Återkommande tomt - Recurrence plot

I beskrivande statistik och kaosteori , en återkommande kurva ( RP är) ett diagram som visar, för varje ögonblick i i tid, de tider vid vilka en fasrummet bana besök ungefär samma area i fasrummet som vid tiden j . Med andra ord är det en graf över

${\ displaystyle {\ vec {x}} (i) \ approx {\ vec {x}} (j),}$

visar på en horisontell axel och på en vertikal axel, där är en fasrymdbana. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

Bakgrund

Naturliga processer kan ha ett tydligt återkommande beteende, t.ex. periodiciteter (som säsongs- eller Milankovich -cykler ), men också oregelbundna cykliciteter (som El Niño Southern Oscillation). Dessutom är återfall av stater, i den meningen att stater återigen godtyckligt är nära efter en viss tids divergens , en grundläggande egenskap hos deterministiska dynamiska system och är typisk för olinjära eller kaotiska system (jfr Poincaré återkommande teorem ). Återkommande av tillstånd i naturen har varit känt länge och har också diskuterats i tidiga arbeten (t.ex. Henri Poincaré 1890).

Detaljerad beskrivning

Eckmann et al. (1987) introducerade återkommande tomter, som ger ett sätt att visualisera banans periodiska karaktär genom ett fasutrymme . Ofta har fasutrymmet inte en tillräckligt låg dimension (två eller tre) för att kunna avbildas, eftersom högre dimensionella fasutrymmen bara kan visualiseras genom projektion i de två eller tredimensionella delrummen. Men genom att göra en återkommande tomt kan vi undersöka vissa aspekter av m -dimensionella fasrumsbanan genom en tvådimensionell representation.

En återkommande är en tid som banan återvänder till en plats som den har besökt tidigare. Upprepningsdiagrammet visar samlingen av tidspar då banan är på samma plats, dvs uppsättningen med . För att göra tomten diskretiseras kontinuerlig tid och kontinuerligt fasutrymme, t.ex. som platsen för banan vid tidpunkten och räknas som ett återkommande varje gång banan kommer tillräckligt nära (säg inom ) till en punkt som den har varit tidigare. ${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle {\ vec {x}} (i) = {\ vec {x}} (j)}$${\ displaystyle {\ vec {x}} (i)}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

Operativt ritas ritningen enligt följande:

(a) Ett visst tidsfönster väljs där två på varandra följande tidssteg separeras med tidsintervallet , och där systemets tillstånd registreras för varje tidssteg, och därmed samlar banan . ${\ displaystyle {\ vec {w}} = <t_ {1}, t_ {2}, ..., t_ {T}>}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle {\ vec {x}} (t)}$${\ displaystyle \ mathbf {X} = <{\ vec {x}} (t_ {1}), {\ vec {x}} (t_ {2}), ..., {\ vec {x}} ( t_ {T})>}$

(b) Ett 2D-diagram skapas där x-axeln och y-axeln båda rapporterar och bildar ett galler med små rutor med sidomätning${\ displaystyle {\ vec {w}}}$${\ displaystyle T \ times T}$${\ displaystyle \ delta}$

(c) Uppgifterna används för att beräkna en matris som bildas av binära element som registrerar återkommande/icke-återkommande värden genom den binära funktionen: ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {R}}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

${\ displaystyle R (i, j) = {\ begin {cases} 1 & {\ text {if}} \ quad \ | {\ vec {x}} (i)-{\ vec {x}} (j) \ | \ leq \ varepsilon \\ 0 & {\ text {annars}}, \ slut {fall}}}$

var . ${\ displaystyle i, j \ in \ {t_ {1}, t_ {2}, ..., t_ {T} \}}$

(d) Upprepningsdiagrammet visualiseras sedan med en svart liten fyrkant av gitteret vid koordinater om och en vit liten kvadrat om . ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle R (i, j) = 1}$${\ displaystyle R (i, j) = 0}$

Det visuella utseendet på en återkommande plot ger tips om systemets dynamik. Förorsakad av karakteristiskt beteende för fasrumsbanan innehåller en återkommande tomt typiska småskaliga strukturer, som enstaka prickar, diagonala linjer och vertikala/horisontella linjer (eller en blandning av den senare, som kombineras till utökade kluster). Den storskaliga strukturen, även kallad textur , kan visuellt kännetecknas av homogen , periodisk , drift eller störd . Till exempel kan tomten visa om banan är strikt periodisk med period , då kommer alla sådana par gånger att separeras med en multipel av och synliga som diagonala linjer. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$

Typiska exempel på återkommande tomter (översta raden: tidsserier (plottade över tid); nedre raden: motsvarande återkommande tomter). Från vänster till höger: okorrelerade stokastiska data ( vitt brus ), harmonisk svängning med två frekvenser, kaotiska data ( logistisk karta ) med linjär trend och data från en auto-regressiv process .

De småskaliga strukturerna i RP används av återkommande kvantifieringsanalys (Zbilut & Webber 1992; Marwan et al. 2002). Denna kvantifiering gör att vi kan beskriva RP på ett kvantitativt sätt och att studera övergångar eller olinjära parametrar i systemet. I motsats till det heuristiska tillvägagångssättet för återkommande kvantifieringsanalys, som beror på valet av inbäddningsparametrarna, kan några dynamiska invarianter som korrelationsdimension , K2 -entropi eller ömsesidig information , som är oberoende av inbäddningen, också härledas från återkommande tomter. Basen för dessa dynamiska invarianter är återfallshastigheten och fördelningen av längden på de diagonala linjerna.

Platser för nära avkastning liknar återkommande tomter. Skillnaden är att den relativa tiden mellan upprepningar används för -axeln (istället för absolut tid). ${\ displaystyle y}$

Den största fördelen med återkommande tomter är att de ger användbar information även för korta och icke-stationära data, där andra metoder misslyckas.

Tillägg

Multivariata förlängningar av återkommande tomter utvecklades som korsåterkommande tomter och gemensamma återkommande tomter .

Cross recurrence -tomter överväger fasrumsbanorna för två olika system i samma fasrum (Marwan & Kurths 2002):

${\ displaystyle \ mathbf {CR} (i, j) = \ Theta (\ varepsilon -\ | {\ vec {x}} (i) -{\ vec {y}} (j) \ |), \ quad { \ vec {x}} (i), \, {\ vec {y}} (i) \ in \ mathbb {R} ^{m}, \ quad i = 1, \ dots, N_ {x}, \ j = 1, \ punkter, N_ {y}.}$

Dimensionen för båda systemen måste vara densamma, men antalet övervägda tillstånd (dvs. datalängd) kan vara olika. Cross recurrence plots jämför förekomsten av liknande tillstånd i två system. De kan användas för att analysera likheten i den dynamiska utvecklingen mellan två olika system, för att leta efter liknande matchningsmönster i två system eller för att studera tidsförhållandet mellan två liknande system, vars tidsskala skiljer sig (Marwan & Kurths 2005).

Gemensamma återkommande tomter är Hadamard-produkten av återkommande tomter i de betraktade undersystemen (Romano et al. 2004), t.ex. för två system och den gemensamma återkommande tomten är ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle {\ vec {y}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {JR} (i, j) = \ Theta (\ varepsilon _ {x}-\ | {\ vec {x}} (i)-{\ vec {x}} (j) \ |) \ cdot \ Theta (\ varepsilon _ {y}-\ | {\ vec {y}} (i)-{\ vec {y}} (j) \ |), \ quad {\ vec {x}} (i ) \ in \ mathbb {R} ^{m}, \ quad {\ vec {y}} (i) \ in \ mathbb {R} ^{n}, \ quad i, j = 1, \ dots, N_ { x, y}.}$

Till skillnad från korsåterkommande tomter jämför gemensamma återkommande tomter den samtidiga förekomsten av återfall i två (eller flera) system. Dessutom kan dimensionen på de övervägda fasrummen vara olika, men antalet övervägda tillstånd måste vara samma för alla delsystem. Gemensamma återkommande tomter kan användas för att upptäcka fassynkronisering .

Exempel

Återkommande tomt för södra oscillationsindex .

Se även

• Poincaré tomt
• Upprepningsperiodens densitet entropi , en informationsteoretisk metod för att sammanfatta återkommande egenskaper hos både deterministiska och stokastiska dynamiska system.
• Återkommande kvantifieringsanalys , ett heuristiskt tillvägagångssätt för att kvantifiera återkommande tomter.
• Självlikhetsmatris
• Dot plot (bioinformatik)

Referenser

• JP Eckmann, SO Kamphorst, D. Ruelle (1987). "Återkommande diagram av dynamiska system". Europhysics Letters . 5 (9): 973–977. Bibcode : 1987EL ...... 4..973E . doi : 10.1209/0295-5075/4/9/004 .CS1 -underhåll: flera namn: författarlista ( länk )
• N. Marwan; MC Romano; M. Thiel; J. Kurths (2007). "Upprepningsplaner för analys av komplexa system". Fysikrapporter . 438 (5–6): 237. Bibcode : 2007PhR ... 438..237M . doi : 10.1016/j.physrep.2006.11.001 .
• N. Marwan (2008). "En historisk genomgång av återkommande tomter" . European Physical Journal ST . 164 (1): 3–12. arXiv : 1709.09971 . Bibcode : 2008EPJST.164 .... 3M . doi : 10.1140/epjst/e2008-00829-1 .

externa länkar

• Upprepning
• Sci -ämnen