Tracé de récurrence - Recurrence plot

Dans les statistiques descriptives et la théorie du chaos , un graphique de récurrence ( RP ) est un graphique montrant, pour chaque instant i dans le temps, les moments auxquels une trajectoire de l' espace des phases visite à peu près la même zone dans l'espace des phases qu'au temps j . En d'autres termes, il s'agit d'un graphique de

${\displaystyle {\vec {x}}(i)\environ {\vec {x}}(j),}$

montrant sur un axe horizontal et sur un axe vertical, où est une trajectoire d'espace de phase. ${\style d'affichage i}$${\style d'affichage j}$${\displaystyle {\vec {x}}}$

Contexte

Les processus naturels peuvent avoir un comportement récurrent distinct, par exemple des périodicités (comme les cycles saisonniers ou de Milankovich ), mais aussi des cyclicités irrégulières (comme El Niño Southern Oscillation). De plus, la récurrence des états, au sens où les états sont à nouveau arbitrairement proches après un certain temps de divergence , est une propriété fondamentale des systèmes dynamiques déterministes et est typique des systèmes non linéaires ou chaotiques (cf. théorème de récurrence de Poincaré ). La récurrence des états dans la nature est connue depuis longtemps et a également été discutée dans les premiers travaux (par exemple Henri Poincaré 1890).

Description détaillée

Eckmann et al. (1987) ont introduit des graphiques de récurrence, qui fournissent un moyen de visualiser la nature périodique d'une trajectoire à travers un espace de phases . Souvent, l'espace de phase n'a pas une dimension suffisamment basse (deux ou trois) pour être représenté, car les espaces de phase de dimension supérieure ne peuvent être visualisés que par projection dans les sous-espaces à deux ou trois dimensions. Cependant, faire un tracé de récurrence nous permet d'étudier certains aspects de la trajectoire de l'espace des phases à m dimensions à travers une représentation bidimensionnelle.

Une récurrence est un moment où la trajectoire revient à un endroit qu'elle a déjà visité. Le graphique de récurrence représente l'ensemble des paires d'instants auxquels la trajectoire est au même endroit, c'est-à-dire l'ensemble de avec . Pour faire le tracé, le temps continu et l'espace de phase continu sont discrétisés, en prenant par exemple l'emplacement de la trajectoire au temps et en comptant comme une récurrence chaque fois que la trajectoire se rapproche suffisamment (disons, dans ) d'un point qu'elle était auparavant. ${\style d'affichage (i,j)}$${\displaystyle {\vec {x}}(i)={\vec {x}}(j)}$${\displaystyle {\vec {x}}(i)}$${\style d'affichage i}$${\displaystyle \varepsilon }$

Sur le plan opérationnel, le tracé est tracé comme suit :

(a) Une certaine fenêtre de temps est choisie où deux pas de temps successifs sont séparés par l'intervalle de temps , et où l'état du système est enregistré pour chaque pas de temps, collectant ainsi la trajectoire . ${\displaystyle {\vec {w}}=<t_{1},t_{2},...,t_{T}>}$${\style d'affichage \delta }$${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$${\displaystyle \mathbf {X} =<{\vec {x}}(t_{1}),{\vec {x}}(t_{2}),...,{\vec {x}}( t_{T})>}$

(b) Un tracé 2D est créé où l'axe des x et l'axe des y rapportent tous les deux , formant un réseau de petits carrés chacun avec un côté mesurant${\displaystyle {\vec {w}}}$${\displaystyle T\fois T}$${\style d'affichage \delta }$

(c) Les données sont utilisées pour calculer une matrice formée d'éléments binaires enregistrant la récurrence/non-récurrence des valeurs via la fonction binaire : ${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle {\vec {x}}}$

${\displaystyle R(i,j)={\begin{cases}1&{\text{if}}\quad \|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\ |\leq \varepsilon \\0&{\text{autrement}},\end{cases}}}$

où . ${\displaystyle i,j\in \{t_{1},t_{2},...,t_{T}\}}$

(d) Le tracé de récurrence se visualise alors avec un petit carré noir du réseau aux coordonnées si , et un petit carré blanc si . ${\displaystyle \mathbf {R} }$${\style d'affichage (i,j)}$${\style d'affichage R(i,j)=1}$${\style d'affichage R(i,j)=0}$

L'apparence visuelle d'un tracé de récurrence donne des indications sur la dynamique du système. Causé par le comportement caractéristique de la trajectoire de l'espace des phases, un tracé de récurrence contient des structures typiques à petite échelle, comme des points simples, des lignes diagonales et des lignes verticales/horizontales (ou un mélange de ces dernières, qui se combinent en clusters étendus). La structure à grande échelle, également appelée texture , peut être caractérisée visuellement par des phénomènes homogènes , périodiques , de dérive ou perturbés . Par exemple, le graphique peut montrer si la trajectoire est strictement périodique avec une période , alors toutes ces paires de temps seront séparées par un multiple de et visibles sous forme de lignes diagonales. ${\style d'affichage T}$${\style d'affichage T}$

Exemples typiques de tracés de récurrence (ligne du haut : séries chronologiques (tracées dans le temps) ; rangée du bas : tracés de récurrence correspondants). De gauche à droite : données stochastiques non corrélées ( bruit blanc ), oscillation harmonique à deux fréquences, données chaotiques ( carte logistique ) à tendance linéaire et données issues d'un processus auto-régressif .

Les structures à petite échelle dans les PR sont utilisées par l' analyse de quantification de la récurrence (Zbilut & Webber 1992 ; Marwan et al. 2002). Cette quantification nous permet de décrire les PR de manière quantitative et d'étudier des transitions ou des paramètres non linéaires du système. Contrairement à l'approche heuristique de l'analyse de quantification de récurrence, qui dépend du choix des paramètres de plongement, certains invariants dynamiques comme la dimension de corrélation , l' entropie K2 ou l'information mutuelle , qui sont indépendants du plongement, peuvent également être dérivés des tracés de récurrence. La base de ces invariants dynamiques est le taux de récurrence et la distribution des longueurs des lignes diagonales.

Les tracés des retours proches sont similaires aux tracés de récurrence. La différence est que le temps relatif entre les récurrences est utilisé pour l' axe - (au lieu du temps absolu). ${\style d'affichage y}$

Le principal avantage des graphiques de récurrence est qu'ils fournissent des informations utiles même pour des données courtes et non stationnaires, là où d'autres méthodes échouent.

Rallonges

Des extensions multivariées des tracés de récurrence ont été développées sous forme de tracés de récurrence croisée et de tracés de récurrence conjointe .

Les graphiques de récurrence croisée considèrent les trajectoires d'espace de phase de deux systèmes différents dans le même espace de phase (Marwan & Kurths 2002) :

${\displaystyle \mathbf {CR} (i,j)=\Theta (\varepsilon -\|{\vec {x}}(i)-{\vec {y}}(j)\|),\quad { \vec {x}}(i),\,{\vec {y}}(i)\in \mathbb {R} ^{m},\quad i=1,\dots ,N_{x},\ j =1,\points ,N_{y}.}$

La dimension des deux systèmes doit être la même, mais le nombre d'états considérés (c'est-à-dire la longueur des données) peut être différent. Les graphiques de récurrence croisée comparent les occurrences d' états similaires de deux systèmes. Ils peuvent être utilisés afin d'analyser la similitude de l'évolution dynamique entre deux systèmes différents, de rechercher des modèles d'appariement similaires dans deux systèmes ou d'étudier la relation temporelle de deux systèmes similaires, dont l'échelle de temps diffère (Marwan & Kurths 2005).

Les courbes de récurrence conjointes sont le produit d'Hadamard des courbes de récurrence des sous-systèmes considérés (Romano et al. 2004), par exemple pour deux systèmes et la courbe de récurrence conjointe est ${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle {\vec {y}}}$

${\displaystyle \mathbf {JR} (i,j)=\Theta (\varepsilon _{x}-\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|) \cdot \Theta (\varepsilon _{y}-\|{\vec {y}}(i)-{\vec {y}}(j)\|),\quad {\vec {x}}(i )\in \mathbb {R} ^{m},\quad {\vec {y}}(i)\in \mathbb {R} ^{n},\quad i,j=1,\dots ,N_{ x,y}.}$

Contrairement aux tracés de récurrence croisée, les tracés de récurrence conjointe comparent l'occurrence simultanée de récurrences dans deux (ou plusieurs) systèmes. De plus, la dimension des espaces de phases considérés peut être différente, mais le nombre d'états considérés doit être le même pour tous les sous-systèmes. Des tracés de récurrence conjoints peuvent être utilisés afin de détecter la synchronisation de phase .

Exemple

Tracé de récurrence de l' indice d' oscillation australe .

Voir également

• Parcelle de Poincaré
• Entropie de densité de période de récurrence , une méthode théorique de l'information pour résumer les propriétés de récurrence des systèmes dynamiques déterministes et stochastiques.
• Analyse de quantification de la récurrence , une approche heuristique pour quantifier les tracés de récurrence.
• Matrice d'auto-similitude
• Dot plot (bioinformatique)

Les références

• JP Eckmann, SO Kamphorst, D. Ruelle (1987). "Tracés de récurrence de systèmes dynamiques". Lettres Europhysiques . 5 (9) : 973-977. Bibcode : 1987EL ...... 4..973E . doi : 10.1209/0295-5075/4/9/004 .CS1 maint : plusieurs noms : liste des auteurs ( lien )
• N. Marwan ; MC Romano ; M. Thiel ; J. Kurths (2007). « Tracés de récurrence pour l'analyse des systèmes complexes ». Rapports de physique . 438 (5-6): 237. bibcode : 2007PhR ... 438..237M . doi : 10.1016/j.physrep.2006.11.001 .
• N. Marwan (2008). « Un examen historique des parcelles de récurrence » . Journal Physique Européen ST . 164 (1) : 3-12. arXiv : 1709.09971 . Bibcode : 2008EPJST.164 .... 3M . doi : 10.1140/epjst/e2008-00829-1 .

Liens externes

• Récurrence
• Sujets de science-fiction