D- modul - D-module

I matematik er et D- modul et modul over en ring D af differentielle operatorer . Hovedinteressen for sådanne D- moduler er som en tilgang til teorien om lineære partielle differentialligninger . Siden omkring 1970 er D- modulteori blevet opbygget, hovedsageligt som et svar på Mikio Satos ideer om algebraisk analyse og udvidelse af Sato og Joseph Bernsteins arbejde på Bernstein-Sato polynomet .

Tidlige store resultater var Kashiwara-konstruktibilitetssætningen og Kashiwara-indeks sætning af Masaki Kashiwara . Metoderne i D- modulteori er altid trukket fra skiveteori og andre teknikker med inspiration fra Alexander Grothendiecks arbejde i algebraisk geometri . Tilgangen er global i karakter og adskiller sig fra de funktionelle analyseteknikker , der traditionelt bruges til at studere differentielle operatører. De stærkeste resultater opnås for over-bestemte systemer ( holonomic systemer ), og på den karakteristiske sorten skåret ud af symboler , i det gode tilfælde, hvor det er en lagrangisk undermanifold til det cotangente bundt af maksimal dimension ( involutive systemer ). Teknikkerne blev taget op fra siden af ​​Grothendieck-skolen af Zoghman Mebkhout , der opnåede en generel, afledt kategoriversion af korrespondancen Riemann – Hilbert i alle dimensioner.

Introduktion: moduler over Weyl-algebra

Det første tilfælde af algebraiske D -modules er moduler over Weyl algebra A _n ( K ) over en felt K af karakteristiske nul. Det er algebraen, der består af polynomer i de følgende variabler

x ₁ , ..., x _n , ∂ ₁ , ..., ∂ _n .

hvor variablerne x _i og ∂ _j pendler hver for sig, og x _i og ∂ _j pendler til i ≠ j , men kommutatoren tilfredsstiller forholdet

[∂ _i , x _i ] = ∂ _i x _i - x _i ∂ _i = 1.

For ethvert polynom f ( x ₁ , ..., x _n ) indebærer dette forholdet

[∂ _i , f ] = ∂ f / ∂ x _i ,

derved relaterer Weyl-algebra til differentialligninger.

En (algebraisk) D -modul er per definition en venstre modul via ringen A _n ( K ). Eksempler på D- moduler indbefatter selve Weyl-algebraen (virker på sig selv ved venstre multiplikation), den (kommutative) polynomring K [ x ₁ , ..., x _n ], hvor x _i virker ved multiplikation og ∂ _j virker ved delvis differentiering med hensyn til x _j og i en lignende retning ring af holomorfe funktioner på C ⁿ (funktioner af n komplekse variabler.) ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (\ mathbf {C} ^ {n})}$

Givet en eller anden differentiel operator P = a _n ( x ) ∂ ⁿ + ... + a ₁ ( x ) ∂ ¹ + a ₀ ( x ), hvor x er en kompleks variabel, a _i ( x ) er polynomer, kvotientmodulet M = A ₁ ( C ) / A ₁ ( C ) P er tæt knyttet til rum af løsninger af differentialligningen

P f = 0,

hvor f er en eller anden holomorf funktion i C , siger. Vektorrummet, der består af opløsningerne i denne ligning, er givet af rummet for D- modulers homomorfisme . ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (M, {\ mathcal {O}} (\ mathbf {C}))}$

D- moduler på algebraiske sorter

Den generelle teori for D -modules er udviklet på en glat algebraisk sort X defineret over et algebraisk lukket felt K af karakteristiske nul, såsom K = C . Den neg af differentialoperatorer D _X er defineret til at være den O _X -algebra genereret af vektorfelter på X , fortolket som afledning . A (venstre) D _X- modul M er et O _X- modul med en venstre handling af D _X på det. At give en sådan handling svarer til at specificere et K- lineært kort

${\ displaystyle \ nabla: D_ {X} \ rightarrow \ operatorname {End} _ {K} (M), v \ mapsto \ nabla _ {v}}$

tilfredsstillende

${\ displaystyle \ nabla _ {fv} (m) = f \, \ nabla _ {v} (m)}$

${\ displaystyle \ nabla _ {v} (fm) = v (f) m + f \, \ nabla _ {v} (m)}$ ( Leibniz-reglen )

${\ displaystyle \ nabla _ {[v, w]} (m) = [\ nabla _ {v}, \ nabla _ {w}] (m)}$

Her er f en regelmæssig funktion på X , v og w er vektorfelter, m en lokal sektion af M , [-, -] betegner kommutatoren . Derfor, hvis M derudover er et lokalt frit O _X- modul, er det at give M en D- modulstruktur intet andet end at udstyre det vektorbundt, der er knyttet til M, med en flad (eller integrerbar) forbindelse .

Da ringen D _{X ikke} er kommutativ, skal der skelnes mellem venstre og højre D- moduler. Imidlertid kan de to forestillinger udveksles, da der er en ækvivalens af kategorier mellem begge typer moduler, givet ved at kortlægge et venstre modul M til tensorproduktet M ⊗ Ω _X , hvor Ω _X er linjebunten givet af det højeste ydre magt af differentierede 1-former på X . Dette bundt har en naturlig retlig handling bestemt af

ω ⋅ v  : = - Lie _v (ω),

hvor v er en differentiel operator af rækkefølge en, det vil sige et vektorfelt, ω en n-form ( n = dim X ), og Lie betegner Lie-derivatet .

Efter at have valgt noget koordinatsystem x ₁ , ..., x _n ( n = dim X ) på X , der bestemmer et grundlag ∂ ₁ , ..., ∂ _n af tangentrummet for X , sektioner af D _{X lokalt} kan repræsenteres entydigt som udtryk

${\ displaystyle \ sum f_ {i_ {1}, \ dots, i_ {n}} \ partial _ {1} ^ {i_ {1}} \ cdots \ partial _ {n} ^ {i_ {n}}}$ , Hvor den er almindelige funktioner på X . ${\ displaystyle f_ {i_ {1}, \ prikker, i_ {n}}}$

Især når X er det n -dimensionale affine rum , er denne D _X Weyl algebra i n variabler.

Mange grundlæggende egenskaber ved D- moduler er lokale og parallelle med sammenhængende skiver . Dette bygger på, at D _X er et lokalt gratis bundt af O _X -modules, omend af uendelig rang, som den ovennævnte O _X -basis shows. Et D _X- modul, der er kohærent som et O _X- modul, kan påvises at være nødvendigvis lokalt fri (af endelig rang).

Functoriality

D- moduler på forskellige algebraiske sorter er forbundet med pullback- og push-forward-funktioner, der kan sammenlignes med dem til sammenhængende skiver. For et kort f : X → Y for glatte sorter er definitionerne disse:

D _{X → Y}  : = O _X ⊗ _{f ⁻¹ ( O Y )} f ⁻¹ ( D _Y )

Det er udstyret med en venstre D _X handling på en måde, der emulerer kæden regel , og med naturlige ret virkning af f ^-1 ( D _Y ). Tilbagetrækningen er defineret som

f ^∗ ( M ): = D _{X → Y} ⊗ _{f ⁻¹ ( D Y )} f ⁻¹ ( M ).

Her M er en venstre D _Y -modul, mens dens pullback er en venstre modul i X . Denne funktion er højre nøjagtig , dens venstre afledte funktion er betegnet L f ^∗ . Omvendt for en højre D _X- modul N ,

f _∗ ( N ): = f _∗ ( N ⊗ _{D X} D _{X → Y} )

er en rigtige D _Y -modul. Da dette blander det rigtige nøjagtige tensorprodukt med det venstre nøjagtige skub fremad, er det almindeligt at indstille i stedet

f _∗ ( N ): = R f _∗ ( N ⊗ ^L _{D X} D _{X → Y} ).

På grund af dette udvikles meget af teorien om D- moduler ved hjælp af den fulde kraft af homologisk algebra , især afledte kategorier .

Holonomiske moduler

Holonomiske moduler over Weyl-algebra

Det kan vises, at Weyl-algebraen er en (venstre og højre) Noetherian-ring . Desuden er det simpelt , det vil sige, det eneste tosidede ideal er nulidealet og hele ringen. Disse egenskaber gør undersøgelsen af D- moduler håndterbar. Navnlig overføres standardbegreber fra kommutativ algebra som Hilbert polynom , mangfoldighed og længde af moduler til D- moduler. Mere præcist, D _X er udstyret med Bernstein filtrering , dvs. filtreringen således, at F ^s A _n ( K ) består af K -lineær kombinationer af differentialoperatorer x ^a ∂ ^p med | α | + | β | ≤  p (ved hjælp af multiindex-notation ). Den tilknyttede graduerede ring ses at være isomorf til den polynomiske ring i 2 n ubestemte. Især er det kommutativt.

Fint genererede D- moduler M er udstyret med såkaldte "gode" filtreringer F ^∗ M , som er kompatible med F ^∗ A _n ( K ), i det væsentlige parallelle med situationen med Artin – Rees-lemmaet . Hilbert-polynomet defineres som det numeriske polynom, der er enig med funktionen

n ↦ dim _K F ⁿ M

til store n . Dimensionen d ( M ) af en A _n ( K ) -modul M defineres som graden af Hilbert polynomium. Det er afgrænset af Bernstein-uligheden

n ≤ d ( M ) ≤ 2 n .

Et modul, hvis dimension opnår den mindst mulige værdi, n , kaldes holonomisk .

The A ₁ ( K ) -modul M = A ₁ ( K ) / A ₁ ( K ) P (se ovenfor) er holonomic for ethvert ikke-nul differensoperatoren P , men en lignende krav om højere-dimensionale Weyl algebraer holder ikke.

Generel definition

Som nævnt ovenfor svarer moduler over Weyl-algebra til D- moduler på affinalt rum. Bernstein-filtreringen er ikke tilgængelig på D _X for generelle sorter X , definitionen er generaliseret til vilkårlige affine glatte sorter X ved hjælp af ordrefiltrering på D _X , defineret af rækkefølgen af ​​forskellige operatører . Den tilhørende gradueret ring gr D _X er givet ved almindelige funktioner på cotangens bundt T ^* X .

Den karakteristiske sort defineres som den subvariety af cotangens bundt skåret ud af radikal af Annihilator af gr M , hvor igen M er udstyret med en passende filtrering (med hensyn til den rækkefølge filtrering på D _X ). Som sædvanlig limes den affine konstruktion derefter på vilkårlige sorter.

Den Bernstein ulighed fortsætter med at holde for enhver (glat) sort X . Mens den øvre grænse er en umiddelbar konsekvens af ovenstående fortolkning af gr D _X med hensyn til det cotangente bundt, er den nedre grænse mere subtil.

Egenskaber og karakteriseringer

Holonomiske moduler har en tendens til at opføre sig som endelige-dimensionelle vektorrum. For eksempel er deres længde endelig. Også, M er holonomic hvis og kun hvis alle cohomology grupper af komplekset L i ^* ( M ) er finite-dimensionale K -vector rum, hvor jeg er den lukkede nedsænkning af ethvert punkt i X .

For ethvert D- modul M defineres det dobbelte modul af

${\ displaystyle \ mathrm {D} (M): = {\ mathcal {R}} \ operatorname {Hom} (M, D_ {X}) \ otimes \ Omega _ {X} ^ {- 1} [\ dim X ].}$

Holonomiske moduler kan også karakteriseres ved en homologisk tilstand: M er holonomisk, hvis og kun hvis D ( M ) er koncentreret (set som et objekt i den afledte kategori af D- moduler) i grad 0. Denne kendsgerning er et første glimt af Verdier dualitet og korrespondancen mellem Riemann og Hilbert . Det er bevist ved at udvide Homologisk undersøgelse af regelmæssige ringe (især hvad er relateret til den globale Homologisk dimension ) til den filtrerede ring D _X .

En anden karakterisering af holonomiske moduler er via symplektisk geometri . Den karakteristiske variation Ch ( M ) for ethvert D- modul M er set som en undervariant af det cotangente bundt T ^∗ X af X , en involutiv sort. Modulet er holonomisk, hvis og kun hvis Ch ( M ) er Lagrangian .

Ansøgninger

En af de tidlige anvendelser af holonomiske D- moduler var polynomiet Bernstein – Sato .

Formodning om Kazhdan – Lusztig

Den Kazhdan-Lusztig formodning blev bevist ved anvendelse D -modules.

Riemann – Hilbert korrespondance

Den Riemann-Hilbert korrespondance skaber en sammenhæng mellem visse D -modules og constructible neg. Som sådan gav det en motivation for at indføre perverse skiver .

Teoretisk geometrisk repræsentation

D- moduler anvendes også i geometrisk repræsentationsteori . Et hovedresultat i dette område er lokaliseringen Beilinson – Bernstein . Den angår D -modules på flag sorter G / B til repræsentationer af Lie algebra af en reduktiv gruppe G . D- moduler er også afgørende i formuleringen af ​​det geometriske Langlands-program . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Referencer

• Beilinson, AA ; Bernstein, Joseph (1981), "Localization de g -modules", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 292 (1): 15-18, ISSN   0249-6291 , MR   0610137
• Björk, J.-E. (1979), Ringe af differentielle operatører , Nord-Holland Matematisk Bibliotek, 21 , Amsterdam: Nord-Holland, ISBN   978-0-444-85292-2 , MR   0549189
• Brylinski, Jean-Luc; Kashiwara, Masaki (1981), "Kazhdan – Lusztig formodninger og holonomiske systemer", Inventiones Mathematicae , 64 (3): 387–410, doi : 10.1007 / BF01389272 , ISSN   0020-9910 , MR   0632980
• Coutinho, SC (1995), en primer af algebraiske D- moduler , London Mathematical Society Student Texts, 33 , Cambridge University Press , ISBN   978-0-521-55119-9 , MR   1356713
• Borel, Armand , red. (1987), Algebraic D-Modules , Perspectives in Mathematics, 2 , Boston, MA: Academic Press , ISBN   978-0-12-117740-9
• MGM van Doorn (2001) [1994], "D-modul" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Hotta, Ryoshi; Takeuchi, Kiyoshi; Tanisaki, Toshiyuki (2008), D- moduler, perverse skiver og repræsentationsteori (PDF) , Progress in Mathematics, 236 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN   978-0-8176-4363-8 , MR   2357361 , arkiveret fra originalen (PDF) den 2016-03-03 , hentet 2009-12-10

eksterne links

• Bernstein, Joseph , algebraisk teori om D- moduler (PDF)
• Gaitsgory, Dennis, Lectures on Geometrisk repræsentation Theory (PDF) , arkiveres fra originalen (PDF) på 2015/03/26 , hentet 2011-12-14
• Milicic, Dragan, Forelæsninger om den algebraiske teori om D- moduler