Ismétlődési terv - Recurrence plot

A leíró statisztikákban és a káoszelméletben a visszatérő diagram ( RP ) olyan diagram, amely minden egyes i pillanatban megmutatja azokat az időket, amikor egy fázistér -pálya nagyjából ugyanazt a területet látogatja meg a fázistérben, mint a j időpontban . Más szóval, ez egy grafikon

${\ displaystyle {\ vec {x}} (i) \ kb {\ vec {x}} (j),}$

mutatja a vízszintes tengelyen, és a függőleges tengelyen, ahol egy fázis tér pályáját. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

Háttér

A természetes folyamatok különálló visszatérő viselkedést mutathatnak, például periodicitások ( szezonális vagy Milankovich -ciklusok ), de szabálytalan ciklusok is (például El Niño déli oszcillációja). Sőt, az újabb államok, az azt jelenti, hogy az államok ismét tetszőlegesen közel egy idő után a divergencia , alapvető tulajdonsága determinisztikus dinamikus rendszerek és jellemző lineáris vagy kaotikus rendszerek (vö Poincaré kiújulás tétel ). Az állapotok természetben való megismétlődése régóta ismert, és a korai munkában is szó volt róla (pl. Henri Poincaré 1890).

Részletes leírás

Eckmann és mtsai. (1987) ismétlődő ábrákat vezettek be, amelyek lehetőséget biztosítanak egy pálya periodikus jellegének vizualizálására egy fázistéren keresztül . Gyakran előfordul, hogy a fázistér nem rendelkezik elég alacsony dimenzióval (kettő vagy három) a képen, mivel a magasabb dimenziós fázisterek csak a két- vagy háromdimenziós alterekbe vetítéssel jeleníthetők meg. Azonban az ismétlődés ábrázolása lehetővé teszi számunkra, hogy kétdimenziós ábrázoláson keresztül megvizsgáljuk az m -dimenziós fázistér pályájának egyes aspektusait .

Az ismétlődés az az időszak, amikor a pálya visszatér egy korábban meglátogatott helyre. Az ismétlődő cselekmény ábrázolja a gyűjtemény pár alkalommal, amikor a pálya ugyanazon a helyen, vagyis a beállított és . A cselekmény elkészítéséhez a folyamatos időt és a folytonos fázisteret diszkretizálják, például a pálya helyét tekintve az adott időben, és ismétlődőnek számítva, amikor a pálya kellően közel kerül (mondjuk belül ) ahhoz a ponthoz, ahol korábban volt. ${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle {\ vec {x}} (i) = {\ vec {x}} (j)}$${\ displaystyle {\ vec {x}} (i)}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

Működési szempontból a rajzot a következőképpen rajzolják meg:

(a) Egy bizonyos időablakot választanak, ahol bármely két egymást követő időlépést elválaszt az időintervallum , és ahol a rendszer állapotát rögzítik minden egyes lépéshez, így összegyűjtve a pályát . ${\ displaystyle {\ vec {w}} = <t_ {1}, t_ {2}, ..., t_ {T}>}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle {\ vec {x}} (t)}$${\ displaystyle \ mathbf {X} = <{\ vec {x}} (t_ {1}), {\ vec {x}} (t_ {2}), ..., {\ vec {x}} ( t_ {T})>}$

(b) Létrejön egy 2D-s diagram, ahol az x tengely és az y tengely egyaránt jelent , és egy-egy apró négyzetrácsot képez, oldalméréssel${\ displaystyle {\ vec {w}}}$${\ displaystyle T \ times T}$${\ displaystyle \ delta}$

(c) Az adatok alapján bináris elemekből álló mátrixot számítanak ki, amely a bináris függvényen keresztül rögzíti az értékek ismétlődését/nem ismétlődését : ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {R}}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

${\ displaystyle R (i, j) = {\ begin {case} 1 & {\ text {if}} \ quad \ | {\ vec {x}} (i)-{\ vec {x}} (j) \ | \ leq \ varepsilon \\ 0 & {\ text {egyébként}}, \ end {tokok}}}$

hol . ${\ displaystyle i, j \ in \ {t_ {1}, t_ {2}, ..., t_ {T} \}}$

(d) Az ismétlődési diagram ezután a rács fekete kis négyzetével vizualizálja az if koordinátákat , és egy fehér kis négyzetet, ha . ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle R (i, j) = 1}$${\ displaystyle R (i, j) = 0}$

Az ismétlődő diagram vizuális megjelenése utal a rendszer dinamikájára. A fázistér-pálya jellegzetes viselkedése miatt a visszatérő ábrák tipikus kis léptékű struktúrákat tartalmaznak, mint egyes pontok, átlós vonalak és függőleges/vízszintes vonalak (vagy az utóbbiak keveréke, amely kiterjedt klaszterekre egyesül). A nagyméretű szerkezet, amelyet textúrának is neveznek , vizuálisan homogén , periodikus , sodródással vagy megzavarással jellemezhető . Például a diagram megmutathatja, hogy a pálya szigorúan periodikus -e periódussal , akkor az összes ilyen időpárt többszörösével választjuk el, és átlós vonalakként láthatók. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$

Tipikus példák az ismétlődő ábrákra (felső sor: idősor (idővel ábrázolva); alsó sor: megfelelő ismétlődési ábrák). Balról jobbra: korrelálatlan sztochasztikus adatok ( fehér zaj ), harmonikus oszcilláció két frekvenciával, kaotikus adatok ( logisztikai térkép ) lineáris trenddel és automatikus regresszív folyamat adatai .

Az RP -k kis léptékű struktúráit használja az ismétlődési mennyiségi elemzés (Zbilut & Webber 1992; Marwan et al. 2002). Ez a számszerűsítés lehetővé teszi számunkra az RP -k kvantitatív leírását, valamint a rendszer átmeneteinek vagy nemlineáris paramétereinek tanulmányozását. Ezzel szemben a heurisztikus megközelítés a kiújulás mennyiségi elemzés, amely függ a választás a beágyazó paraméterek bizonyos dinamikai invariáns a korrelációs dimenzió , K2 entrópia vagy a kölcsönös tájékoztatás , amelyek függetlenek a beágyazás is származhat kiújulásának parcellákon. Ezeknek a dinamikus invariánsoknak az alapja az ismétlődési arány és az átlós vonalak hosszának eloszlása.

A közeli visszatérési ábrák hasonlóak a visszatérő ábrákhoz. A különbség az, hogy az ismétlődések közötti relatív időt használják az -axis -ra (az abszolút idő helyett). ${\ displaystyle y}$

Az ismétlődő ábrák fő előnye, hogy hasznos információkat szolgáltatnak még a rövid és nem stacionárius adatokhoz is, ahol más módszerek sikertelenek.

Bővítmények

A visszatérő ábrák többváltozós kiterjesztéseit kereszt -visszatérő és közös ismétlődési ábrákként fejlesztették ki .

A kereszt -visszatérő ábrák két különböző rendszer fázistér -pályáját veszik figyelembe ugyanabban a fázistérben (Marwan & Kurths 2002):

${\ displaystyle \ mathbf {CR} (i, j) = \ Theta (\ varepsilon -\ | {\ vec {x}} (i) -{\ vec {y}} (j) \ |), \ quad { \ vec {x}} (i), \, {\ vec {y}} (i) \ in \ mathbb {R} ^{m}, \ quad i = 1, \ pöttyök, N_ {x}, \ j = 1, \ pont, N_ {y}.}$

Mindkét rendszer dimenziójának azonosnak kell lennie, de a figyelembe vett állapotok száma (azaz az adatok hossza) eltérő lehet. A kereszt -ismétlődési ábrák két rendszer hasonló állapotainak előfordulását hasonlítják össze . Használhatók két különböző rendszer dinamikus evolúciójának hasonlóságának elemzésére, két egyezési mintázat keresésére két rendszerben, vagy két hasonló rendszer időkapcsolatának tanulmányozására, amelyek időskálája eltér (Marwan & Kurths 2005).

A közös visszatérési ábrák a figyelembe vett alrendszerek ismétlődési ábráinak Hadamard-szorzatai (Romano et al. 2004), pl. Két rendszer esetében, és a közös ismétlődési diagram ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle {\ vec {y}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {JR} (i, j) = \ Theta (\ varepsilon _ {x}-\ | {\ vec {x}} (i)-{\ vec {x}} (j) \ |) \ cdot \ Theta (\ varepsilon _ {y}-\ | {\ vec {y}} (i)-{\ vec {y}} (j) \ |), \ quad {\ vec {x}} (i ) \ in \ mathbb {R} ^{m}, \ quad {\ vec {y}} (i) \ in \ mathbb {R} ^{n}, \ quad i, j = 1, \ pöttyök, N_ { x, y}.}$

A kereszt -ismétlődési ábrákkal ellentétben az ízületi ismétlődési ábrák két (vagy több) rendszerben hasonlítják össze az ismétlődések egyidejű előfordulását . Ezenkívül a figyelembe vett fázisterek mérete eltérő lehet, de a figyelembe vett állapotok számának azonosnak kell lennie minden alrendszer esetében. A fázisszinkronizálás kimutatására közös ismétlődési ábrák használhatók .

Példa

A déli oszcillációs index ismétlődési görbéje .

Lásd még

• Poincaré cselekmény
• Ismétlődési periódus sűrűség entrópia , információelméleti módszer mind a determinisztikus, mind a sztochasztikus dinamikus rendszerek visszatérési tulajdonságainak összegzésére.
• Ismétlődési kvantitatív elemzés , heurisztikus megközelítés az ismétlődési ábrák számszerűsítésére.
• Ön-hasonlósági mátrix
• Pontozás (bioinformatika)

Hivatkozások

• JP Eckmann, SO Kamphorst, D. Ruelle (1987). "Dinamikus rendszerek ismétlődési ábrái". Europhysics Levelek . 5 (9): 973–977. Bibcode : 1987EL ...... 4..973E . doi : 10.1209/0295-5075/4/9/004 .CS1 maint: több név: szerzői lista ( link )
• N. Marwan; MC Romano; M. Thiel; J. Kurths (2007). "Ismétlődési diagramok komplex rendszerek elemzéséhez". Fizikai jelentések . 438 (5-6): 237. Bibcode : 2007PhR ... 438..237M . doi : 10.1016/j.physrep.2006.11.001 .
• N. Marwan (2008). "Történelmi áttekintés az ismétlődő cselekményekről" . European Physical Journal ST . 164. (1): 3–12. arXiv : 1709.09971 . Bibcode : 2008EPJST.164 .... 3M . doi : 10.1140/epjst/e2008-00829-1 .

Külső linkek

• Ismétlődés
• Sci témák