhado}}}$

Calcular a forma normal de Jordan e a partir dela o exponencial é muito tedioso dessa forma. Normalmente, é suficiente calcular o efeito da matriz exponencial em alguns vetores.

Cálculo numérico

A decomposição da forma normal de Jordan é numericamente instável porque, devido à aritmética de ponto flutuante, erros de arredondamento são introduzidos nos autovalores, o que torna impossível agrupar os autovalores em grupos de autovalores idênticos. Portanto, outras técnicas para calcular a matriz exponencial são usadas em números. Os algoritmos mais eficazes disponíveis incluem a aproximação de Padé com escala e quadratura (veja o cálculo usando a série de Taylor ) ou os métodos de decomposição da matriz, como a diagonalização da matriz . No caso de grandes matrizes, o esforço computacional também pode ser reduzido usando espaços de Krylow cujos vetores de base foram ortogonalizados com o método de Arnoldi .

Algoritmo mais limpo

Outra possibilidade de calcular a matriz expontial é o algoritmo de Putzer. Com uma dada matriz e recursivamente, funções e matrizes continuamente diferenciáveis são definidas , de modo que: ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle p_ {k}}$${\ displaystyle M_ {k}}$

${\ displaystyle \ exp (At) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} p_ {k} (t) M_ {k-1}}$

A solução da matriz exponencial de uma matriz é obtida como um polinômio. O cálculo tem um esforço da ordem de magnitude (cálculo dos autovalores e, em particular, multiplicações de matrizes) e, portanto, só é adequado para matrizes pequenas. ${\ displaystyle (n \ vezes n)}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (n ^ {4})}$${\ displaystyle n}$

Formulários

Equações diferenciais lineares homogêneas

A matriz exponencial pode ser usada para resolver um sistema de equações diferenciais lineares . Uma equação diferencial da forma

${\ displaystyle y '= Cy}$

tem a solução . Se você tem o vetor ${\ displaystyle e ^ {Ct}}$

${\ displaystyle \ mathbf {y} (t) = {\ begin {pmatrix} y_ {1} (t) \\\ vdots \\ y_ {n} (t) \ end {pmatrix}}}$

considerado, então pode-se considerar um sistema de equações diferenciais lineares acopladas como

${\ displaystyle \ mathbf {y} '(t) = A \ mathbf {y} (t) + \ mathbf {b}}$.

Se você aplicar o fator de integração e multiplicar em ambos os lados, você obtém ${\ displaystyle e ^ {- tA}}$

${\ displaystyle e ^ {- tA} \ mathbf {y} '(t) -e ^ {- tA} A \ mathbf {y} = e ^ {- tA} \ mathbf {b}}$,

${\ displaystyle D (e ^ {- tA} \ mathbf {y}) = e ^ {- tA} \ mathbf {b}}$.

Se calcularmos, obteremos uma solução do sistema de equações diferenciais. ${\ displaystyle e ^ {tA}}$

Exemplo (homogêneo)

O seguinte sistema de equação diferencial é dado

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} y_ {1} '& = 3y_ {1} -y_ {2}, \\ y_ {2}' & = y_ {1} + y_ {2}. \ end {alinhado} }}$

Pode ser escrito usando a matriz de coeficiente ${\ displaystyle y '(t) = Ay (t)}$

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 3 e -1 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}}}$.

Isso dá à matriz associada exponencial para

${\ displaystyle e ^ {tA} = e ^ {2t} {\ begin {pmatrix} 1 + t & -t \\ t & 1-t \ end {pmatrix}}}$.

A solução geral do sistema de equações diferenciais é assim obtida

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} y_ {1} (t) \\ y_ {2} (t) \ end {pmatrix}} = C_ {1} e ^ {2t} {\ begin {pmatrix} 1 + t \\ t \ end {pmatriz}} + C_ {2} e ^ {2t} {\ begin {pmatriz} -t \\ 1-t \ end {pmatriz}}}$.

Caso heterogêneo - variação das constantes

Para o caso não homogêneo, pode-se usar um método semelhante à variação das constantes . Busca-se uma solução do formulário : ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {p} (t) = e ^ {tA} \ mathbf {z} (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {p} '= (e ^ {tA})' \ mathbf {z} (t) + e ^ {tA} \ mathbf {z} '(t) = Ae ^ {tA } \ mathbf {z} (t) + e ^ {tA} \ mathbf {z} '(t) = A \ mathbf {y} _ {p} (t) + e ^ {tA} \ mathbf {z}' (t)}$

Para encontrar a solução , você aposta ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {p}}$

${\ displaystyle e ^ {tA} \ mathbf {z} '(t) = \ mathbf {b} (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {z} '(t) = (e ^ {tA}) ^ {- 1} \ mathbf {b} (t)}$

${\ displaystyle \ mathbf {z} (t) = \ int _ {0} ^ {t} e ^ {- uA} \ mathbf {b} (u) \, du + \ mathbf {c}}$

Isto resulta em

${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {p} = e ^ {tA} \ int _ {0} ^ {t} e ^ {- uA} \ mathbf {b} (u) \, du + e ^ {tA } \ mathbf {c} = \ int _ {0} ^ {t} e ^ {(tu) A} \ mathbf {b} (u) \, du + e ^ {tA} \ mathbf {c}}$,

onde é determinado pelas condições iniciais. ${\ displaystyle c}$

Exemplo (não homogêneo)

O sistema de equação diferencial é dado

${\ displaystyle {\ begin {align} y_ {1} '& = 3y_ {1} -y_ {2} -2e ^ {t}, \\ y_ {2}' & = y_ {1} + y_ {2} -e ^ {t}. \ end {alinhado}}}$

O sistema se escreve com a matriz acima ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle y '(t) = Ay (t) + b (t)}$

com

${\ displaystyle b (t) = e ^ {t} {\ begin {pmatrix} -2 \\ - 1 \ end {pmatrix}}}$.

A solução geral da equação homogênea já foi calculada acima. A soma das soluções homogêneas e especiais resulta na solução do problema não homogêneo. Você só precisa encontrar uma solução especial (variando as constantes). A partir da equação acima, obtemos: ${\ displaystyle y_ {p} (t)}$

${\ displaystyle y_ {p} (t) = e ^ {tA} \ int _ {0} ^ {t} e ^ {- uA} b (u) \, você}$,

tão

${\ displaystyle y_ {p} (t) = e ^ {2t} {\ begin {pmatrix} 1 + t & -t \\ t & 1-t \ end {pmatrix}} \ int _ {0} ^ {t } e ^ {-2u} {\ begin {pmatrix} 1-u & u \\ - u & 1 + u \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} -2e ^ {u} \\ - e ^ { u} \ end {pmatriz}} \, du = {\ begin {pmatriz} -e ^ {2t} (1 + t) + e ^ {t} \\ - te ^ {2t} \ end {pmatriz}}}$.

Veja também

• Matrizes
• Logaritmo matricial
• Função exponencial
• Mapeamento exponencial

literatura

• Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Tópicos em Análise de Matriz . Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-46713-6 (inglês).
• Cleve Moler, Charles F. Van Loan: dezenove maneiras duvidosas de calcular o exponencial de uma matriz, vinte e cinco anos depois . In: Revisão do SIAM . fita 45 , não. 1 , 2003, ISSN  1095-7200 , p. 1-49 , doi : 10.1137 / S00361445024180 ( cornell.edu [PDF]). 
• VI Arnolʹd: Equações diferenciais ordinárias . Springer-Verlag, Berlin / New York 1980, ISBN 3-540-09216-1 .

Evidência individual

1. ^ S. Blanes, F. Casas, JA Oteo, J. Ros: A expansão Magnus e algumas de suas aplicações. (= Relatórios de Física. Volume 470). Cornell University Library, 2009, OCLC 635162561 .
2. ↑ T. Möller: Simulação baseada em matemática simbólica de espaços de cilindro para ciclos de gás regenerativos. In: Int J Energy Environ Eng. Springer Berlin / Heidelberg, fevereiro de 2015. http://link.springer.com/article/10.1007/s40095-015-0163-3