Modello saturo - Saturated model

In logica matematica , e in particolare nella sua teoria dei modelli sottocampi , un modello saturo M è un modello che realizza tanti tipi completi quanti possono essere "ragionevolmente previsti" date le sue dimensioni. Ad esempio, un modello di ultrapotenza degli iperreali è -saturo, il che significa che ogni sequenza nidificata discendente di insiemi interni ha un'intersezione non vuota. ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Definizione

Sia κ un numero cardinale finito o infinito e M un modello in un linguaggio del primo ordine . Allora M si dice κ- saturo se per tutti i sottoinsiemi A ⊆ M di cardinalità minore di κ , il modello M realizza tutti i tipi completi su A . Il modello M si dice saturo se è | M |-saturato dove | M | denota la cardinalità di M . Cioè, realizza tutti i tipi completi su insiemi di parametri di dimensioni inferiori a | M |. Secondo alcuni autori, un modello M è detto numerabilmente saturo se è -saturo; cioè, realizza tutti i tipi completi su insiemi numerabili di parametri. Secondo altri, è numerabilmente saturo se è numerabile e saturo. ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Motivazione

L'idea apparentemente più intuitiva - che tutti i tipi completi del linguaggio siano realizzati - risulta essere troppo debole (ed è, appropriatamente, chiamata saturazione debole , che è la stessa di 1-saturazione). La differenza sta nel fatto che molte strutture contengono elementi non definibili (ad esempio, qualsiasi elemento trascendente di R è, per definizione della parola, non definibile nel linguaggio dei campi ). Tuttavia, fanno ancora parte della struttura, quindi abbiamo bisogno di tipi per descrivere le relazioni con loro. Quindi permettiamo insiemi di parametri dalla struttura nella nostra definizione di tipi. Questo argomento ci consente di discutere caratteristiche specifiche del modello che altrimenti potremmo perdere, ad esempio, un limite su una specifica sequenza crescente c _n può essere espresso come realizzando il tipo { x ≥ c _n  : n ∈ ω}, che utilizza numerabile molti parametri. Se la sequenza non è definibile, questo fatto sulla struttura non può essere descritto usando il linguaggio di base, quindi una struttura debolmente saturata potrebbe non vincolare la sequenza, mentre una struttura ₁ -saturata lo farà.

Il motivo per cui richiediamo solo set di parametri strettamente più piccoli del modello è banale: senza questa restrizione, nessun modello infinito è saturo. Consideriamo un modello M , e il tipo { x ≠ m  : m ∈ M }. Ciascun sottoinsieme finito di questo tipo è realizzato nel modello (infinito) M , quindi per compattezza è coerente con M , ma banalmente non è realizzato. Qualsiasi definizione universalmente insoddisfatta è inutile; da qui la restrizione.

Esempi

Esistono modelli saturi per alcune teorie e cardinalità:

• ( Q , <)—l'insieme dei numeri razionali con il loro solito ordinamento—è saturato. Intuitivamente, questo perché qualsiasi tipo coerente con la teoria è implicato dal tipo di ordine; cioè, l'ordine in cui entrano le variabili ti dice tutto quello che c'è da sapere sul loro ruolo nella struttura.
• ( R , <)—l'insieme dei numeri reali con il loro solito ordinamento— non è saturo. Ad esempio, prendi il tipo (in una variabile x ) che contiene la formula per ogni numero naturale n , oltre alla formula . Questo tipo utilizza ω parametri diversi da R . Ogni sottoinsieme finito del tipo è realizzato su R da qualche x reale , quindi per compattezza il tipo è coerente con la struttura, ma non è realizzato, poiché ciò implicherebbe un limite superiore alla successione −1/ n che è minore di 0 (il suo limite superiore minimo). Così ( R , <) è non ω ₁ saturi e non saturi. Tuttavia, è -saturato , essenzialmente per la stessa ragione di Q: ogni tipo finito è dato dal tipo d'ordine, che se coerente, è sempre realizzato, a causa della densità dell'ordine.${\displaystyle \textstyle {x>-{\frac {1}{n}}}}$${\displaystyle \textstyle {x<0}}$
• Un insieme denso totalmente ordinato senza estremi è un insieme η _α se e solo se è ℵ _α -saturo.
• Anche il grafo casuale numerabile , con l'unico simbolo non logico che è la relazione di esistenza del bordo, è saturo, perché ogni tipo completo è isolato (implicito) dal sottografo finito costituito dalle variabili e dai parametri utilizzati per definire il tipo.

Sia la teoria di Q che la teoria del grafo casuale numerabile possono essere dimostrate -categoriche attraverso il metodo avanti e indietro . Questo può essere generalizzato come segue: il modello unico di cardinalità κ di un numerabile κ teoria -categorical è saturo.

Tuttavia, l'affermazione che ogni modello ha un'estensione elementare satura non è dimostrabile in ZFC . Infatti, questa affermazione equivale all'esistenza di una classe propria di cardinali κ tale che κ ^{< κ}  =  κ . Quest'ultima identità è equivalente a κ = λ ⁺ = 2 ^λ per alcuni λ , oppure κ è fortemente inaccessibile .

Relazione con i modelli principali

La nozione di modello saturo è duale alla nozione di modello primo nel modo seguente: sia T una teoria numerabile in un linguaggio del primo ordine (cioè un insieme di frasi mutuamente coerenti in quel linguaggio) e sia P un primo modello di t . Allora P ammette un'immersione elementare in qualsiasi altro modello di T . La nozione equivalente per i modelli saturi è che qualsiasi modello "ragionevolmente piccolo" di T è elementaremente incorporato in un modello saturo, dove "ragionevolmente piccolo" significa cardinalità non maggiore di quella del modello in cui deve essere incorporato. Qualsiasi modello saturo è anche omogeneo . Tuttavia, mentre per le teorie numerabili esiste un unico modello primo, i modelli saturi sono necessariamente specifici di una particolare cardinalità. Dati alcuni presupposti della teoria degli insiemi, esistono modelli saturi (sebbene di cardinalità molto ampia) per teorie arbitrarie. Per λ - teorie stabili , esistono modelli saturati di cardinalità λ .

Appunti

Riferimenti

• Chang, CC ; Keisler, teoria dei modelli HJ . Terza edizione. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 73. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1990. xvi+650 pp. ISBN  0-444-88054-2
• R. Goldblatt (1998). Lezioni sugli iperreali. Introduzione all'analisi non standard. Springer.
• Mark, David (2002). Teoria dei modelli: un'introduzione . New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98760-6
• Poizat, Bruno; Trans: Klein, Moses (2000), A Course in Model Theory , New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98655-3
• Sacks, Gerald E. (1972), Teoria del modello saturo , WA Benjamin, Inc., Reading, Mass., MR  0398817