Opakování spiknutí - Recurrence plot

V deskriptivní statistice a teorii chaosu je graf opakování ( RP ) graf znázorňující pro každý okamžik i v čase časy, ve kterých trajektorie fázového prostoru navštíví zhruba stejnou oblast ve fázovém prostoru jako v čase j . Jinými slovy, je to graf

{\ displaystyle {\ vec {x}} (i) \ cca {\ vec {x}} (j),}

zobrazující na vodorovné ose a na svislé ose, kde je trajektorie fázového prostoru. ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

Pozadí

Přírodní procesy mohou mít výrazné opakující se chování, např. Periodicitu (jako sezónní nebo Milankovichův cyklus ), ale také nepravidelnou cykličnost (jako El Niño jižní oscilace). Navíc opakování stavů ve smyslu, že stavy jsou po určité době divergence opět libovolně blízké , je základní vlastností deterministických dynamických systémů a je typické pro nelineární nebo chaotické systémy (srov. Poincaréova věta o opakování ). Opakování stavů v přírodě je známo již dlouhou dobu a diskutovalo se o něm také v raných pracích (např. Henri Poincaré 1890).

Detailní popis

Eckmann a kol. (1987) představili rekurentní grafy, které poskytují způsob, jak vizualizovat periodickou povahu trajektorie fázovým prostorem . Fázový prostor často nemá dostatečně nízký rozměr (dva nebo tři), aby jej bylo možné zobrazit, protože fázové prostory s vyšší dimenzí lze zobrazit pouze projekcí do dvou nebo trojrozměrných dílčích prostorů. Vytvoření rekurentního grafu nám však umožňuje prozkoumat určité aspekty trajektorie m -dimenzionálního fázového prostoru prostřednictvím dvojrozměrné reprezentace.

Recidiva je čas trajektorie se vrátí na místo, to navštívil předtím. Graf opakování zobrazuje soubor párů časů, ve kterých je trajektorie na stejném místě, tj. Množina s . Aby byl graf, spojitý čas a souvislý fázový prostor diskretizovány, bereme např. Jako umístění trajektorie v čase a počítáme jako opakování kdykoli se trajektorie dostatečně přiblíží (řekněme uvnitř ) k bodu, ve kterém byla dříve. ${\ displaystyle (i, j)}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (i) = {\ vec {x}} (j)}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (i)}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$

Provozně je děj vykreslen následovně:

(a) Je zvoleno určité časové okno, kde jsou libovolné dva po sobě jdoucí časové kroky odděleny časovým intervalem , a kde je pro každý časový krok zaznamenán stav systému, čímž se shromažďuje trajektorie . ${\ displaystyle {\ vec {w}} = <t_ {1}, t_ {2}, ..., t_ {T}>}$ ${\ Displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {X} = <{\ vec {x}} (t_ {1}), {\ vec {x}} (t_ {2}), ..., {\ vec {x}} ( t_ {T})>}$

(b) Vytvoří se 2D graf, kde se osy x i osa y hlásí a tvoří mřížku malých čtverců, z nichž každá měří stranu ${\ displaystyle {\ vec {w}}}$ ${\ displaystyle T \ times T}$ ${\ Displaystyle \ delta}$

(c) Data se používají k výpočtu matice tvořené binárními prvky zaznamenávající opakování/neopakování hodnot prostřednictvím binární funkce: ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

{\ Displaystyle R (i, j) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} \ quad \ | {\ vec {x}} (i)-{\ vec {x}} (j) \ | \ leq \ varepsilon \\ 0 & {\ text {else}}, \ end {cases}}}

kde . ${\ Displaystyle i, j \ in \ {t_ {1}, t_ {2}, ..., t_ {T} \}}$

(d) Graf opakování se poté vizualizuje pomocí černého čtverce mřížky na souřadnicích if a bílého čtverce if . ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$ ${\ displaystyle (i, j)}$ ${\ displaystyle R (i, j) = 1}$ ${\ displaystyle R (i, j) = 0}$

Vizuální podoba grafu opakování dává rady o dynamice systému. Způsobený charakteristickým chováním trajektorie fázového prostoru obsahuje rekurentní graf typické struktury malého rozsahu jako jednotlivé body, diagonální čáry a svislé/vodorovné čáry (nebo jejich směs, která se spojuje do rozšířených klastrů). Velkoplošnou strukturu, nazývanou také textura , lze vizuálně charakterizovat homogenní , periodickou , driftovou nebo narušenou . Děj může například ukázat, zda je trajektorie přísně periodická s periodou , pak všechny takové dvojice časů budou odděleny násobkem a viditelné jako diagonální čáry. ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle T}$

Typické příklady opakujících se grafů (horní řádek: časové řady (vynesené v čase); spodní řádek: odpovídající grafy opakování). Zleva doprava: nekorelovaná stochastická data ( bílý šum ), harmonická oscilace se dvěma frekvencemi, chaotická data ( logistická mapa ) s lineárním trendem a data z auto-regresivního procesu .

Struktury malého rozsahu v RP jsou používány kvantifikační analýzou opakování (Zbilut & Webber 1992; Marwan et al. 2002). Tato kvantifikace nám umožňuje popsat RP kvantitativním způsobem a studovat přechody nebo nelineární parametry systému. Na rozdíl od heuristického přístupu kvantifikace rekurence, který závisí na volbě parametrů vkládání, lze z grafů opakování odvodit také některé dynamické invarianty jako korelační dimenzi , entropii K2 nebo vzájemné informace , které jsou na vkládání nezávislé. Základem pro tyto dynamické invarianty je míra opakování a rozdělení délek diagonálních čar.

Grafy blízkých výnosů jsou podobné grafům opakování. Rozdíl je v tom, že pro -axi (místo absolutního času) se používá relativní čas mezi opakováním . ${\ displaystyle y}$

Hlavní výhodou opakujících se grafů je, že poskytují užitečné informace i pro krátká a nestacionární data, kde jiné metody selžou.

Rozšíření

Vícerozměrná rozšíření opakujících se grafů byla vyvinuta jako křížové rekurentní grafy a společné rekurentní grafy .

Křížové recidivy zvažují trajektorie fázového prostoru dvou různých systémů ve stejném fázovém prostoru (Marwan & Kurths 2002):

{\ Displaystyle \ mathbf {CR} (i, j) = \ Theta (\ varepsilon -\ | {\ vec {x}} (i) -{\ vec {y}} (j) \ |), \ quad { \ vec {x}} (i), \, {\ vec {y}} (i) \ in \ mathbb {R} ^{m}, \ quad i = 1, \ dots, N_ {x}, \ j = 1, \ tečky, N_ {y}.}

Dimenze obou systémů musí být stejná, ale počet uvažovaných stavů (tj. Délka dat) se může lišit. Křížové grafy opakování porovnávají výskyty podobných stavů dvou systémů. Mohou být použity k analýze podobnosti dynamického vývoje mezi dvěma různými systémy, k hledání podobných vzorů shody ve dvou systémech nebo ke studiu časového vztahu dvou podobných systémů, jejichž časové měřítko se liší (Marwan & Kurths 2005).

Společné rekurentní grafy jsou Hadamardovým produktem recidivních grafů uvažovaných subsystémů (Romano et al. 2004), např. Pro dva systémy a společný recidivní graf je ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {y}}}$

{\ Displaystyle \ mathbf {JR} (i, j) = \ Theta (\ varepsilon _ {x}-\ | {\ vec {x}} (i)-{\ vec {x}} (j) \ |) \ cdot \ Theta (\ varepsilon _ {y}-\ | {\ vec {y}} (i)-{\ vec {y}} (j) \ |), \ quad {\ vec {x}} (i ) \ in \ mathbb {R} ^{m}, \ quad {\ vec {y}} (i) \ in \ mathbb {R} ^{n}, \ quad i, j = 1, \ dots, N_ { x, y}.}

Na rozdíl od křížových rekurentních grafů porovnávají společné rekurentní grafy současný výskyt recidiv ve dvou (nebo více) systémech. Navíc rozměr uvažovaných fázových prostorů může být odlišný, ale počet uvažovaných stavů musí být stejný pro všechny subsystémy. K detekci fázové synchronizace lze použít společné recidivy .

Příklad

Graf opakování indexu jižní oscilace .

Viz také

Poincaré zápletka
Hustota entropie periody opakování , informačně teoretická metoda pro shrnutí rekurentních vlastností deterministických i stochastických dynamických systémů.
Analýza kvantifikace opakování , heuristický přístup ke kvantifikaci opakujících se grafů.
Matice vlastní podobnosti
Tečkový graf (bioinformatika)

Reference

JP Eckmann, SO Kamphorst, D. Ruelle (1987). „Opakované grafy dynamických systémů“. Europhysics Letters . 5 (9): 973–977. Bibcode : 1987EL ...... 4..973E . doi : 10,1209/0295-5075/4/9/004 .Správa CS1: více jmen: seznam autorů ( odkaz )
N. Marwan; MC Romano; M. Thiel; J. Kurths (2007). „Opakované zápletky pro analýzu komplexních systémů“. Zprávy z fyziky . 438 (5–6): 237. Bibcode : 2007PhR ... 438..237M . doi : 10,1016/j.physrep.2006.11.001 .
N. Marwan (2008). „Historický přehled opakujících se zápletek“ . European Physical Journal ST . 164 (1): 3–12. arXiv : 1709.09971 . Bibcode : 2008EPJST.164 .... 3M . doi : 10,1140/epjst/e2008-00829-1 .

Languages

In other projects