Gjentagelsesplott - Recurrence plot

I deskriptiv statistikk og kaos teori , er en gjentakelse plott ( RP ) er et plott som viser, for hvert øyeblikk i tid, tidspunktene ved hvilke en faserommet bane besøk omtrent det samme området i faserommet som ved tidspunktet j . Med andre ord er det en graf over

${\ displaystyle {\ vec {x}} (i) \ approx {\ vec {x}} (j),}$

viser på en horisontal akse og på en vertikal akse, hvor er en faserombane. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

Bakgrunn

Naturlige prosesser kan ha en tydelig tilbakevendende oppførsel, f.eks. Periodisiteter (som sesongmessige eller Milankovich -sykluser ), men også uregelmessige syklisiteter (som El Niño Southern Oscillation). Videre er tilbakefall av stater, i betydningen at stater igjen er vilkårlig nær etter en tid med divergens , en grunnleggende egenskap for deterministiske dynamiske systemer og er typisk for ikke -lineære eller kaotiske systemer (jf. Poincaré tilbakefallssetning ). Tilbakevendelsen av stater i naturen har vært kjent lenge og har også blitt diskutert i tidlig arbeid (f.eks. Henri Poincaré 1890).

Detaljert beskrivelse

Eckmann et al. (1987) introduserte gjentagelsesplott, som gir en måte å visualisere den periodiske naturen til en bane gjennom et faserom . Ofte har faserommet ikke en lav nok dimensjon (to eller tre) til å bli avbildet, siden fasaderom i høyere dimensjoner bare kan visualiseres ved projeksjon inn i de to eller tredimensjonale delrommene. Imidlertid gjør det å lage et gjentagelsesplott oss i stand til å undersøke visse aspekter ved m -dimensjonale faserombanen gjennom en todimensjonal fremstilling.

En gjentakelse er en gang banen går tilbake til et sted den har besøkt før. Gjentagelsesplottet skildrer samlingen av par ganger der banen er på samme sted, dvs. settet med . For å lage plottet diskretiseres kontinuerlig tid og kontinuerlig faserom, f.eks. Som plasseringen av banen til enhver tid og regnes som en gjentakelse hver gang banen kommer tilstrekkelig nær (si innen ) til et punkt den har vært tidligere. ${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle {\ vec {x}} (i) = {\ vec {x}} (j)}$${\ displaystyle {\ vec {x}} (i)}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

Operasjonelt er plottet tegnet slik:

(a) Et bestemt tidsvindu velges der to påfølgende tidstrinn skilles med tidsintervallet , og hvor tilstanden til systemet registreres for hvert tidstrinn, og dermed samler banen . ${\ displaystyle {\ vec {w}} = <t_ {1}, t_ {2}, ..., t_ {T}>}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle {\ vec {x}} (t)}$${\ displaystyle \ mathbf {X} = <{\ vec {x}} (t_ {1}), {\ vec {x}} (t_ {2}), ..., {\ vec {x}} ( t_ {T})>}$

(b) Det opprettes et 2D-diagram der x-aksen og y-aksen begge rapporterer , og danner et gitter med små firkanter hver med sidemåling${\ displaystyle {\ vec {w}}}$${\ displaystyle T \ ganger T}$${\ displaystyle \ delta}$

(c) Dataene brukes til å beregne en matrise dannet av binære elementer som registrerer gjentakelse/ikke-tilbakefall av verdier gjennom den binære funksjonen: ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {R}}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

${\ displaystyle R (i, j) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} \ quad \ | {\ vec {x}} (i)-{\ vec {x}} (j) \ | \ leq \ varepsilon \\ 0 & {\ text {ellers}}, \ ende {saker}}}$

hvor . ${\ displaystyle i, j \ in \ {t_ {1}, t_ {2}, ..., t_ {T} \}}$

(d) Gjentagelsesplottet visualiserer deretter med en svart liten firkant av gitteret ved koordinater hvis , og en hvit liten firkant hvis . ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle R (i, j) = 1}$${\ displaystyle R (i, j) = 0}$

Det visuelle utseendet til et gjentakelsesplott gir hint om systemets dynamikk. Forårsaket av karakteristisk oppførsel av faserommet, inneholder et gjentakelsesplott typiske småskala strukturer, som enkle prikker, diagonale linjer og vertikale/horisontale linjer (eller en blanding av sistnevnte, som kombineres til utvidede klynger). Den store strukturen, også kalt tekstur , kan visuelt preges av homogen , periodisk , drift eller forstyrret . For eksempel kan plottet vise om banen er strengt periodisk med periode , så vil alle slike par ganger skilles med et multiplum av og synlige som diagonale linjer. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$

Typiske eksempler på gjentagelsesplott (øverste rad: tidsserier (plottet over tid); nederste rad: tilsvarende gjentagelsesplott). Fra venstre til høyre: ukorrelerte stokastiske data ( hvit støy ), harmonisk svingning med to frekvenser, kaotiske data ( logistisk kart ) med lineær trend, og data fra en auto-regressiv prosess .

De småskala strukturene i RPer brukes av tilbakefallskvantifiseringsanalysen (Zbilut & Webber 1992; Marwan et al. 2002). Denne kvantifiseringen lar oss beskrive RP -ene på en kvantitativ måte og studere overganger eller ikke -lineære parametere i systemet. I motsetning til den heuristiske tilnærmingen til tilbakefallskvantifiseringsanalysen, som avhenger av valget av innebyggingsparametrene, kan noen dynamiske invarianter som korrelasjonsdimensjon , K2 entropi eller gjensidig informasjon , som er uavhengige av innstøpningen, også utledes av gjentakelsesplott. Grunnlaget for disse dynamiske invariantene er tilbakefallshastigheten og fordelingen av lengdene på de diagonale linjene.

Tomter for nær retur er lik tilbakefallstomter. Forskjellen er at den relative tiden mellom gjentagelser brukes for -aksen (i stedet for absolutt tid). ${\ displaystyle y}$

Den største fordelen med gjentagelsesplott er at de gir nyttig informasjon selv for korte og ikke-stasjonære data, der andre metoder mislykkes.

Utvidelser

Multivariate utvidelser av tilbakefallstomter ble utviklet som kryss -tilbakefallstomter og felles gjentagelsesplott .

Cross recurrence -plott vurderer faseområdets baner for to forskjellige systemer i samme faserom (Marwan & Kurths 2002):

${\ displaystyle \ mathbf {CR} (i, j) = \ Theta (\ varepsilon -\ | {\ vec {x}} (i) -{\ vec {y}} (j) \ |), \ quad { \ vec {x}} (i), \, {\ vec {y}} (i) \ in \ mathbb {R} ^{m}, \ quad i = 1, \ dots, N_ {x}, \ j = 1, \ prikker, N_ {y}.}$

Dimensjonen til begge systemene må være den samme, men antallet vurderte tilstander (dvs. datalengde) kan være forskjellig. Tverrgående gjentagelsesplott sammenligner forekomsten av lignende tilstander i to systemer. De kan brukes for å analysere likheten i den dynamiske utviklingen mellom to forskjellige systemer, for å se etter lignende matchende mønstre i to systemer, eller for å studere tidsforholdet til to lignende systemer, hvis tidsskala er forskjellig (Marwan & Kurths 2005).

Felles gjentagelsesplott er Hadamard-produktet av gjentagelsesplottene til de vurderte undersystemene (Romano et al. 2004), f.eks. For to systemer og det felles gjentagelsesplottet er ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle {\ vec {y}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {JR} (i, j) = \ Theta (\ varepsilon _ {x}-\ | {\ vec {x}} (i)-{\ vec {x}} (j) \ |) \ cdot \ Theta (\ varepsilon _ {y}-\ | {\ vec {y}} (i)-{\ vec {y}} (j) \ |), \ quad {\ vec {x}} (i ) \ in \ mathbb {R} ^{m}, \ quad {\ vec {y}} (i) \ in \ mathbb {R} ^{n}, \ quad i, j = 1, \ dots, N_ { x, y}.}$

I motsetning til kryss -tilbakefallstomter, sammenligner gjentagelsesplottene samtidig forekomst av tilbakefall i to (eller flere) systemer. Videre kan dimensjonen til de vurderte faseområdene være forskjellig, men antallet av de vurderte tilstandene må være det samme for alle delsystemene. Felles gjentagelsesplott kan brukes for å oppdage fasesynkronisering .

Eksempel

Gjentagelsesplott av den sørlige oscillasjonsindeksen .

Se også

• Poincaré -tomt
• Tetthetsentropi for gjentakelsesperiode , en informasjonsteoretisk metode for å oppsummere gjentagelsesegenskapene til både deterministiske og stokastiske dynamiske systemer.
• Tilbakefallskvantifiseringsanalyse , en heuristisk tilnærming for å kvantifisere gjentagelsesplott.
• Selvlikhetsmatrise
• Prikkplott (bioinformatikk)

Referanser

• JP Eckmann, SO Kamphorst, D. Ruelle (1987). "Gjentagelsesplott av dynamiske systemer". Europhysics Letters . 5 (9): 973–977. Bibcode : 1987EL ...... 4..973E . doi : 10.1209/0295-5075/4/9/004 .CS1 -vedlikehold: flere navn: forfatterliste ( lenke )
• N. Marwan; MC Romano; M. Thiel; J. Kurths (2007). "Gjentagelsesplott for analyse av komplekse systemer". Fysikkrapporter . 438 (5–6): 237. Bibcode : 2007PhR ... 438..237M . doi : 10.1016/j.physrep.2006.11.001 .
• N. Marwan (2008). "En historisk gjennomgang av gjentakelsestomter" . European Physical Journal ST . 164 (1): 3–12. arXiv : 1709.09971 . Bibcode : 2008EPJST.164 .... 3M . doi : 10.1140/epjst/e2008-00829-1 .

Eksterne linker

• Tilbakefall
• Sci -emner