D- moduuli - D-module

On matematiikka , joka on D -moduulista on moduuli yli rengas D on differentiaalioperaattori . Tällaisten D- moduulien suurin kiinnostus on lähestymistapa lineaaristen osittaisten differentiaaliyhtälöiden teoriaan . Koska noin 1970, D -moduulista teoria on rakennettu pääasiassa vastauksena ajatuksia Mikio Sato on algebrallinen analyysiin , ja laajentamalla työhön Sato ja Joseph Bernstein on Bernstein-Sato polynomin .

Varhainen merkittäviä tuloksia olivat Kashiwara constructibility lauseen ja Kashiwara indeksi lause, ja Masaki Kashiwara . Menetelmät D -moduulista teorian on aina peräisin nippu teoria ja muita tekniikoita inspiraatiota työhön Alexander Grothendieck vuonna algebrallinen geometria . Lähestymistapa on luonteeltaan globaali ja eroaa funktionaalisen analyysin tekniikoista, joita perinteisesti käytetään erilaisten operaattoreiden tutkimiseen. Vahvimmat tulokset saadaan yli-määritetyistä järjestelmistä ( holonomiset järjestelmät ) ja niiden leikkaamasta ominaisuudesta symboleja , hyvässä tapauksessa, jota varten se on Lagrangen submanifold on kotangentin nipun maksimaalisen ulottuvuuden ( surkastuttavassa järjestelmät ). Tekniikat otti Grothendieck-koulun puolelta Zoghman Mebkhout , joka sai yleisen johdetun luokan version Riemann – Hilbert-kirjeenvaihdosta kaikissa ulottuvuuksissa.

Johdanto: moduulit Weyl-algebran yli

Ensimmäinen tapaus algebrallinen D -modules moduulit yli Weyl algebran _n ( K ) yli kentän K on ominaisuus nolla. Se on algebra, joka koostuu seuraavien muuttujien polynomeista

x ₁ , ..., x _n , ∂ ₁ , ..., ∂ _n .

jossa muuttujat x _i ja ∂ _j kulkevat erikseen keskenään ja x _i ja ∂ _j matkustavat i ≠ j: n suhteen , mutta kommutaattori täyttää suhteen

[∂ _i , x _i ] = ∂ _i x _i - x _i ∂ _i = 1.

Mikä tahansa polynomi f ( x ₁ , ..., x _n ), tämä merkitsee suhdetta

[∂ _i , f ] = ∂ f / ∂ x _i ,

siten yhdistämällä Weyl-algebra differentiaaliyhtälöihin.

(Algebrallinen) D- moduuli on määritelmän mukaan vasen moduuli renkaan A _n ( K ) päällä. Esimerkkejä D- moduuleista ovat itse Weyl-algebra (joka toimii itseään vasemmalla kerrottamalla), (kommutatiivinen) polynomirengas K [ x ₁ , ..., x _n ], jossa x _i toimii kertomalla ja ∂ _j toimii osittaisella eriyttäminen suhteessa x _-j , ja Samaan tapaan, rengas on holomorphic toimintoja, C ⁿ (toiminnot n monimutkaisia muuttujia.) ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (\ mathbf {C} ^ {n})}$

Koska jokin differentiaalioperaattori P = a _n ( x ) ∂ ⁿ + ... + a ₁ ( x ) ∂ ¹ + a ₀ ( x ), jossa x on kompleksimuuttuja, a _i ( x ) ovat polynomeja, osamoduuli M = ₁ ( C ) / ₁ ( C ) P liittyy läheisesti tilaa liuoksia differentiaaliyhtälön

P f = 0,

missä f on jokin holomorfinen funktio C: ssä , sano. Tämän yhtälön ratkaisuista koostuvan vektoritilan antaa D- moduulien homomorfismien tila . ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (M, {\ mathcal {O}} (\ mathbf {C}))}$

D- moduulit algebrallisille lajikkeille

Yleinen teoria D -modules on kehitetään sileä algebrallinen erilaisia X on määritelty yli algebrallisesti suljettu kunta K ominaisten nolla, kuten K = C . Nippu on differentiaalioperaattori D _X on määritelty olevan O _X -algebra tuottama vektori kentät on X , tulkita siten, että sanat . A (vasen) D _X -moduulista M on O _X -moduulista kanssa vasemmalta toiminta on D- _X sitä. Tällaisen toiminnan suorittaminen vastaa K- lineaarisen kartan määrittämistä

${\ displaystyle \ nabla: D_ {X} \ rightarrow \ operaattorin nimi {End} _ {K} (M), v \ mapsto \ nabla _ {v}}$

tyydyttävä

${\ displaystyle \ nabla _ {fv} (m) = f \, \ nabla _ {v} (m)}$

${\ displaystyle \ nabla _ {v} (fm) = v (f) m + f \, \ nabla _ {v} (m)}$ ( Leibnizin sääntö )

${\ displaystyle \ nabla _ {[v, w]} (m) = [\ nabla _ {v}, \ nabla _ {w}] (m)}$

Tässä f on säännöllinen funktio X: llä , v ja w ovat vektorikenttiä, m M: n paikallinen osa , [-, -] tarkoittaa kommutaattoria . Siksi, jos M on lisäksi paikallisesti vapaa O _X -moduulista, jolloin M D -moduulista rakenne ei ole muuta kuin varustamalla vektorikimppu liittyy M taulu (tai integroituva) liitäntä .

Koska rengas D _X ei ole kommutatiivinen, vasen ja oikea D- moduuli on erotettava toisistaan. Kuitenkin kaksi käsitteitä voidaan vaihtaa, koska on olemassa vastaavuus luokkien välillä molempien moduulien, koska kartoittamalla vasemmalta moduuli M on tensoritulo M ⊗ Q _X , jossa Q _X on linja nippu saadaan suurimmasta ulkopuoli teho on ero 1-muotojen on X . Tällä nipulla on luonnollinen oikea toiminta, jonka määrittelee

ω ⋅ v  : = - Lie _v (ω),

missä v on järjestyksen yhden differentiaalioperaattori, toisin sanoen vektorikenttä, ωa n-muoto ( n = himmeä X ), ja Lie tarkoittaa Lie-johdannaista .

Paikallisesti, valitsemisen jälkeen jotkut koordinaatistossa x ₁ , ..., x _n ( n = dim X ) on X , joka määrittää perusteella ∂ ₁ , ..., ∂ _n n tangenttiavaruuteen ja X , osa D _X voidaan yksiselitteisesti edustaa lausekkeina

${\ displaystyle \ summa f_ {i_ {1}, \ pisteet, i_ {n}} \ osittainen _ {1} ^ {i_ {1}} \ cdots \ osittainen _ {n} ^ {i_ {n}}}$ , Jossa on säännöllisesti toimintoja päällä X . ${\ displaystyle f_ {i_ {1}, \ pisteet, i_ {n}}}$

Erityisesti kun X on n- ulotteinen affinitila , tämä D _X on Weyl-algebra n- muuttujassa.

Monet D- moduulien perusominaisuudet ovat paikallisia ja rinnakkaisia koherenttien kiilojen kanssa . Tämä perustuu siihen, että D- _X on paikallisesti vapaa nippu on O _X -modules, vaikkakin ääretön sijoitus, kuten edellä mainittu O- _X -basis osoittaa. D _X -moduulista eli johdonmukainen kuin O _X -moduulista voidaan osoittaa olevan välttämättä paikallisesti vapaa (finite listalla).

Toiminnallisuus

Eri algebrallisilla lajikkeilla olevat D- moduulit on kytketty toisiinsa vetävillä ja eteenpäin suuntautuvilla funktoreilla, jotka ovat verrattavissa koherenttien kiilojen vastaaviin. Saat kartan f : X → Y sileiden lajikkeita, määritelmät ovat tämän:

D _{X → Y}  : = O _X ⊗ _{f ⁻¹ ( O Y )} f ⁻¹ ( D _Y )

Tämä on varustettu vasemmalla D _X -toiminnalla tavalla, joka jäljittelee ketjusääntöä , ja f- ^{1: n} ( D _Y ) luonnollisella oikealla toiminnalla . Pullback on määritelty

f ^∗ ( M ): = D _{X → Y} ⊗ _{f ⁻¹ ( D Y )} f ⁻¹ ( M ).

Tässä M on vasen D _Y -moduuli, kun taas sen vetovoima on vasen moduuli X: n päällä . Tämä funktori on tarkalleen oikea , vasemmalta johdettu funktori on merkitty L f ^∗ . Päinvastoin, sillä on oikeus D _X -moduulista N ,

f _∗ ( N ): = f _∗ ( N ⊗ _{D X} D _{X → Y} )

on oikea D _Y -moduuli. Koska tämä sekoittaa oikean oikean tensorituotteen vasempaan tarkkaan eteenpäin, on tavallista asettaa sen sijaan

f _∗ ( N ): = R f _∗ ( N ⊗ ^L _{D X} D _{X → Y} ).

Tämän vuoksi suuri osa D- moduulien teoriasta kehitetään käyttämällä homologisen algebran täyttä voimaa , erityisesti johdettuja luokkia .

Holonomiset moduulit

Holonomiset moduulit Weyl-algebran yli

Voidaan osoittaa, että Weyl-algebra on (vasen ja oikea) noeerialainen rengas . Lisäksi se on yksinkertainen , toisin sanoen sen ainoat kaksipuoliset ideaalit ovat nollaideaali ja koko rengas. Nämä ominaisuudet tekevät D- moduulien tutkimuksen hallittavaksi. Erityisesti kommutatiivisen algebran vakiokäsitykset , kuten Hilbertin polynomi , moduulien moninaisuus ja pituus , siirtyvät D- moduuleihin. Tarkemmin sanottuna D _X on varustettu Bernstein-suodatuksella , toisin sanoen suodatuksella siten, että F ^p A _n ( K ) koostuu differentiaalisten operaattorien x ^α ∂ ^β K -lineaarisista yhdistelmistä | α | + | β | ≤  p (käyttäen moniindeksimerkintää ). Siihen liittyvä arvostellaan rengas nähdään olevan isomorfinen polynomin rengas 2 n indeterminates. Erityisesti se on kommutatiivinen.

Lopullisesti muodostetuilla D- moduuleilla M on ns. "Hyvät" suodatukset F ^∗ M , jotka ovat yhteensopivia F ^∗ A _n ( K ): n kanssa, olennaisesti rinnakkain Artin – Rees-lemman tilanteen kanssa . Hilbertin polynomi on määritelty funktion kanssa yhtäpitäväksi numeeriseksi polynomiksi

n ↦ himmeä _K F ⁿ M

suurelle n: lle . A _n ( K ) -moduulin M ulottuvuus d ( M ) on määritelty Hilbertin polynomin asteiksi. Sitä rajoittaa Bernsteinin epätasa-arvo

n ≤ d ( M ) ≤ 2 n .

Moduulia, jonka mitat saavuttavat pienimmän mahdollisen arvon n , kutsutaan holonomiseksi .

₁ ( K ) -moduulista M = ₁ ( K ) / ₁ ( K ) P (katso edellä) on holonomic tahansa nollasta poikkeava ero operaattorin P , mutta samanlainen vaatimus korkeamman ulottuvuuden VVeyl algebrojen ei päde.

Yleinen määritelmä

Kuten edellä mainittiin, Weyl-algebran moduulit vastaavat affiinisen avaruuden D- moduuleja. Bernstein suodatus ei ole käytettävissä D _X yleisen lajikkeiden X , määritelmä on yleistettävissä mielivaltaisiin Affiininen tasoittaa lajikkeiden X avulla , jotta suodatus on D _X , on määritelty järjestystä differentiaalioperaattori . Tähän liittyvä luokiteltu rengas gr D _X saadaan kotangenttipaketin T ^∗ X säännöllisistä toiminnoista .

Ominaisuus lajike on määritelty olevan subvariety on kotangentin nipun leikata että radikaali on annihilator on gr M , jossa taas M on varustettu sopivalla suodattamalla (suhteessa järjestyksessä suodattamalla D _X ). Kuten tavallista, affiinirakenne liimautuu sitten mielivaltaisiin lajikkeisiin.

Bernsteinin epätasa-arvo jatkuu minkä tahansa (sileän) lajikkeen X kohdalla . Vaikka yläraja on välitön seuraus yllä olevasta gr D _X : n tulkinnasta kotangenttipaketin suhteen, alaraja on hienovaraisempi.

Ominaisuudet ja kuvaukset

Holonomisilla moduuleilla on taipumus käyttäytyä kuin äärellisen ulottuvuuden vektoritiloissa. Esimerkiksi niiden pituus on rajallinen. Myös, M on holonomic jos ja vain jos kaikki Kohomologia ryhmiä kompleksin L i ^* ( M ) ovat rajallisia-ulotteinen K -vektorisysteemi tiloja, missä i on suljettu upottamalla minkä tahansa pisteen X .

Tahansa D -moduulista M , kaksi moduulia on määritelty

${\ displaystyle \ mathrm {D} (M): = {\ mathcal {R}} \ operaattorin nimi {Hom} (M, D_ {X}) \ otimes \ Omega _ {X} ^ {- 1} [\ himmeä X ].}$

Holonomisille moduuleille voidaan myös luonnehtia homologinen tila: M on holonominen vain ja vain, jos D ( M ) on keskittynyt (nähdään D- moduulien johdetun luokan objektina) asteessa 0. Tämä tosiasia on ensimmäinen välähdys Verdieristä kaksinaisuus ja Riemann – Hilbert-kirjeenvaihto . On todistettu, laajentamalla homologinen tutkimuksessa säännöllisesti renkaat (erityisesti mitä liittyy maailmanlaajuiseen homologinen ulottuvuus ) suodatettujen rengas D _X .

Toinen holonomisten moduulien luonnehdinta tapahtuu symplektisen geometrian kautta . Ominaisuus lajike Ch ( M ) minkä tahansa D -moduulista M on, nähdään subvariety on kotangentti nipun T ^* X ja X , surkastuttavassa lajike. Moduuli on holonominen vain ja vain, jos Ch ( M ) on Lagrangian .

Sovellukset

Yksi holonomisten D- moduulien varhaisista sovelluksista oli Bernstein – Sato-polynomi .

Kazhdan – Lusztig-oletus

Kazhdan-Lusztig arveluihin on osoittautunut käyttäen D -modules.

Riemann – Hilbert-kirjeenvaihto

Riemannin-Hilbert vastaavuus luodaan yhteys tiettyjen D -modules ja koottavan levyille. Sellaisena se tarjosi motivaation perverssien vanteet .

Geometrisen esityksen teoria

D- moduuleja käytetään myös geometrisen esityksen teoriassa . Tärkein tulos tällä alueella on Beilinson – Bernstein-lokalisointi . Se koskee D -modules on lippu lajikkeet G / B ja esityksiä Lie algebran on pelkistävän ryhmän G . D- moduulit ovat myös ratkaisevan tärkeitä geometrisen Langlands-ohjelman muotoilussa . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Viitteet

• Beilinson, AA ; Bernstein, Joseph (1981), "Localization de g -modules", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 292 (1): 15–18, ISSN   0249-6291 , MR   0610137
• Björk, J.-E. (1979), Differentiaalisten operaattoreiden renkaat , North-Holland Mathematical Library, 21 , Amsterdam: North-Holland, ISBN   978-0-444-85292-2 , MR   0549189
• Brylinski, Jean-Luc; Kashiwara, Masaki (1981), "Kazhdan – Lusztig-oletus ja holonomiset järjestelmät", Inventiones Mathematicae , 64 (3): 387–410, doi : 10.1007 / BF01389272 , ISSN   0020-9910 , MR   0632980
• Coutinho, SC (1995), algebrallisten D- moduulien aluke , London Mathematical Society Student Texts, 33 , Cambridge University Press , ISBN   978-0-521-55119-9 , MR   1356713
• Borel, Armand , toim. (1987), Algebraic D-Modules , Perspectives in Mathematics, 2 , Boston, MA: Academic Press , ISBN   978-0-12-117740-9
• MGM van Doorn (2001) [1994], "D-moduuli" , Matematiikan tietosanakirja , EMS Press
• Hotta, Ryoshi; Takeuchi, Kiyoshi; Tanisaki, Toshiyuki (2008), D- moduulit, perversiot ja edustusteoria (PDF) , Progress in Mathematics, 236 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN   978-0-8176-4363-8 , MR   2357361 , arkistoitu alkuperäisestä (PDF) on 03.3.2016 , haettu 2009-12-10

Ulkoiset linkit

• Bernstein, Joseph , D- moduulien algebrallinen teoria (PDF)
• Gaitsgory, Dennis, Luennot geometrisen esityksen teoriasta (PDF) , arkistoitu alkuperäisestä (PDF) 26.03.2015 , haettu 14.12.2011
• Milicic, Dragan, Luennot D- moduulien algebrallisesta teoriasta