Kommutativ algebra - Commutative algebra

Ett vykort från 1915 från en av pionjärerna inom kommutativ algebra, Emmy Noether , till E. Fischer, som diskuterar hennes arbete inom kommutativ algebra.

Kommutativ algebra är den gren av algebra som studerar kommutativa ringar , deras ideal och moduler över sådana ringar. Både algebraisk geometri och algebraisk talteori bygger på kommutativ algebra. Framträdande exempel på kommutativa ringar inkluderar polynomringar ; ringar av algebraiska heltal , inklusive vanliga heltal ; och p -adiska heltal . ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Kommutativ algebra är det huvudsakliga tekniska verktyget i den lokala studien av scheman .

Studiet av ringar som inte nödvändigtvis är kommutativa kallas icke -kommutativ algebra ; den inkluderar ringteori , representationsteori och teorin om Banach -algebra .

Översikt

Kommutativ algebra är i huvudsak studiet av ringarna som förekommer i algebraisk talteori och algebraisk geometri .

I algebraisk talteori, ringarna av algebraiska heltal är Dedekind ringar , som utgör därför en viktig klass av kommutativ ring. Överväganden relaterade till modulär aritmetik har lett till tanken på en värderingsring . Begränsningen av algebraiska fältförlängningar till subrings har lett till föreställningarna om integrerade förlängningar och integrerat slutna domäner samt begreppet förgrening av en förlängning av värderingsringar.

Begreppet lokalisering av en ring (särskilt lokalisering med avseende på ett främsta ideal , lokaliseringen som består i att invertera ett enda element och den totala kvotringen ) är en av de viktigaste skillnaderna mellan kommutativ algebra och teorin om icke-kommutativa ringar . Det leder till en viktig klass av kommutativa ringar, de lokala ringarna som bara har ett maximalt ideal . Uppsättningen av de främsta idealen för en kommutativ ring är naturligtvis utrustad med en topologi , Zariski -topologin . Alla dessa begrepp används i stor utsträckning inom algebraisk geometri och är de grundläggande tekniska verktygen för definitionen av schemateori , en generalisering av algebraisk geometri introducerad av Grothendieck .

Många andra föreställningar om kommutativ algebra är motsvarigheter till geometriska föreställningar som förekommer i algebraisk geometri. Detta är fallet med Krull -dimension , primär sönderdelning , vanliga ringar , Cohen – Macaulay -ringar , Gorenstein -ringar och många andra föreställningar.

Historia

Ämnet, först känt som idealteori , började med Richard Dedekinds arbete med ideal , baserat på det tidigare arbetet av Ernst Kummer och Leopold Kronecker . Senare introducerade David Hilbert termen ring för att generalisera den tidigare termen ring . Hilbert introducerade ett mer abstrakt tillvägagångssätt för att ersätta de mer konkreta och beräkningsmässigt orienterade metoderna baserade på bland annat komplex analys och klassisk invariant teori . I sin tur påverkade Hilbert starkt Emmy Noether , som omarbetade många tidigare resultat när det gäller ett stigande kedjetillstånd , nu känt som det noeteriska tillståndet. En annan viktig milstolpe var arbetet från Hilberts student Emanuel Lasker , som introducerade primära ideal och bevisade den första versionen av Lasker – Noether -satsen .

Huvudpersonen som ansvarade för att kommutativ algebra föddes som ett moget ämne var Wolfgang Krull , som introducerade de grundläggande föreställningarna om lokalisering och slutförande av en ring, liksom den för vanliga lokala ringar . Han etablerade begreppet Krull -dimensionen för en ring, först för noeteriska ringar innan han fortsatte med att utöka sin teori till att omfatta allmänna värderingsringar och Krull -ringar . Hittills anses Krulls huvudsakliga idealsats allmänt vara den enskilt viktigaste grundsatsen i kommutativ algebra. Dessa resultat banade väg för introduktionen av kommutativ algebra i algebraisk geometri, en idé som skulle revolutionera det senare ämnet.

Mycket av den moderna utvecklingen av kommutativ algebra betonar moduler . Båda idealen om en ring R och R -alger är speciella fall av R -moduler, så modulteori omfattar både idealteori och teori om ringförlängningar . Även om det redan var begynnande i Kroneckers arbete, är det moderna tillvägagångssättet för kommutativ algebra med hjälp av modulteori vanligtvis krediterat Krull och Noether .

Huvudsakliga verktyg och resultat

Noeteriska ringar

I matematik , mer specifikt inom området modern algebra som kallas ringteori , är en noeterisk ring , uppkallad efter Emmy Noether , en ring där varje icke-tom uppsättning ideal har ett maximalt element. På motsvarande sätt är en ring noeterisk om den uppfyller den stigande kedjebetingelsen på ideal; det vill säga med tanke på vilken kedja som helst:

{\ displaystyle I_ {1} \ subseteq \ cdots I_ {k-1} \ subseteq I_ {k} \ subseteq I_ {k+1} \ subseteq \ cdots}

det finns en n så att:

{\ displaystyle I_ {n} = I_ {n+1} = \ cdots}

För att en kommutativ ring ska vara noeterisk räcker det med att varje primärideal för ringen genereras slutligt. (Resultatet beror på IS Cohen .)

Tanken om en noeterisk ring är av grundläggande betydelse i både kommutativ och icke -kommutativ ringsteori, på grund av den roll den spelar för att förenkla den idealiska strukturen för en ring. Exempelvis är heltalsringen och polynomringen över ett fält båda noeteriska ringar, och följaktligen gäller sådana satser som Lasker -Noether -satsen , Krull -skärningssatsen och Hilberts grundsats för dem. Dessutom, om en ring är noeterisk, uppfyller den fallande kedjebetingelser på bästa ideal . Denna egenskap föreslår en djup dimensionsteori för noeteriska ringar som börjar med begreppet Krull -dimensionen .

Hilberts grundsats

Sats. Om R är en vänster (resp. Höger) noeterisk ring , så är polynomringen R [ X ] också en vänster (resp. Höger) noeterisk ring.

Hilberts grundsats har några omedelbara konsekvenser:

Genom induktion ser vi att det också kommer att vara noeteriskt. ${\ displaystyle R [X_ {0}, \ dotsc, X_ {n-1}]}$
Eftersom varje affin sort över (dvs. en locus-uppsättning av en samling polynom) kan skrivas som locus för ett ideal och vidare som locus för dess generatorer, följer att varje affin variant är locuset för oändligt många polynom-dvs. skärningspunkten mellan otroligt många överytor . ${\ displaystyle R^{n}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} \ delmängd R [X_ {0}, \ dotsc, X_ {n-1}]}$
Om är en slutligen genererad -algebra, då vet vi det , där är ett ideal. Grunden teoremet innebär att måste ändligt genererade, säg , det vill säga är ändligt presenteras . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle A \ simeq R [X_ {0}, \ dotsc, X_ {n-1}]/{\ mathfrak {a}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} = (p_ {0}, \ dotsc, p_ {N-1})}$ ${\ displaystyle A}$

Primär sönderdelning

En ideal Q för en ring sägs vara primär om Q är korrekt och när xy ∈ Q , antingen x ∈ Q eller y ⁿ ∈ Q för något positivt heltal n . I Z är de primära idealen just idealen i formen ( p ^e ) där p är primtal och e är ett positivt heltal. Således motsvarar en primär sönderdelning av ( n ) att representera ( n ) som skärningspunkten mellan slutligen många primära ideal.

Den Lasker-Noethers teorem , ges här, kan ses som en viss generalisering av fundamentalsats aritmetik:

Lasker-Noether sats. Låt R vara en kommutativ noethersk ring och låt jag vara ett idealiskt av R . Då kan jag skrivas som skärningspunkten mellan oändligt många primära ideal med distinkta radikaler ; det är:

${\ displaystyle I = \ bigcap _ {i = 1}^{t} Q_ {i}}$

med Q _i primär för alla i och Rad ( Q _i ) ≠ Rad ( Q _j ) för i ≠ j . Vidare, om:

${\ displaystyle I = \ bigcap _ {i = 1}^{k} P_ {i}}$

är sönderdelning av I med Rad ( P _i ) ≠ Rad ( P _j ) för i ≠ j , och båda nedbrytningarna av I är irredundanta (vilket betyder att ingen korrekt delmängd av vare sig { Q ₁ , ..., Q _t } eller { P ₁ , ..., P _k } ger en skärning som är lika med I ), t = k och (efter eventuellt omnummerering av Q _i ) Rad ( Q _i ) = Rad ( P _i ) för alla i .

För varje primär sönderdelning av I , uppsättningen av alla radikaler, det vill säga uppsättningen {Rad ( Q ₁ ), ..., Rad ( Q _t )} förblir densamma genom Lasker – Noether -satsen. I själva verket visar det sig att (för en noeterisk ring) är uppsättningen just mördaren för modulen R / I ; det vill säga uppsättningen för alla förstörare av R / I (betraktas som en modul över R ) som är primära.

Lokalisering

Den lokaliseringen är ett formellt sätt att introducera den "nämnare" till en viss ring eller en modul. Det vill säga den introducerar en ny ring/modul ur en befintlig så att den består av fraktioner

{\ displaystyle {\ frac {m} {s}}}

.

där nämnare s intervall i en given delmängd S av R . Det arketypiska exemplet är konstruktionen av ringen Q av rationella tal från ringen Z av heltal.

Komplettering

En komplettering är någon av flera relaterade funktioner på ringar och moduler som resulterar i kompletta topologiska ringar och moduler. Komplettering liknar lokalisering , och tillsammans är de bland de mest grundläggande verktygen för att analysera kommutativa ringar . Kompletta kommutativa ringar har enklare struktur än de allmänna och Hensels lemma gäller för dem.

Zariskis topologi om främsta ideal

Den zariskitopologi definierar en topologi på spektrumet av en ring (uppsättningen av primideal). I denna formulering anses de Zariski-stängda uppsättningarna vara uppsättningarna

{\ displaystyle V (I) = \ {P \ in \ operatorname {Spec} \, (A) \ mid I \ subseteq P \}}

där A är en fast kommutativ ring och jag är ett ideal. Detta definieras i analogi med den klassiska Zariski -topologin, där slutna uppsättningar i affinrum är de som definieras av polynomekvationer. För att se sambandet med den klassiska bilden, observera att för varje uppsättning S av polynom (över ett algebraiskt stängt fält) följer det från Hilberts Nullstellensatz att punkterna i V ( S ) (i gammal mening) är exakt tuplerna ( a ₁ , ..., a _n ) så att ( x ₁ - a ₁ , ..., x _n - a _n ) innehåller S ; dessutom är detta maximala ideal och med den "svaga" Nullstellensatz är idealet för alla affinska koordinatringar maximalt om och bara om det är av denna form. Sålunda, V ( S ) är "samma som" de maximala ideal innehållande S . Grothendiecks innovation för att definiera Spec var att ersätta maximala ideal med alla främsta ideal; i denna formulering är det naturligt att helt enkelt generalisera denna observation till definitionen av en sluten uppsättning i spektrumet av en ring.

Exempel

Det grundläggande exemplet i kommutativ algebra är ringen av heltal . Förekomsten av primtal och den unika faktoriseringssatsen lade grunden för begrepp som noeteriska ringar och den primära sönderdelningen . ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Andra viktiga exempel är:

Polynom ringar ${\ displaystyle R [x_ {1}, ..., x_ {n}]}$
De p-adiska heltalen
Ringar av algebraiska heltal .

Anslutningar med algebraisk geometri

Kommutativ algebra (i form av polynomringar och deras kvoter, som används i definitionen av algebraiska sorter ) har alltid varit en del av algebraisk geometri . Men i slutet av 1950 -talet ingick algebraiska sorter i Alexander Grothendiecks begrepp om ett schema . Deras lokala föremål är affinescheman eller primära spektra, som är lokalt ringade utrymmen, som bildar en kategori som är antiekvivalent (dubbel) till kategorin kommutativa enhetliga ringar, vilket sträcker sig över dualiteten mellan kategorin affin algebraiska sorter över ett fält k , och kategorin slutligt genererade reducerade k -algebra. Limningen sker längs Zariski -topologin; man kan limma inom kategorin lokalt ringade utrymmen, men också, med hjälp av Yoneda -inbäddningen, inom den mer abstrakta kategorin av förskjutningar av uppsättningar över kategorin affiniska scheman. Zariski-topologin i set-teoretisk mening ersätts sedan av en Zariski-topologi i betydelsen Grothendieck-topologi . Grothendieck introducerade Grothendieck -topologier med mer exotiska men geometriskt finare och känsligare exempel än den råa Zariski -topologin, nämligen den äkta topologin , och de två platta Grothendieck -topologierna: fppf och fpqc. Numera har några andra exempel blivit framträdande, inklusive Nisnevich -topologin . Skivor kan vidare generaliseras till stackar i betydelsen Grothendieck, vanligtvis med några ytterligare representabilitetsförhållanden, vilket leder till Artin -stackar och, ännu finare, Deligne – Mumford -stackar , båda ofta kallade algebraiska stackar.

Se även

Anteckningar

Referenser

Michael Atiyah & Ian G. Macdonald , Introduction to Commutative Algebra , Massachusetts: Addison-Wesley Publishing, 1969.
Bourbaki, Nicolas , kommutativ algebra. Kapitel 1--7 . Översatt från franska. Omtryck av 1989 års engelska översättning. Elements of Mathematics (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. xxiv+625 s. ISBN 3-540-64239-0
Bourbaki, Nicolas , Éléments de mathématique. Algèbre kommutativ. Kapitel 8 och 9 . (Element i matematik. Kommutativ algebra. Kapitel 8 och 9) Omtryck av 1983 års original. Springer, Berlin, 2006. ii+200 s. ISBN 978-3-540-33942-7
Eisenbud, David (1995). Kommutativ algebra med tanke på algebraisk geometri . Examen i matematik . 150 . New York: Springer-Verlag . xvi+785. ISBN 0-387-94268-8. MR 1322960 .
Rémi Goblot, "Algèbre commutative, cours et exercices corrigés", 2e édition, Dunod 2001, ISBN 2-10-005779-0
Ernst Kunz, "Introduktion till kommutativ algebra och algebraisk geometri", Birkhauser 1985, ISBN 0-8176-3065-1
Matsumura, Hideyuki, kommutativ algebra . Andra upplagan. Mathematics Lecture Note Series, 56. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. xv+313 s. ISBN 0-8053-7026-9
Matsumura, Hideyuki, Commutative Ring Theory . Andra upplagan. Översatt från japanska. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge, Storbritannien: Cambridge University Press, 1989. ISBN 0-521-36764-6
Nagata, Masayoshi , Lokala ringar . Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, nr 13. Interscience Publishers en avdelning av John Wiley and Sons, New York-London 1962 xiii+234 s.
Miles Reid, Commutative Algebra (London Mathematical Society Student Texts) , Cambridge, Storbritannien: Cambridge University Press, 1996.
Jean-Pierre Serre , lokal algebra . Översatt från franska av CheeWhye Chin och reviderat av författaren. (Originaltitel: Algèbre locale, multiplicités ) Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2000. xiv+128 s. ISBN 3-540-66641-9
Sharp, RY, Steg i kommutativ algebra . Andra upplagan. London Mathematical Society Student Texts, 51. Cambridge University Press, Cambridge, 2000. xii+355 s. ISBN 0-521-64623-5
Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre , kommutativ algebra . Vol. 1, 2. I samarbete med IS Cohen. Korrigerad omtryck av 1958, 1960 års upplaga. Graduate Texts in Mathematics, nr 28, 29. Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1975.

Languages

In other projects