Gesättigtes Modell - Saturated model

In der mathematischen Logik , und vor allem in seiner Teilfeld Modelltheorie , ein gesättigtes Modell M ist eine , die erkennt , wie viele kompletten Typen wie kann „unzumutbar“ seine Größe gegeben werden. Zum Beispiel kann ein Ultrapower Modell des hyper ist -gesättigten, was bedeutet , dass jede absteigend verschachtelte Folge von internen Sätzen einen nichtleeren Durchschnitt hat. ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Definition

Sei κ eine endliche oder unendliche Kardinalzahl und M ein Modell in einer Sprache erster Ordnung . Dann M heißt κ -gesättigten , wenn für alle Untergruppen A ⊆ M von Kardinalität weniger als κ , das Modell M alle realisiert komplette Typen über A . Das Modell M heißt gesättigt, wenn es | M |-gesättigt wobei | M | bezeichnet die Kardinalität von M . Das heißt, es realisiert alle vollständigen Typen über Sätze von Parametern mit einer Größe kleiner als | M |. Nach Ansicht einiger Autoren, ein Modell M genannt wird gesättigt abzählbar , wenn es -gesättigten; das heißt, es realisiert alle vollständigen Typen über zählbare Parametersätze. Nach anderen ist es abzählbar gesättigt, wenn es abzählbar und gesättigt ist. ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Motivation

Die scheinbar intuitivere Vorstellung – dass alle vollständigen Typen der Sprache realisiert werden – erweist sich als zu schwach (und wird passenderweise als schwache Sättigung bezeichnet , was dasselbe ist wie 1-Sättigung). Der Unterschied besteht darin, dass viele Strukturen Elemente enthalten, die nicht definierbar sind (beispielsweise ist jedes transzendente Element von R per Definition des Wortes in der Sprache der Felder nicht definierbar ). Sie bilden jedoch immer noch einen Teil der Struktur, daher benötigen wir Typen, um die Beziehungen zu ihnen zu beschreiben. Daher erlauben wir in unserer Definition von Typen Parametersätze aus der Struktur. Dieses Argument ermöglicht es uns, spezifische Merkmale des Modells zu diskutieren, die wir sonst möglicherweise übersehen – zum Beispiel kann eine Schranke einer bestimmten steigenden Folge c _n so ausgedrückt werden, dass der Typ { x ≥ c _n  : n ∈ ω} realisiert wird, der abzählbar . verwendet viele Parameter. Wenn die Sequenz nicht definierbar ist, kann diese Tatsache über die Struktur nicht mit der Basissprache beschrieben werden, so dass eine schwach gesättigte Struktur die Sequenz möglicherweise nicht begrenzt, während eine ℵ ₁ -gesättigte Struktur dies tut .

Der Grund, warum wir nur Parametersätze benötigen, die strikt kleiner als das Modell sind, ist trivial: Ohne diese Einschränkung ist kein unendliches Modell gesättigt. Betrachten Sie ein Modell M und den Typ { x ≠ m  : m ∈ M }. Jede endliche Teilmenge dieser Art wird im (unendlichen) Modell M realisiert , ist also aufgrund der Kompaktheit mit M konsistent , aber trivialerweise nicht realisiert. Jede allgemein unbefriedigte Definition ist nutzlos; daher die Einschränkung.

Beispiele

Für bestimmte Theorien und Kardinalitäten existieren gesättigte Modelle:

• ( Q , <) – die Menge der rationalen Zahlen mit ihrer üblichen Ordnung – ist gesättigt. Intuitiv liegt dies daran, dass jeder Typ, der mit der Theorie übereinstimmt , durch den Auftragstyp impliziert wird; das heißt, die Reihenfolge, in der die Variablen auftreten, sagt Ihnen alles, was Sie über ihre Rolle in der Struktur wissen müssen.
• ( R , <) – die Menge der reellen Zahlen mit ihrer üblichen Ordnung – ist nicht gesättigt. Nehmen wir zum Beispiel den Typ (in einer Variablen x ), der die Formel für jede natürliche Zahl n enthält , sowie die Formel . Dieser Typ verwendet ω verschiedene Parameter von R . Jede endliche Teilmenge des Typs wird auf R durch ein reelles x realisiert, so dass der Typ aufgrund der Kompaktheit mit der Struktur konsistent ist, aber nicht realisiert wird, da dies eine obere Schranke für die Folge −1/ n bedeuten würde, die kleiner als ist 0 (seine kleinste obere Grenze). Somit ist ( R ,<) nicht ω ₁ -gesättigt und nicht gesättigt. Es ist jedoch ω-gesättigt, im Wesentlichen aus dem gleichen Grund wie Q – jeder endliche Typ ist durch den Ordnungstyp gegeben, der, wenn er konsistent ist, wegen der Dichte der Ordnung immer realisiert wird.${\displaystyle \textstyle {x>-{\frac {1}{n}}}}$${\displaystyle \textstyle {x<0}}$
• Eine dichte total geordnete Menge ohne Endpunkte ist genau dann eine η _α -Menge, wenn sie ℵ _α -gesättigt ist.
• Der zählbare Zufallsgraph , wobei das einzige nicht-logische Symbol die Kantenexistenzbeziehung ist, ist ebenfalls gesättigt, da jeder vollständige Typ durch den endlichen Untergraphen, bestehend aus den Variablen und Parametern, die zur Definition des Typs verwendet werden, isoliert (impliziert) wird.

Sowohl die Theorie von Q als auch die Theorie des abzählbaren Zufallsgraphen können durch die Hin-und-Her-Methode als ω-kategorial gezeigt werden . Dies lässt sich wie folgt verallgemeinern: Das einzigartige Kardinalitätsmodell κ einer abzählbaren κ- kategorialen Theorie ist gesättigt.

Allerdings ist die Aussage, dass jedes Modell eine gesättigte elementare Erweiterung hat, in ZFC nicht beweisbar . In der Tat ist diese Aussage entspricht das Vorhandensein einer geeigneten Klasse von Kardinälen & kgr so dass κ ^{< κ}  =  κ . Letztere Identität ist äquivalent zu κ = λ ⁺ = 2 ^λ für einige λ , oder κ ist stark unzugänglich .

Beziehung zu Primmodellen

Der Begriff des gesättigten Modells ist auf folgende Weise dual zum Begriff des Primmodells : Sei T eine abzählbare Theorie in einer Sprache erster Ordnung (d. h. eine Menge gegenseitig konsistenter Sätze in dieser Sprache) und sei P eine Primzahl Modell von T . Dann lässt P eine elementare Einbettung in jedes andere Modell von T zu . Die äquivalente Vorstellung für gesättigte Modelle ist, dass jedes "angemessen kleine" Modell von T elementar in ein gesättigtes Modell eingebettet ist, wobei "angemessen klein" eine Kardinalität bedeutet, die nicht größer ist als die des Modells, in das es eingebettet werden soll. Jedes gesättigte Modell ist auch homogen . Während es jedoch für abzählbare Theorien ein einzigartiges Primmodell gibt, sind gesättigte Modelle notwendigerweise spezifisch für eine bestimmte Kardinalität. Unter bestimmten mengentheoretischen Annahmen existieren gesättigte Modelle (wenn auch von sehr großer Kardinalität) für beliebige Theorien. Für λ - stabile Theorien existieren gesättigte Modelle der Kardinalität λ .

Anmerkungen

Verweise

• Chang, CC ; Keisler, HJ Modelltheorie. Dritte Edition. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. xvi+650 S. ISBN  0-444-88054-2
• R. Goldblatt (1998). Vorlesungen über die Hyperrealen. Eine Einführung in die Nichtstandardanalyse. Springer.
• Marker, David (2002). Modelltheorie: Eine Einführung . New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98760-6
• Poizat, Bruno; Trans: Klein, Moses (2000), Ein Kurs in Modelltheorie , New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98655-3
• Sacks, Gerald E. (1972), Gesättigte Modelltheorie , WA Benjamin, Inc., Reading, Mass., MR  0398817