Funktor inverzního obrazu - Inverse image functor

V matematiky je inverzní obraz functor je kovariantní konstrukce kladek . Direct image functor je primární operace na snopy, s nejjednodušší definice. Inverzní obraz vykazuje některé relativně jemné rysy.

Funktory obrazu pro snopy
přímý obrázek f ∗
inverzní obraz f ∗
přímý obraz s kompaktní podporou f !
výjimečný inverzní obraz Rf !
${\ displaystyle f ^ {*} \ leftrightarrows f _ {*}}$
${\ displaystyle (R) f _ {!} \ leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Věty o změně základny
proti t E

Definice

Předpokládejme, že jsou uvedeny svazek na a že chceme dopravy , aby s použitím kontinuálního mapy . ${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f \ dvojtečka X \ až Y}$

Výsledek budeme nazývat inverzní obraz nebo snopek pullback . Pokusíme-li se napodobit přímý obraz nastavením ${\ displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$

${\ displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}} (U) = {\ mathcal {G}} (f (U))}$

Pro každý otevřený soubor všech , okamžitě jsme narazili na problém: není nutně otevřít. Nejlepší, co jsme mohli udělat, je aproximovat to otevřenými množinami, ai potom získáme presheaf a ne sheaf . V důsledku toho definujeme jako svazek spojený s presheaf : ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f (U)}$${\ displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$

${\ displaystyle U \ mapsto \ varinjlim _ {V \ supseteq f (U)} {\ mathcal {G}} (V).}$

(Zde je otevřená podmnožina a colimit přejede všech otevřených podmnožin z obsahující .) ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f (U)}$

Například, pokud je právě zahrnutí bodu z , pak je jen stonek na v tomto bodě. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f ^ {- 1} ({\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Restrikční mapy, stejně jako functoriality inverzního obrazu vyplývá z všeobecného majetku z přímých limitů .

Když se zabývá morphisms z místně prstenci prostorů , jako jsou například systémy v algebraické geometrii , se často pracuje s snopy -modules , kde je struktura svazek . Pak je funktor nevhodný, protože obecně nedává ani svazky -modulů. Aby se to napravilo, definuje se v této situaci pro svazek -modulů jeho inverzní obraz ${\ displaystyle f \ dvojtečka X \ až Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$

${\ displaystyle f ^ {*} {\ mathcal {G}}: = f ^ {- 1} {\ mathcal {G}} \ otimes _ {f ^ {- 1} {\ mathcal {O}} _ {Y }} {\ mathcal {O}} _ {X}}$.

Vlastnosti

• I když je definování komplikovanější než , stopky se počítají snadněji: vzhledem k bodu jeden má .${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle f _ {\ ast}}$${\ displaystyle x \ v X}$${\ displaystyle (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}) _ {x} \ cong {\ mathcal {G}} _ {f (x)}}$
• ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$ je přesný funktor, jak je patrné z výše uvedeného výpočtu stopek.
• ${\ displaystyle f ^ {*}}$je (obecně) správný pouze přesný. Pokud je přesné, f se nazývá ploché .${\ displaystyle f ^ {*}}$
• ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$je levý adjoint z přímého obrazu funktoru . To znamená, že existují přirozené jednotky a počet morfismů a . Tyto morfismy přinášejí přirozenou adjektivní korespondenci:${\ displaystyle f _ {\ ast}}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} \ rightarrow f _ {*} f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} f _ {*} {\ mathcal {F}} \ rightarrow {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {Sh} (X)} (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}, {\ mathcal {F}}) = \ mathrm {Hom} _ { \ mathbf {Sh} (Y)} ({\ mathcal {G}}, f _ {*} {\ mathcal {F}})}$.

Nicméně, morphisms a jsou téměř nikdy isomorphisms. Například pokud označuje zahrnutí uzavřené podmnožiny, stopka v bodě je kanonicky izomorfní s if je in a jinak. Podobný adjunkce platí pro případ snopy modulů, nahrazovat by . ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} \ rightarrow f _ {*} f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} f _ {*} {\ mathcal {F}} \ rightarrow {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle i \ dvojtečka Z \ až Y}$${\ displaystyle i _ {*} i ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle y \ v Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {y}}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle i ^ {- 1}}$${\ displaystyle i ^ {*}}$

Reference

• Iversen, Birger (1986), Cohomology of snops , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-16389-3 , MR  0842190. Viz část II.4.