Yinelenme grafiği - Recurrence plot

Tanımlayıcı istatistik ve kaos teorisinde , bir tekrarlama grafiği ( RP ), zaman içindeki her i anı için , bir faz uzayı yörüngesinin, j zamanında olduğu gibi faz uzayında kabaca aynı alanı ziyaret ettiği zamanları gösteren bir çizimdir . Başka bir deyişle, bu bir grafiktir.

${\displaystyle {\vec {x}}(i)\yaklaşık {\vec {x}}(j),}$

gösteren bir yatay eksen ve bir yatay eksen üzerinde, burada bir faz alanı yörünge. ${\görüntüleme stili ben}$${\görüntüleme stili j}$${\görüntüleme stili {\vec {x}}}$

Arka fon

Doğal süreçlerin belirgin bir tekrarlayan davranışı olabilir, örneğin periyodiklikler ( mevsimsel veya Milankovich döngüleri gibi ), ama aynı zamanda düzensiz döngüler ( El Niño Güney Salınımı gibi). Ayrıca, durumların yinelenmesi, yani durumların belirli bir sapma süresinden sonra yine keyfi olarak yakın olmaları anlamında , deterministik dinamik sistemlerin temel bir özelliğidir ve doğrusal olmayan veya kaotik sistemler için tipiktir (bkz. Poincaré yineleme teoremi ). Doğadaki durumların tekrarı uzun zamandır bilinmektedir ve erken çalışmalarda da tartışılmıştır (örn. Henri Poincaré 1890).

Detaylı Açıklama

Eckmann ve ark. (1987), bir yörüngenin periyodik yapısını bir faz uzayı boyunca görselleştirmenin bir yolunu sağlayan tekrarlama grafiklerini tanıttı . Yüksek boyutlu faz uzayları sadece iki ya da üç boyutlu alt uzaylara izdüşümle görselleştirilebildiğinden, faz uzayı genellikle resimlenecek kadar düşük bir boyuta (iki veya üç) sahip değildir. Bununla birlikte, bir yineleme grafiği yapmak, iki boyutlu bir temsil yoluyla m -boyutlu faz uzayı yörüngesinin belirli yönlerini araştırmamızı sağlar .

Bir nüks daha önce ziyaret ettiği bir konuma yörünge döner bir zamandır. Nüks arsa, yörünge aynı yerde olduğu birkaç kez çiftlerinin koleksiyon tasvir kümesini yani birlikte . Çizimi yapmak için, sürekli zaman ve sürekli faz uzayı ayrıklaştırılır, örneğin yörüngenin zaman içindeki konumu olarak alınır ve yörünge daha önce olduğu bir noktaya yeterince yaklaştığında (örneğin, içinde ) bir tekrar olarak sayılır . ${\görüntüleme stili (i,j)}$${\displaystyle {\vec {x}}(i)={\vec {x}}(j)}$${\görüntüleme stili {\vec {x}}(i)}$${\görüntüleme stili ben}$${\görüntüleme stili\varepsilon }$

Operasyonel olarak arsa aşağıdaki gibi çizilir:

(a) Herhangi iki ardışık zaman adımının zaman aralığı ile ayrıldığı ve sistemin durumunun her bir zaman adımı için kaydedildiği ve böylece yörüngenin toplandığı belirli bir zaman penceresi seçilir . ${\displaystyle {\vec {w}}=<t_{1},t_{2},...,t_{T}>}$${\görüntüleme stili \delta }$${\görüntüleme stili {\vec {x}}(t)}$${\displaystyle \mathbf {X} =<{\vec {x}}(t_{1}),{\vec {x}}(t_{2}),...,{\vec {x}}( t_{T})>}$

(b) x ekseni ve y ekseninin her ikisinin de rapor verdiği , her birinin kenar ölçümü olan küçük karelerden oluşan bir kafes oluşturduğu bir 2B çizim oluşturulur.${\ Displaystyle {\vec {w}}}$${\ Displaystyle T\time T}$${\görüntüleme stili \delta }$

(c) Veriler , ikili işlev aracılığıyla değerlerin yinelenmesini/tekrarlanmamasını kaydeden ikili öğeler tarafından oluşturulan bir matrisi hesaplamak için kullanılır : ${\görüntüleme stili \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\görüntüleme stili {\vec {x}}}$

${\displaystyle R(i,j)={\begin{cases}1&{\text{if}}\quad \|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\ |\leq \varepsilon \\0&{\text{aksi halde}},\end{davalar}}}$

nerede . ${\displaystyle i,j\in \{t_{1},t_{2},...,t_{T}\}}$

(d) Tekrarlama grafiği daha sonra eğer koordinatlarında kafesin siyah küçük bir karesi ve eğer ise beyaz bir küçük kare ile görselleştirilir . ${\displaystyle \mathbf {R} }$${\görüntüleme stili (i,j)}$${\görüntüleme stili R(i,j)=1}$${\görüntüleme stili R(i,j)=0}$

Bir yineleme grafiğinin görsel görünümü, sistemin dinamikleri hakkında ipuçları verir. Faz uzay yörüngesinin karakteristik davranışının neden olduğu bir tekrarlama grafiği, tek noktalar, diyagonal çizgiler ve dikey/yatay çizgiler (veya genişletilmiş kümelerle birleşen ikincisinin bir karışımı) gibi tipik küçük ölçekli yapıları içerir. Doku olarak da adlandırılan büyük ölçekli yapı, homojen , periyodik , sürüklenme veya bozulma ile görsel olarak karakterize edilebilir . Örneğin, çizim, yörüngenin period ile kesin olarak periyodik olup olmadığını gösterebilir , o zaman bu tür tüm zaman çiftleri, çapraz çizgiler olarak görünür ve katları ile ayrılacaktır . ${\görüntüleme stili T}$${\görüntüleme stili T}$

Tekrarlama grafiğinin tipik örnekleri (üst sıra: zaman serisi (zamana göre çizilmiş); alt sıra: karşılık gelen tekrarlama grafikleri). Soldan sağa: ilintisiz stokastik veriler ( beyaz gürültü ), iki frekanslı harmonik salınım , lineer trendli kaotik veriler ( lojistik harita ) ve otomatik gerilemeli süreçten gelen veriler .

RP'lerdeki küçük ölçekli yapılar, tekrarlama niceleme analizi tarafından kullanılır (Zbilut & Webber 1992; Marwan ve diğerleri 2002). Bu niceleme, RP'leri nicel bir şekilde tanımlamamıza ve sistemin geçişlerini veya doğrusal olmayan parametrelerini incelememize olanak tanır. Gömme parametrelerinin seçimine bağlı olan yineleme niceleme analizinin buluşsal yaklaşımının aksine , gömmeden bağımsız olan korelasyon boyutu , K2 entropisi veya karşılıklı bilgi gibi bazı dinamik değişmezler de yineleme grafiklerinden türetilebilir. Bu dinamik değişmezlerin temeli, tekrarlama oranı ve köşegen çizgilerin uzunluklarının dağılımıdır.

Yakın getiri grafikleri, tekrarlama grafiklerine benzer. Aradaki fark, -ekseni için (mutlak zaman yerine) yinelemeler arasındaki göreli zamanın kullanılmasıdır . ${\görüntüleme stili y}$

Yineleme grafiklerinin ana avantajı, diğer yöntemlerin başarısız olduğu kısa ve durağan olmayan veriler için bile yararlı bilgiler sağlamalarıdır.

Uzantılar

Tekrarlama grafiklerinin çok değişkenli uzantıları, çapraz tekrarlama grafikleri ve ortak yineleme grafikleri olarak geliştirildi .

Çapraz tekrarlama grafikleri, aynı faz uzayındaki iki farklı sistemin faz uzayı yörüngelerini dikkate alır (Marwan & Kurths 2002):

${\displaystyle \mathbf {CR} (i,j)=\Theta (\varepsilon -\|{\vec {x}}(i)-{\vec {y}}(j)\|),\quad { \vec {x}}(i),\,{\vec {y}}(i)\in \mathbb {R} ^{m},\quad i=1,\dots ,N_{x},\ j =1,\nokta ,N_{y}.}$

Her iki sistemin boyutu aynı olmalıdır, ancak dikkate alınan durum sayısı (yani veri uzunluğu) farklı olabilir. Çapraz yineleme grafikleri , iki sistemin benzer durumlarının oluşumlarını karşılaştırır . İki farklı sistem arasındaki dinamik evrimin benzerliğini analiz etmek, iki sistemdeki benzer eşleşme modellerini aramak veya zaman ölçeği farklı olan iki benzer sistemin zaman ilişkisini incelemek için kullanılabilirler (Marwan ve Kurths). 2005).

Ortak tekrarlama grafikleri , dikkate alınan alt sistemlerin tekrarlama grafiklerinin Hadamard ürünüdür (Romano ve diğerleri 2004), örneğin iki sistem için ve ortak tekrarlama grafiği ${\görüntüleme stili {\vec {x}}}$${\görüntüleme stili {\vec {y}}}$

${\displaystyle \mathbf {JR} (i,j)=\Theta (\varepsilon _{x}-\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|) \cdot \Theta (\varepsilon _{y}-\|{\vec {y}}(i)-{\vec {y}}(j)\|),\quad {\vec {x}}(i )\in \mathbb {R} ^{m},\quad {\vec {y}}(i)\in \mathbb {R} ^{n},\quad i,j=1,\dots ,N_{ x,y}.}$

Çapraz nüks araziler aksine, eklem nüks araziler eşzamanlı oluşumu karşılaştırma nüks iki (veya daha fazla) sistemleri. Ayrıca, dikkate alınan faz uzaylarının boyutu farklı olabilir, ancak tüm alt sistemler için dikkate alınan durumların sayısı aynı olmalıdır. Faz senkronizasyonunu tespit etmek için ortak tekrarlama grafikleri kullanılabilir .

Örnek

Güney Salınım endeksinin yinelenme grafiği .

Ayrıca bakınız

• poincare arsa
• Tekrarlama periyodu yoğunluk entropisi , hem deterministik hem de stokastik dinamik sistemlerin tekrarlama özelliklerini özetlemek için bir bilgi-teorik yöntem.
• Yineleme niceleme analizi , yineleme grafiklerini ölçmek için sezgisel bir yaklaşım.
• Kendi kendine benzerlik matrisi
• Nokta grafiği (biyoinformatik)

Referanslar

• JP Eckmann, SO Kamphorst, D. Ruelle (1987). "Dinamik Sistemlerin Yinelenme Grafikleri". Eurofizik Mektupları . 5 (9): 973-977. Bibcode : 1987EL......4..973E . doi : 10.1209/0295-5075/4/9/004 .CS1 bakımı: birden çok ad: yazar listesi ( bağlantı )
• N. Mervan; MC Romano; M. Thiel; J. Kurths (2007). "Karmaşık Sistemlerin Analizi için Tekrarlama Grafikleri". Fizik Raporları . 438 (5–6): 237. Bibcode : 2007PhR...438..237M . doi : 10.1016/j.physrep.2006.11.001 .
• N. Mervan (2008). "Tekrarlama parsellerinin tarihsel bir incelemesi" . Avrupa Fizik Dergisi ST . 164 (1): 3–12. arXiv : 1709.09971 . Bibcode : 2008EPJST.164....3M . doi : 10.1140/epjst/e2008-00829-1 .

Dış bağlantılar

• yineleme
• Bilim Konuları