Grafico di ricorrenza - Recurrence plot

Nella statistica descrittiva e nella teoria del caos , un diagramma di ricorrenza ( RP ) è un diagramma che mostra, per ogni momento i nel tempo, i tempi in cui una traiettoria dello spazio delle fasi visita all'incirca la stessa area nello spazio delle fasi del tempo j . In altre parole, è un grafico di

${\displaystyle {\vec {x}}(i)\circa {\vec {x}}(j),}$

che mostra su un asse orizzontale e su un asse verticale, dove è una traiettoria dello spazio delle fasi. ${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\vec {x}}}$

Sfondo

I processi naturali possono avere un comportamento ricorrente distinto, ad esempio periodicità (come cicli stagionali o Milankovich ), ma anche ciclicità irregolari (come El Niño Southern Oscillation). Inoltre, la ricorrenza degli stati, nel senso che gli stati tornano arbitrariamente vicini dopo un certo tempo di divergenza , è una proprietà fondamentale dei sistemi dinamici deterministici ed è tipica dei sistemi non lineari o caotici (cfr. Poincaré recurrence teorem ). La ricorrenza degli stati in natura è nota da molto tempo ed è stata discussa anche nei primi lavori (ad es. Henri Poincaré 1890).

Descrizione dettagliata

Eckmann et al. (1987) hanno introdotto i grafici di ricorrenza, che forniscono un modo per visualizzare la natura periodica di una traiettoria attraverso uno spazio delle fasi . Spesso, lo spazio delle fasi non ha una dimensione sufficientemente bassa (due o tre) per essere rappresentato, poiché gli spazi delle fasi di dimensioni superiori possono essere visualizzati solo mediante proiezione nei sottospazi bidimensionali o tridimensionali. Tuttavia, creare un grafico di ricorrenza ci consente di indagare alcuni aspetti della traiettoria nello spazio delle fasi m -dimensionale attraverso una rappresentazione bidimensionale.

Una ricorrenza è un momento in cui la traiettoria ritorna in una posizione che ha già visitato. Il grafico della ricorrenza rappresenta l'insieme di coppie di tempi in cui la traiettoria si trova nello stesso luogo, ovvero l'insieme di con . Per fare il grafico, il tempo continuo e lo spazio delle fasi continuo vengono discretizzati, prendendo ad esempio la posizione della traiettoria al tempo e contando come una ricorrenza ogni volta che la traiettoria si avvicina sufficientemente (diciamo, entro ) a un punto in cui è stata precedentemente. ${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle {\vec {x}}(i)={\vec {x}}(j)}$${\displaystyle {\vec {x}}(i)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \varepsilon}$

Operativamente la trama è disegnata come segue:

(a) Viene scelta una certa finestra temporale in cui due fasi temporali successive sono separate dall'intervallo di tempo , e dove lo stato del sistema viene registrato per ciascuna fase temporale, raccogliendo così la traiettoria . ${\displaystyle {\vec {w}}=<t_{1},t_{2},...,t_{T}>}$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$${\displaystyle \mathbf {X} =<{\vec {x}}(t_{1}),{\vec {x}}(t_{2}),...,{\vec {x}}( t_{T})>}$

(b) Viene creato un grafico 2D in cui l'asse x e l'asse y riportano entrambi , formando un reticolo di quadratini ciascuno con misura laterale${\displaystyle {\vec {w}}}$${\displaystyle T\times T}$${\displaystyle \delta}$

(c) I dati sono utilizzati per calcolare una matrice formata da elementi binari che registrano la ricorrenza/non ricorrenza dei valori tramite la funzione binaria: ${\displaystyle \mathbf {X}}$${\displaystyle \mathbf {R}}$${\displaystyle {\vec {x}}}$

${\displaystyle R(i,j)={\begin{casi}1&{\text{se}}\quad \|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\ |\leq \varepsilon \\0&{\text{altrimenti}},\end{casi}}}$

dove . ${\displaystyle i,j\in \{t_{1},t_{2},...,t_{T}\}}$

(d) Il grafico della ricorrenza viene quindi visualizzato con un quadratino nero del reticolo alle coordinate se , e un quadratino bianco se . ${\displaystyle \mathbf {R}}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle R(i,j)=1}$${\displaystyle R(i,j)=0}$

L'aspetto visivo di un diagramma di ricorrenza fornisce suggerimenti sulla dinamica del sistema. Causato dal comportamento caratteristico della traiettoria dello spazio delle fasi, un diagramma di ricorrenza contiene strutture tipiche a piccola scala, come punti singoli, linee diagonali e linee verticali/orizzontali (o una miscela di queste ultime, che si combinano in cluster estesi). La struttura su larga scala, detta anche tessitura , può essere visivamente caratterizzata da omogeneità , periodicità , deriva o disgregazione . Ad esempio, il grafico può mostrare se la traiettoria è strettamente periodica con periodo , quindi tutte queste coppie di tempi saranno separate da un multiplo di e visibili come linee diagonali. ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

Esempi tipici di grafici di ricorrenza (riga in alto: serie temporali (tracciate nel tempo); riga in basso: grafici di ricorrenza corrispondenti). Da sinistra a destra: dati stocastici non correlati ( rumore bianco ), oscillazione armonica a due frequenze, dati caotici ( mappa logistica ) con andamento lineare e dati di un processo autoregressivo .

Le strutture a piccola scala in RP sono utilizzate dall'analisi di quantificazione della ricorrenza (Zbilut & Webber 1992; Marwan et al. 2002). Questa quantificazione permette di descrivere gli RP in modo quantitativo e di studiare le transizioni oi parametri non lineari del sistema. Contrariamente all'approccio euristico dell'analisi di quantificazione della ricorrenza, che dipende dalla scelta dei parametri di inclusione, alcuni invarianti dinamici come la dimensione di correlazione , l' entropia K2 o l'informazione mutua , che sono indipendenti dall'incorporamento, possono anche essere derivati ​​da grafici di ricorrenza. La base per questi invarianti dinamici è il tasso di ricorrenza e la distribuzione delle lunghezze delle linee diagonali.

I grafici dei rendimenti ravvicinati sono simili ai grafici di ricorrenza. La differenza è che il tempo relativo tra le ricorrenze viene utilizzato per l' asse (invece del tempo assoluto). ${\displaystyle y}$

Il vantaggio principale dei grafici di ricorrenza è che forniscono informazioni utili anche per dati brevi e non stazionari, dove altri metodi falliscono.

Estensioni

Le estensioni multivariate dei grafici di recidiva sono state sviluppate come grafici di recidiva incrociata e grafici di recidiva articolare .

I grafici di ricorrenza incrociata considerano le traiettorie nello spazio delle fasi di due diversi sistemi nello stesso spazio delle fasi (Marwan & Kurths 2002):

${\displaystyle \mathbf {CR} (i,j)=\Theta (\varepsilon -\|{\vec {x}}(i)-{\vec {y}}(j)\|),\quad { \vec {x}}(i),\,{\vec {y}}(i)\in \mathbb {R} ^{m},\quad i=1,\dots ,N_{x},\ j =1,\punti ,N_{y}.}$

La dimensione di entrambi i sistemi deve essere la stessa, ma il numero di stati considerati (cioè la lunghezza dei dati) può essere diverso. I grafici di ricorrenza incrociata confrontano le occorrenze di stati simili di due sistemi. Possono essere utilizzati per analizzare la somiglianza dell'evoluzione dinamica tra due sistemi diversi, per cercare modelli di corrispondenza simili in due sistemi o per studiare la relazione temporale di due sistemi simili, la cui scala temporale differisce (Marwan & Kurths 2005).

I grafici di ricorrenza congiunti sono il prodotto di Hadamard dei grafici di ricorrenza dei sottosistemi considerati (Romano et al. 2004), ad esempio per due sistemi e il grafico di ricorrenza congiunto è ${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle {\vec {y}}}$

${\displaystyle \mathbf {JR} (i,j)=\Theta (\varepsilon _{x}-\|{\vec {x}}(i)-{\vec {x}}(j)\|) \cdot \Theta (\varepsilon _{y}-\|{\vec {y}}(i)-{\vec {y}}(j)\|),\quad {\vec {x}}(i )\in \mathbb {R} ^{m},\quad {\vec {y}}(i)\in \mathbb {R} ^{n},\quad i,j=1,\dots ,N_{ x,y}.}$

A differenza dei grafici di ricorrenza incrociata, i grafici di ricorrenza congiunta confrontano l'occorrenza simultanea di recidive in due (o più) sistemi. Inoltre, la dimensione degli spazi delle fasi considerati può essere diversa, ma il numero degli stati considerati deve essere lo stesso per tutti i sottosistemi. I grafici di ricorrenza congiunta possono essere utilizzati per rilevare la sincronizzazione di fase .

Esempio

Grafico di ricorrenza dell'indice di oscillazione del sud .

Guarda anche

• Trama Poincaré
• Entropia di densità del periodo di ricorrenza , un metodo teorico dell'informazione per riassumere le proprietà di ricorrenza di sistemi dinamici sia deterministici che stocastici.
• Analisi di quantificazione della ricorrenza , un approccio euristico per quantificare i grafici della ricorrenza.
• Matrice di autosomiglianza
• Dot plot (bioinformatica)

Riferimenti

• JP Eckmann, SO Kamphorst, D. Ruelle (1987). "Grafici di ricorrenza di sistemi dinamici". Lettere di Eurofisica . 5 (9): 973–977. Bibcode : 1987EL......4..973E . doi : 10.1209/0295-5075/4/9/004 .CS1 maint: più nomi: elenco autori ( link )
• N. Marwan; MC Romano; il signor Thiel; J. Kurths (2007). "Grafici di ricorrenza per l'analisi di sistemi complessi". Rapporti di fisica . 438 (5–6): 237. Bibcode : 2007PhR...438..237M . doi : 10.1016/j.physrep.2006.11.001 .
• N. Marwan (2008). "Una rassegna storica di grafici ricorrenti" . Rivista europea di fisica ST . 164 (1): 3-12. arXiv : 1709.09971 . Bibcode : 2008EPJST.164....3M . doi : 10.1140/epjst/e2008-00829-1 .

link esterno

• ricorrenza
• Argomenti di fantascienza