Mættet model - Saturated model

I matematisk logik , og især i dets underfelt model teori , en mættet model M er en, indser så mange komplette typer som kan "rimelighed kan forventes" givet sin størrelse. For eksempel, en UltraPower model af hyperreals er -mættet, hvilket betyder, at hver nedadgående indlejrede sekvens af interne sæt har en ikke tom vejkryds. ${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$

Definition

Lad κ være et endeligt eller uendeligt hovedtal og M en model på et eller andet ordens første sprog . Derefter kaldes M κ -mættet, hvis modellen M realiserer alle komplette typer over A, for alle undergrupper A ⊆ M af kardinalitet mindre end κ . Modellen M kaldes mættet, hvis den er | M | -mættet hvor | M | betegner kardinaliteten af M . Det vil sige, det realiserer alle komplette typer over sæt af parametre med størrelse mindre end | M |. Ifølge nogle forfattere kaldes en model M tælleligt mættet, hvis den er -mættet; det vil sige, det realiserer alle komplette typer over tællelige sæt parametre. Ifølge andre er det tælleligt mættet, hvis det er tællbart og mættet. ${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$

Motivering

Den tilsyneladende mere intuitive forestilling - at alle komplette sprogtyper realiseres - viser sig at være for svag (og kaldes passende nok svag mætning , hvilket er det samme som 1-mætning). Forskellen ligger i det faktum, at mange strukturer indeholder elementer, der ikke kan henføres til (f.eks enhver transcendental element i R er per definition af ordet, som ikke kan henføres på sproget i felterne ). De udgør dog stadig en del af strukturen, så vi har brug for typer til at beskrive forholdet til dem. Således tillader vi sæt parametre fra strukturen i vores definition af typer. Dette argument giver os mulighed for at diskutere specifikke funktioner i modellen, som vi ellers kan gå glip af - for eksempel kan en bundet på en specifik stigende sekvens c _n udtrykkes som realisering af typen { x ≥ c _n  : n ∈ ω}, der bruger tælleligt mange parametre. Hvis sekvens ikke definerbar, kan dette faktum om strukturen ikke blive beskrevet ved hjælp grundsproget, så en svagt mættet struktur kan ikke bundet sekvensen, mens en ℵ ₁ -mættet struktur vil.

Årsagen til, at vi kun kræver parametersæt, der er strengt mindre end modellen, er trivielt: uden denne begrænsning er ingen uendelig model mættet. Overvej en model M og typen { x ≠ m  : m ∈ M }. Hver endelig delmængde af denne type realiseres i den (uendelige) model M , så ved kompakthed er den i overensstemmelse med M , men realiseres trivielt ikke. Enhver definition, der er universelt utilfreds, er ubrugelig; dermed begrænsningen.

Eksempler

Mættede modeller findes for visse teorier og kardinaliteter:

• ( Q , <) - sættet med rationelle tal med deres sædvanlige rækkefølge - er mættet. Intuitivt skyldes dette, at enhver type, der er i overensstemmelse med teorien, er underforstået af ordretypen; den rækkefølge, variablerne kommer i, fortæller dig alt, hvad der er at vide om deres rolle i strukturen.
• ( R , <) - sættet med reelle tal med deres sædvanlige rækkefølge - er ikke mættet. Tag f.eks. Typen (i en variabel x ), der indeholder formlen for hvert naturlige tal n samt formlen . Denne type anvendelser w forskellige parametre fra R . Hver endelig delmængde af typen realiseres på R med noget ægte x , så ved kompakthed er typen i overensstemmelse med strukturen, men den realiseres ikke, da det ville antyde en øvre grænse for sekvensen -1 / n, der er mindre end 0 (dens mindste øvre grænse). Således ( R , <) er ikke ω ₁ -mættet, og ikke mættet. Men det er ω-mættet, for i det væsentlige af samme grund som Q -hver finite type er givet ved rækkefølgen typen, som, hvis konsekvent, altid udnyttes på grund af tætheden af ordren.${\ displaystyle \ textstyle {x> - {\ frac {1} {n}}}}$${\ displaystyle \ textstyle {x <0}}$
• Et tæt totalt ordnet sæt uden slutpunkter er et η _α- sæt, hvis og kun hvis det er ℵ _α- mættet .
• Den tællbare tilfældige graf , hvor det eneste ikke-logiske symbol er forholdet mellem kanteksistens, er også mættet, fordi enhver komplet type er isoleret (underforstået) af det endelige undergraf, der består af de variabler og parametre, der bruges til at definere typen.

Både teorien om Q og teorien om den tællbare tilfældige graf kan vises at være ω-kategoriske gennem frem og tilbage-metoden . Dette kan generaliseres som følger: den unikke model for kardinalitet κ af en tællelig κ- kategorisk teori er mættet.

Erklæringen om, at hver model har en mættet elementær udvidelse, kan imidlertid ikke bevises i ZFC . Faktisk svarer denne erklæring til eksistensen af ​​en ordentlig klasse af kardinaler κ, således at κ ^{< κ}  =  κ . Sidstnævnte identitet svarer til κ = λ ⁺ = 2 ^λ for nogle λ , eller κ er stærkt utilgængelig .

Forholdet til prime modeller

Begrebet mættet model er dobbelt med begrebet primmodel på følgende måde: lad T være en tællbar teori i et første ordens sprog (dvs. et sæt gensidigt konsistente sætninger på dette sprog) og lad P være en primær model af T . Derefter indrømmer P en elementær indlejring i enhver anden T- model . Den ækvivalente opfattelse for mættede modeller er, at enhver "rimelig lille" model af T er elementært indlejret i en mættet model, hvor "rimelig lille" betyder kardinalitet, der ikke er større end den model, hvor den skal indlejres. Enhver mættet model er også homogen . Mens der for tællbare teorier er en unik prime model, er mættede modeller nødvendigvis specifikke for en bestemt kardinalitet. I betragtning af visse sætteoretiske antagelser findes der mættede modeller (omend af meget stor kardinalitet) for vilkårlige teorier. For λ - stabile teorier findes der mættede modeller for kardinalitet λ .

Bemærkninger

Referencer

• Chang, CC ; Keisler, HJ Modelteori . Tredje udgave. Studies in Logic and the Fundaments of Mathematics, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. xvi + 650 s. ISBN  0-444-88054-2
• R. Goldblatt (1998). Forelæsninger om hyperreals. En introduktion til ikke-standard analyse. Springer.
• Marker, David (2002). Modelteori: En introduktion . New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98760-6
• Poizat, Bruno; Trans: Klein, Moses (2000), A Course in Model Theory , New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98655-3
• Sacks, Gerald E. (1972), Mættet modelteori , WA Benjamin, Inc., Reading, Mass., MR  0398817