D- modul - D-module

I matematik är en D- modul en modul över en ring D av differentiella operatörer . Huvudintresset för sådana D- moduler är ett tillvägagångssätt för teorin om linjära partiella differentialekvationer . Sedan omkring 1970, D har -modul teori byggts upp, främst som ett svar på de idéer Mikio Sato på algebraiska analys , och expandera på arbetet av Sato och Joseph Bernstein på Bernstein-Sato polynom .

Tidiga viktiga resultat var Kashiwara konstruktibilitetssats och Kashiwara indexsats av Masaki Kashiwara . Metoderna för D- modulteori har alltid hämtats från kavteori och andra tekniker med inspiration från Alexander Grothendiecks arbete i algebraisk geometri . Tillvägagångssättet är globalt och skiljer sig från de funktionella analystekniker som traditionellt används för att studera differentiella operatörer. De starkaste resultaten erhålls för överbestämda system ( holonomiska system ) och för den karakteristiska sort som skärs ut av symboler , i det goda fallet för vilket det är ett lagrangiskt undermanifold av det cotangenta paketet med maximal dimension ( involutiva system ). Teknikerna togs upp från sidan av Grothendieck-skolan av Zoghman Mebkhout , som fick en allmän, härledd kategoriversion av korrespondensen Riemann – Hilbert i alla dimensioner.

Inledning: moduler över Weyl-algebra

Det första fallet av algebraiska D -Moduler är moduler över Weyl algebra A _n ( K ) över en fält K av karakteristisk noll. Det är algebra som består av polynom i följande variabler

x ₁ , ..., x _n , ∂ ₁ , ..., ∂ _n .

där variablerna x _i och ∂ _j pendlar separat med varandra, och x _i och ∂ _j pendlar för i ≠ j , men kommutatorn uppfyller förhållandet

[∂ _i , x _i ] = ∂ _i x _i - x _i ∂ _i = 1.

För alla polynom f ( x ₁ , ..., x _n ) innebär detta förhållandet

[∂ _i , f ] = ∂ f / ∂ x _i ,

därigenom relaterar Weyl-algebra till differentiella ekvationer.

En (algebraisk) D -modul är, per definition, en vänstermodul över ringen A _n ( K ). Exempel på D- moduler inkluderar Weyl-algebra själv (verkar på sig själv genom vänstermultiplikation), (kommutativ) polynomring K [ x ₁ , ..., x _n ], där x _i verkar genom multiplikation och ∂ _j verkar genom partiell differentiering med avseende på x _j och, i en liknande riktning, ringen av holomorfiska funktioner på C ⁿ (funktioner av n komplexa variabler.) ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (\ mathbf {C} ^ {n})}$

Med tanke på någon differentiell operator P = a _n ( x ) ∂ ⁿ + ... + a ₁ ( x ) ∂ ¹ + a ₀ ( x ), där x är en komplex variabel, en _i ( x ) är polynom, kvotmodulen M = A ₁ ( C ) / A ₁ ( C ) P är nära kopplat till utrymmet för lösningar av differentialekvationen

P f = 0,

där f är någon holomorf funktion i C , säg. Vektorutrymmet som består av lösningarna i den ekvationen ges av utrymmet för homomorfismer av D- moduler . ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (M, {\ mathcal {O}} (\ mathbf {C}))}$

D- moduler på algebraiska sorter

Den allmänna teorin för D -Moduler utvecklas på en slät algebraisk varietet X definierad över ett algebraiskt sluten fält K av karakteristisk noll, såsom K = C . Den bunt av differentialoperatorer D _X definieras att vara den O _X -algebra genereras av vektorfält på X , tolkas som härledningar . A (vänster) D _X- modul M är en O _X- modul med en vänster verkan av D _X på den. Att ge en sådan åtgärd motsvarar att ange en K- linjär karta

${\ displaystyle \ nabla: D_ {X} \ rightarrow \ operatorname {End} _ {K} (M), v \ mapsto \ nabla _ {v}}$

tillfredsställande

${\ displaystyle \ nabla _ {fv} (m) = f \, \ nabla _ {v} (m)}$

${\ displaystyle \ nabla _ {v} (fm) = v (f) m + f \, \ nabla _ {v} (m)}$ ( Leibniz-regeln )

${\ displaystyle \ nabla _ {[v, w]} (m) = [\ nabla _ {v}, \ nabla _ {w}] (m)}$

Här är f en vanlig funktion på X , v och w är vektorfält, m en lokal sektion av M , [-, -] betecknar kommutatorn . Därför, om M är utöver en lokalt fri O _X -modul, vilket ger M en D -modul struktur är ingenting annat än att utrusta vektorknippe associerade till M med en platt (eller integrerbar) anslutning .

Eftersom ringen D _X är icke- kommutativ måste vänster och höger D- moduler urskiljas. De två begreppen kan emellertid utbytas, eftersom det finns en ekvivalens av kategorier mellan båda typerna av moduler, ges genom att mappa en vänster modul M till tensorprodukten M ⊗ Ω _X , där Ω _X är linjebunten som ges av det högsta yttre effekt av differential 1-former på X . Denna bunt har en naturlig rätt handling som bestäms av

ω ⋅ v  : = - Lie _v (ω),

där v är en differentiell operator av ordning ett, det vill säga ett vektorfält,, en n- form ( n = dim X ), och Lie betecknar Lie-derivatet .

Lokalt, efter att ha valt något koordinatsystem x ₁ , ..., x _n ( n = dim X ) på X , som bestämmer en bas ... ₁ , ..., ∂ _n för tangentutrymmet för X , sektioner av D _X kan representeras unikt som uttryck

${\ displaystyle \ sum f_ {i_ {1}, \ dots, i_ {n}} \ partial _ {1} ^ {i_ {1}} \ cdots \ partial _ {n} ^ {i_ {n}}}$ Där är vanliga funktioner på X . ${\ displaystyle f_ {i_ {1}, \ dots, i_ {n}}}$

I synnerhet, när X är den n -dimensionella affin utrymme , denna D _X är Weyl algebra i n variabler.

Många grundläggande egenskaper hos D- moduler är lokala och parallella med sammanhängande skivor . Detta bygger på det faktum att D _X är en lokalt fritt bunt av O _X -Moduler, om än av oändlig rang, såsom den ovannämnda O _X -basis visar. En D _X- modul som är koherent som en O _X- modul kan visas vara nödvändigtvis lokalt fri (av ändlig rang).

Functoriality

D- moduler på olika algebraiska sorter är anslutna med pullback- och push-forward-funktioner som är jämförbara med de för sammanhängande skivor. För en karta f : X → Y för släta sorter är definitionerna följande:

D _{X → Y}  : = O _X ⊗ _{f ⁻¹ ( O Y )} f ⁻¹ ( D _Y )

Detta är utrustat med en vänster D _X- åtgärd på ett sätt som emulerar kedjeregeln och med den naturliga högra verkan av f ⁻¹ ( D _Y ). Återbetalningen definieras som

f ^∗ ( M ): = D _{X → Y} ⊗ _{f ⁻¹ ( D Y )} f ⁻¹ ( M ).

Här M är en vänster D _Y -modulen, medan dess tillbakadragande är en vänster modulen över X . Denna funktion är rätt exakt , dess vänster härledda funktion är betecknad L f ^∗ . Omvänt, för en rätt D _X- modul N ,

f _∗ ( N ): = f _∗ ( N ⊗ _{D X} D _{X → Y} )

är en rätt D _Y- modul. Eftersom detta blandar rätt exakt tensorprodukt med vänster exakt framåt är det vanligt att ställa in istället

f _∗ ( N ): = R f _∗ ( N ⊗ ^L _{D X} D _{X → Y} ).

På grund av detta utvecklas mycket av teorin om D- moduler med användning av den fulla effekten av homologisk algebra , särskilt härledda kategorier .

Holonomiska moduler

Holonomiska moduler över Weyl-algebra

Det kan visas att Weyl-algebra är en (vänster och höger) noeterisk ring . Dessutom är det enkelt , det vill säga, dess enda dubbelsidiga ideal är nollidealet och hela ringen. Dessa egenskaper gör studien av D- moduler hanterbar. Noterbart är att standarduppfattningar från kommutativ algebra som Hilbert polynom , mångfald och längd på moduler överförs till D- moduler. Mer exakt, D _X är utrustad med den Bernstein filtrering , det vill säga den filtreringen så att F ^p A _n ( K ) består av K -linear kombinationer av differentialoperatorer x ^a på ∂ ^p med | α | + | β | ≤  p (med multiindexnotation ). Den associerade graderade ringen ses vara isomorf mot polynomringen i 2 n obestämda. I synnerhet är det kommutativt.

Fint genererade D- moduler M är utrustade med så kallade "bra" filtreringar F ^∗ M , vilka är kompatibla med F ^∗ A _n ( K ), väsentligen parallella med situationen för Artin – Rees-lemma . Hilbert-polynomet definieras som det numeriska polynom som överensstämmer med funktionen

n ↦ dim _K F ⁿ M

för stora n . Dimensionen d ( M ) av en A _n ( K ) -modul M definieras som graden av Hilbert polynomet. Det begränsas av Bernsteins ojämlikhet

n ≤ d ( M ) ≤ 2 n .

En modul vars dimension uppnår minst möjliga värde, n , kallas holonomisk .

Den A ₁ ( K ) -modul M = A _en ( K ) / A ₁ ( K ) P (se ovan) är holonomic för något skild från noll differentialoperator P , men ett liknande krav för högre dimensionella Weyl algebror håller inte.

Allmän definition

Som nämnts ovan motsvarar moduler över Weyl-algebra D- moduler på affinutrymme. Bernstein-filtreringen är inte tillgänglig på D _X för allmänna sorter X , definitionen generaliseras till godtyckliga affina släta sorter X med hjälp av ordningsfiltrering på D _X , definierad av ordningen av differentiella operatörer . Den tillhörande graderade ringen gr D _X ges av vanliga funktioner på cotangens knippet T ^* X .

Den karakteristiska sort definieras att vara den subvariety av cotangens knippet skärs ut av radikalen av annihilator av gr M , där återigen M är utrustad med en lämplig filtrering (med avseende på den ordning filtrering på D _X ). Som vanligt limer affinekonstruktionen på godtyckliga sorter.

Bernstein ojämlikhet fortsätter att hålla för alla (jämn) variation X . Medan den övre gränsen är en omedelbar följd av ovanstående tolkning av gr D _X i termer av den cotangenta bunten, är den nedre gränsen mer subtil.

Egenskaper och karakteriseringar

Holonomiska moduler har en tendens att bete sig som ändliga dimensionella vektorrymden. Till exempel är deras längd ändlig. Också, M är holonomic om och endast om alla Snittkohomologi grupper av den komplexa L i ^* ( M ) är ändliga-dimensionella K -vector utrymmen, där jag är den slutna nedsänkning av vilken som helst punkt av X .

För varje D- modul M definieras den dubbla modulen av

${\ displaystyle \ mathrm {D} (M): = {\ mathcal {R}} \ operatorname {Hom} (M, D_ {X}) \ otimes \ Omega _ {X} ^ {- 1} [\ dim X ].}$

Holonomiska moduler kan också kännetecknas av ett homologiskt tillstånd: M är holonomiskt om och endast om D ( M ) är koncentrerad (ses som ett objekt i den härledda kategorin av D- moduler) i grad 0. Detta faktum är en första glimt av Verdier dualitet och korrespondensen Riemann – Hilbert . Det är bevisat genom att förlänga homological studien av regelbundna ringar (särskilt vad avser den globala homological dimension ) till den filtrerade ringen D _X .

En annan karaktärisering av holonomiska moduler är via symplektisk geometri . Den karakteristiska variation Ch ( M ) om varje D -modul M är, ses som en subvariety av cotangens knippet T ^* X av X , en involutive sort. Modulen är holonomisk om och endast om Ch ( M ) är Lagrangian .

Applikationer

En av de tidiga tillämpningarna av holonomiska D- moduler var polynom Bernstein – Sato .

Gissningar från Kazhdan – Lusztig

Den Kazhdan-Lusztig förmodanden bevisades med hjälp av D -Moduler.

Riemann – Hilbert korrespondens

Den Riemann-Hilbert korrespondens upprättar ett samband mellan vissa D -Moduler och constructible kärvar. Som sådan gav den en motivation för att införa perversa skivor .

Teori för geometrisk representation

D- moduler används också i geometrisk representationsteori . Ett huvudresultat inom detta område är lokaliseringen Beilinson – Bernstein . Den hänför D -Moduler på flagg sorter G / B till representationer av liealgebra av en reduktiv grupp G . D- moduler är också avgörande för formuleringen av det geometriska Langlands-programmet . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Referenser

• Beilinson, AA ; Bernstein, Joseph (1981), "Localization de g -modules", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 292 (1): 15–18, ISSN   0249-6291 , MR   0610137
• Björk, J.-E. (1979), Ringar av differentiella operatörer , North-Holland Mathematical Library, 21 , Amsterdam: North-Holland, ISBN   978-0-444-85292-2 , MR   0549189
• Brylinski, Jean-Luc; Kashiwara, Masaki (1981), "Kazhdan – Lusztig-antaganden och holonomiska system", Inventiones Mathematicae , 64 (3): 387–410, doi : 10.1007 / BF01389272 , ISSN   0020-9910 , MR   0632980
• Coutinho, SC (1995), En primer av algebraiska D- moduler , London Mathematical Society Student Texts, 33 , Cambridge University Press , ISBN   978-0-521-55119-9 , MR   1356713
• Borel, Armand , red. (1987), Algebraic D-Modules , Perspectives in Mathematics, 2 , Boston, MA: Academic Press , ISBN   978-0-12-117740-9
• MGM van Doorn (2001) [1994], "D-module" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Hotta, Ryoshi; Takeuchi, Kiyoshi; Tanisaki, Toshiyuki (2008), D- moduler, perversa skivor och representationsteori (PDF) , Progress in Mathematics, 236 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN   978-0-8176-4363-8 , MR   2357361 , arkiverad från originalet (PDF) 2016-03-03 , hämtad 2009-12-10

externa länkar

• Bernstein, Joseph , algebraisk teori om D- moduler (PDF)
• Gaitsgory, Dennis, Lectures on Geometric Representation Theory (PDF) , arkiverad från originalet (PDF) 2015-03-26 , hämtad 2011-12-14
• Milicic, Dragan, Föreläsningar om den algebraiska teorin om D- moduler