ultra ürün - Ultraproduct

Ultraproduct bir olan matematiksel ağırlıklı görünen inşaat soyut cebir ve matematiksel mantık olmak üzere, modelin teori ve küme teorisinin . Bir ultraproduct bir olan bölüm içinde doğrudan ürünün bir ailenin yapıları . Tüm faktörlerin aynı imzaya sahip olması gerekir . UltraPower tüm faktörler eşit olduğu bu inşaatın özel bir durumudur.

Örneğin, ultra güçler, verilen alanlardan yeni alanlar oluşturmak için kullanılabilir . Hyperreal sayılar , bir UltraPower gerçek sayılar , bu özel bir durum vardır.

Ultraproducts bazıları çarpıcı uygulamalar arasında çok şık provalar vardır doluluk teoremi ve tamlık teoremi , Keisler 'ın UltraPower teoremi, temel denklik anlamsal kavramına bir cebirsel karakterizasyonu ve üst yapı ve kullanım Robinson-Zakon sunumunu yaptığı onların standart olmayan analiz modelleri oluşturmak için monomorfizmler, Abraham Robinson tarafından öncülük edilen (kompaktlık teoreminin bir uygulaması olarak) standart olmayan analiz alanının büyümesine yol açtı .

Tanım

Ultra ürünler elde etmek için genel bir yöntem, bir dizin kümesini kullanan I , bir yapı M _i her bir eleman için i ve I (aynı her imza ) ve bir ultrafiltre U ile I . Bir genellikle bu durumda bu dikkate ben sonsuz olması ve U tümünü içeren Cofinite alt kümelerini I , yani U bir değil esas ultra . Temel durumda, ultra ürün, faktörlerden birine göre izomorfiktir.

Kartezyen çarpım üzerinde cebirsel işlemler

${\displaystyle \prod _{i\in I}M_{i}}$

noktasal olarak tanımlanır (örneğin, bir ikili fonksiyon için +, ( a + b ) _i = a _i + b _i ) ve eğer bir denklik ilişkisi a ~ b ile tanımlanırsa

${\displaystyle \left\{i\I:a_{i}=b_{i}\sağ\}\U'da,}$

ve ultra ürün , ~'ye göre bölüm kümesidir . Ultra ürün bu nedenle bazen şu şekilde gösterilir:

${\displaystyle \prod _{i\in I}M_{i}/U.}$

A ∈ U ise m ( A ) = 1 ve aksi halde = 0 diyerek indeks kümesi I üzerinde sonlu toplamsal bir ölçü m tanımlanabilir . O zaman Kartezyen çarpımının iki üyesi , indeks kümesinde hemen hemen her yerde eşitlerse tam olarak eşdeğerdir . Ultra ürün, bu şekilde oluşturulan denklik sınıfları kümesidir.

Diğer ilişkiler aynı şekilde genişletilebilir:

${\displaystyle R([a^{1}],\dots ,[a^{n}])\iff \left\{i\in I:R^{M_{i}}(a_{i}^{ 1},\dots ,a_{i}^{n})\sağ\}\U'da,}$

burada [ a ] O anlamına gelir eşdeğerlilik sınıfı bir ~ göre.

Her Özellikle, E _I bir bir sıralı alanı , o zaman ultraproduct olup.

Bir ultra güç , tüm M _i faktörlerinin eşit olduğu bir ultra üründür :

${\displaystyle M^{I}/U=\prod _{i\in I}M/U.\,}$

Daha genel olarak, yukarıdaki yapı, U , I üzerinde bir filtre olduğunda gerçekleştirilebilir ; sonuçta ortaya çıkan modele indirgenmiş ürün denir . ${\displaystyle \prod _{i\in I}M_{i}/U}$

Örnekler

Hyperreal sayılar biri kopyasının ultraproduct olan gerçek sayılar tüm Cofinite setleri içeren doğal sayılar üzerinde bir ultra bakımından, her doğal sayı için. Onların sırası, gerçek sayıların sırasının uzantısıdır. Örnek olarak, dizilimin Q tarafından verilen ω _i  =  ı , herhangi bir gerçek sayısından daha büyük olan bir üstü bir sayısını temsil eden bir denklik sınıfını tanımlar.

Benzer şekilde, standart olmayan tamsayılar , standart olmayan karmaşık sayılar , vs., karşılık gelen yapıların kopyalarının ultra-ürününü alarak tanımlayabilir.

Ultraproduct içine ilişkiler üzerinde taşıyan bir örnek olarak, sırası dikkate ψ tarafından tanımlanan ψ _i  2 = i . Çünkü ψ _i  >  ω _i  =  i tüm i , eşdeğerlilik sınıfı, bu aşağıdaki ψ _i  = 2 i eşdeğerlilik sınıfı daha büyük olan co _i  =  i bu daha büyük olan bir sonsuz sayıda olarak yorumlanabilir, böylece orijinal olarak inşa edilmiş olan. Bununla birlikte, izin χ _i  =  i için i değil 7'ye eşit, fakat χ ₇  = 8 üzerinde indekslerinin grubu Q ve χ kabul bir bir ultrafıltre üyesidir (nedeniyle ω ve χ böylece, hemen hemen her yerde kabul) ω ve χ aynı denklik sınıfına aittir.

Büyük kardinaller teorisinde, standart bir yapı, özenle seçilmiş bazı ultrafiltre U'ya göre tüm küme teorik evrenin ultra-ürünü almaktır . Bu ultra filtre U'nun özellikleri, ultra ürünün (daha yüksek dereceli) özellikleri üzerinde güçlü bir etkiye sahiptir; örneğin, U ise σ -tamamlamak ardından ultraproduct tekrar sağlam temelli olacaktır. ( Prototipik örnek için ölçülebilir kardinale bakın .)

Łoś teoremi

Olarak da adlandırılan LOS teoremi, ultra ürünler temel teoremi , kaynaklanmaktadır Jerzy LOS (soyadı belirgindir[ˈwɔɕ] , yaklaşık olarak "yıkama"). Herhangi bir birinci dereceden formülün ultra-üründe doğru olduğunu, ancak ve ancak, i indisleri kümesinin, formülün M _i'de doğru olmasıdurumunda U'nun bir üyesiolması durumunda doğru olduğunu belirtir. Daha kesin:

Σ bir imza, olalım kümesi üzerinde bir ultra süzgeç ve her biri için bırakıldığında yukarı bir olmak σ -Yapı. ' ye göre , yani her biri için , nerede ve her σ -formülü için ultraürün olsun , ${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili I}$${\görüntüleme stili ben\ben}$${\displaystyle M_{i}}$${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle M_{i}}$${\görüntüleme stili U}$${\displaystyle M=\prod _{i\in I}M_{i}/U.}$${\displaystyle a^{1},\ldots ,a^{n}\in \prod M_{i}}$${\displaystyle a^{k}=(a_{i}^{k})_{i\in I}}$${\görüntüleme stili\phi }$

${\displaystyle M\models \phi [[a^{1}],\ldots,[a^{n}]]\iff \{i\in I:M_{i}\models \phi [a_{i} ^{1},\ldots ,a_{i}^{n}]\}\U.}$

Teorem, formülün karmaşıklığı üzerine tümevarımla kanıtlanmıştır . Bunun bir ultrafiltre (sadece bir filtre değil) olduğu gerçeği , olumsuzlama yan tümcesinde kullanılır ve varoluşsal niceleyici adımında seçim aksiyomu gereklidir. Bir uygulama olarak, hipergerçek alanlar için transfer teoremi elde edilir . ${\görüntüleme stili\phi }$${\görüntüleme stili U}$

Örnekler

Let R, yapı bir tekli bağıntı M , ve Ultrapower meydana M . Sonra seti bir analog sahiptir ^* S UltraPower içinde ve S içeren birinci dereceden formüller de geçerlidir ^* S . Örneğin, let M reals olmak ve izin Rx ise beklemeye x rasyonel sayıdır. O zaman M'de herhangi bir x ve y rasyonel çifti için , z'nin rasyonel olmadığı ve x  <  z  <  y olacak şekilde başka bir z sayısı olduğunu söyleyebiliriz . Bu, ilgili biçimsel dilde birinci dereceden bir mantıksal formüle çevrilebildiğinden, Łoś teoremi ^* S'nin aynı özelliğe sahip olduğunu ima eder . Yani hipergerçeklerin bir alt kümesi olan hiperrasyonel sayılar kavramını tanımlayabiliriz ve bunlar rasyonel sayılarla aynı birinci mertebeden özelliklere sahiptir. ${\displaystyle S=\{x\in M|Rx\}}$

Ancak düşünün Arşimet özelliği hiçbir gerçek sayı bulunmadığını bildiren reals, x şekildedir x  > 1, x  + 1> 1, x  sonsuz listedeki her eşitsizlik için> 1 + 1 + 1, ... . Łoś teoremi, Arşimet özelliği için geçerli değildir, çünkü Arşimet özelliği birinci dereceden mantıkta ifade edilemez. Aslında, Arşimet özelliği, yukarıdaki hipergerçek sayısının ω yapısıyla gösterildiği gibi, hipergerçekler için yanlıştır .

Ultra güçlerin doğrudan sınırları (ultralimitler)

Gelen bir model teori ve resim teori , doğrudan sınır ultrapowers bir dizi genellikle kabul edilir. Gelen bir model teori , bu yapı bir şekilde de ifade edilebilir ultralimit veya sınırlayıcı UltraPower .

Bir yapı ile başlayarak, A ₀ ve bir ultrafiltre, D ₀ , bir ultragüç, A _{1 oluşturur} . Ardından, A _2'yi oluşturmak için işlemi tekrarlayın, vb. Her n için kanonik bir diyagonal gömme vardır . A _ω gibi limit aşamalarında, önceki aşamaların doğrudan limitini oluşturur. Kişi transfiniteye devam edebilir. ${\displaystyle A_{n}\to A_{n+1}}$

Ayrıca bakınız

• Kompaktlık teoremi  – Teorem
• Löwenheim–Skolem teoremi  – Mantıksal teori modellerinin varlığı ve kardinalitesi
• Aktarım ilkesi  – Bir dilin bazı yapılar için doğru olan tüm ifadelerinin başka bir yapı için de doğru olması

Referanslar

• Bell, John Lane; Slomson, Alan B. (2006) [1969]. Modeller ve Ultraürünler: Bir Giriş (1974 baskısının yeniden basımı). Dover Yayınları . ISBN'si 0-486-44979-3.
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (2000) [1981]. Evrensel Cebir Kursu (Millennium ed.).