Doymuş model - Saturated model

Olarak matematiksel mantık ve özellikle de alt alan içinde bir model teori , bir doymuş bir model M birçok olarak anlar biri tam bir tip "mantıksal olarak" edilebilir büyüklüğü göz önüne alındığında. Örneğin, bir UltraPower modeli hyperreals olan her azalan iç içe dizisi, yani-doymuş iç setleri boş olmayan bir arakesite. ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Tanım

Let κ bir olmak sonlu veya sonsuz kardinal sayı ve M bazı örnek bir birinci dereceden dili . Sonra M denir κ -doymuş tüm alt kümeleri için eğer bir ⊆ M ait kardinalitesi az k , model M tüm anlar komple türleri üzerinde A . Model M denir doymuş Eğer öyleyse | M |-doymuş nerede | M | M'nin kardinalitesini belirtir . Diğer bir deyişle, tüm tam türleri, | M |. Bazı yazarlar, bir modele göre E adı verilen bir sayılabilir doymuş Bu ise, -doymuş; yani, tüm tam türleri sayılabilir parametre kümeleri üzerinden gerçekleştirir. Diğerlerine göre sayılabilir ve doymuş ise sayılabilir doymuştur. ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Motivasyon

Görünüşe göre daha sezgisel olan - dilin tüm türlerinin gerçekleştirildiği - çok zayıf olduğu ortaya çıkıyor (ve uygun şekilde, 1 doygunluk ile aynı olan zayıf doygunluk olarak adlandırılıyor ). Aradaki fark, birçok yapının tanımlanamayan öğeler içermesi gerçeğinde yatmaktadır (örneğin, R'nin herhangi bir aşkın öğesi , kelimenin tanımı gereği, alanların dilinde tanımlanamaz ). Bununla birlikte, yine de yapının bir parçasını oluştururlar, bu yüzden onlarla ilişkileri tanımlamak için türlere ihtiyacımız var. Bu nedenle, tür tanımımızda yapıdan parametre setlerine izin veriyoruz. Bu tez, aksi takdirde Bayan örneğin, bir bir ile bağlanmış olabilir, bu model spesifik özelliklerini ele olanak sağlıyor spesifik sekansı artan c _n tipi fark olarak ifade edilebilir { x ≥ c _{, n}  : n , ∈ ω} olan sayılabilir kullanır birçok parametre. Dizisi tanımlanabilir değilse, yapısı bu durum, zayıf biçimde doymuş bir yapı ise bir ℵ, sıra bağlanmış olabilir, böylece, temel dili kullanılarak tarif edilemez ₁ -doymuş yapı olacaktır.

Yalnızca modelden kesinlikle daha küçük olan parametre kümelerine ihtiyaç duymamızın nedeni önemsizdir: Bu kısıtlama olmadan hiçbir sonsuz model doymuş değildir. Bir M modelini ve { x ≠ m  : m ∈ M } türünü ele alalım . Bu türün her bir sonlu alt kümesi (sonsuz) M modelinde gerçekleştirilir , bu nedenle kompaktlık açısından M ile tutarlıdır , ancak önemsiz bir şekilde gerçekleşmez. Evrensel olarak tatmin edilmeyen herhangi bir tanım işe yaramaz; kısıtlama bu yüzden.

Örnekler

Belirli teoriler ve kardinaliteler için doymuş modeller mevcuttur:

• ( Q , <)— her zamanki sıralamalarına sahip rasyonel sayılar kümesi —doymuştur. Sezgisel olarak bunun nedeni, teoriyle tutarlı herhangi bir türün sipariş türü tarafından ima edilmesidir; yani değişkenlerin geldiği sıra, yapıdaki rolleri hakkında bilmeniz gereken her şeyi size söyler.
• ( R , <)— olağan sıralarına sahip gerçek sayılar kümesi — doymuş değildir . Örneğin , formülün yanı sıra her doğal sayı n için formülü içeren türü (bir değişkende x ) alın . Bu tür, R'den ω farklı parametreler kullanır . Türün her sonlu alt kümesi, R üzerinde bir gerçek x tarafından gerçekleştirilir , bu nedenle kompaktlık ile tür yapıyla tutarlıdır, ancak gerçekleştirilmez, çünkü bu, -1/ n dizisine göre daha küçük olan bir üst sınır anlamına gelir. 0 (en küçük üst sınırı). Bu nedenle ( R <) ise değildir ω ₁ -doymuş ve doygun değildir. Bununla birlikte, bir esas itibariyle aynı bir nedenle, ω-doymuş Q -her sonlu tip tutarlı ise, her zaman için için yoğunluğunun, gerçekleştirilen sipariş türü, ile verilmektedir.${\displaystyle \textstyle {x>-{\frac {1}{n}}}}$${\displaystyle \textstyle {x<0}}$
• Uç noktaları olmayan, tam sıralı bir yoğun küme, ancak ve ancak ℵ _α -doymuş ise bir η _α kümesidir .
• Tek mantıksal olmayan sembolün kenar varlığı ilişkisi olduğu sayılabilir rasgele grafik de doymuştur, çünkü herhangi bir tam tip, tipi tanımlamak için kullanılan değişkenlerden ve parametrelerden oluşan sonlu alt grafik tarafından izole edilir (ima edilir).

Hem teorisi Q ve sayılabilir rastgele grafiğin kuramı olduğu gösterilebilir -kategorik ω ile geri ve ileri yöntemi . Bu şu şekilde genelleştirilebilir: sayılabilir bir κ -kategorik teorinin benzersiz κ kardinalite modeli doymuştur.

Ancak, her model doymuş olduğu ifadesi temel uzantısı içinde kanıtlanabilir değildir ZFC . Kardinaller uygun bir sınıfın varlığı için Aslında, bu ifade eşdeğerdir veK böyle κ ^{< κ}  =  κ . İkinci kimlik eşdeğerdir κ = λ ⁺ = 2 ^X bazıları için X veya κ olduğunu kuvvetle erişilemez .

Asal modellerle ilişki

Doymuş model nosyonu asal model nosyonuna şu şekilde ikili olur : T birinci dereceden bir dilde (yani, o dilde karşılıklı olarak tutarlı bir cümle kümesi) sayılabilir bir teori olsun ve P asal olsun. T modeli . O zaman P , T'nin herhangi bir başka modeline temel bir yerleştirmeyi kabul eder . Doymuş modeller için eşdeğer kavram, T'nin herhangi bir "makul ölçüde küçük" modelinin temel olarak doymuş bir modele gömülü olmasıdır, burada "makul derecede küçük", gömüleceği modelden daha büyük olmayan kardinalite anlamına gelir. Herhangi bir doymuş model de homojendir . Bununla birlikte, sayılabilir teoriler için benzersiz bir asal model varken, doymuş modeller zorunlu olarak belirli bir kardinaliteye özgüdür. Belirli küme teorik varsayımları göz önüne alındığında, keyfi teoriler için doymuş modeller (çok büyük kardinaliteye sahip olsalar da) mevcuttur. İçin λ - kararlı teorileri, cardinality doymuş modelleri λ varoldukları için.

Notlar

Referanslar

• Chang, CC ; Keisler, HJ Model teorisi. Üçüncü baskı. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. xvi+650 s. ISBN  0-444-88054-2
• R. Goldblatt (1998). Hipergerçekler üzerine dersler. Standart olmayan analize giriş. Springer.
• Marker, David (2002). Model Teorisi: Bir Giriş . New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98760-6
• Poizat, Bruno; Çevirmen: Klein, Moses (2000), Model Teorisinde Bir Kurs , New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98655-3
• Sacks, Gerald E. (1972), Doymuş model teorisi , WA Benjamin, Inc., Reading, Mass., MR  0398817