D -modul - D-module

În matematică , un modul D este un modul peste un inel D al operatorilor diferențiali . Interesul major al acestor module D este ca o abordare a teoriei ecuațiilor diferențiale parțiale liniare . Începând cu anul 1970, teoria modulului D a fost construită, în principal ca răspuns la ideile lui Mikio Sato privind analiza algebrică și extinderea asupra lucrării lui Sato și a lui Joseph Bernstein privind polinomul Bernstein-Sato .

Primele rezultate majore au fost Kashiwara constructibility teorema și Kashiwara indicele teorema lui Masaki Kashiwara . Metodele teoriei modulului D au fost întotdeauna extrase din teoria snopului și din alte tehnici, inspirându-se din lucrarea lui Alexander Grothendieck în geometria algebrică . Abordarea are un caracter global și diferă de tehnicile de analiză funcțională utilizate în mod tradițional pentru studierea operatorilor diferențiali. Cele mai puternice rezultate se obțin pentru sistemele supra-determinate ( sisteme holonomice ) și pentru varietatea caracteristică decupată de simboluri , în cazul bun pentru care este un submanifold lagrangian al pachetului cotangent de dimensiune maximă ( sisteme involutive ). Tehnicile au fost preluate din partea școlii Grothendieck de către Zoghman Mebkhout , care a obținut o versiune generală, derivată din categoria corespondenței Riemann – Hilbert în toate dimensiunile.

Introducere: module peste algebra Weyl

Primul caz al modulelor D algebrice sunt module peste algebra Weyl A _n ( K ) pe un câmp K de zero caracteristic . Este algebra formată din polinoame din următoarele variabile

x ₁ , ..., x _n , ∂ ₁ , ..., ∂ _n .

unde variabilele x _i și ∂ _j navighează separat între ele, iar x _i și ∂ _j navighează pentru i ≠ j , dar comutatorul satisface relația

[∂ _i , x _i ] = ∂ _i x _i - x _i ∂ _i = 1.

Pentru orice polinom f ( x ₁ , ..., x _n ), aceasta implică relația

[∂ _i , f ] = ∂ f / ∂ x _i ,

legând astfel algebra Weyl de ecuațiile diferențiale.

Un modul (algebric) D este, prin definiție, un modul din stânga peste inelul A _n ( K ). Exemplele pentru modulele D includ algebra Weyl în sine (acționând asupra sa prin multiplicare stângă), inelul polinomial (comutativ) K [ x ₁ , ..., x _n ], unde x _i acționează prin multiplicare și ∂ _j acționează prin parțial diferențiere față de x _j și, într-o venă similară, inelul funcțiilor holomorfe pe C ⁿ (funcții ale n variabile complexe.) ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} (\ mathbf {C} ^ {n})}$

Având în vedere un operator diferențial P = a _n ( x ) ∂ ⁿ + ... + a ₁ ( x ) ∂ ¹ + a ₀ ( x ), unde x este o variabilă complexă, a _i ( x ) sunt polinoame, modulul coeficient M = A ₁ ( C ) / A ₁ ( C ) P este strâns legată de spațiul soluțiilor ecuației diferențiale

P f = 0,

unde f este o funcție holomorfă în C , să zicem. Spațiul vectorial format din soluțiile care ecuației este dată de spațiul morfisme de D -modulelor . ${\ displaystyle \ mathrm {Hom} (M, {\ mathcal {O}} (\ mathbf {C}))}$

D -module pe soiuri algebrice

Teoria generală a D -modulelor este dezvoltat pe o buna varietate algebrică X definită peste un câmp algebric închis K zero caracteristice, cum ar fi K = C . Fascicolul operatorilor diferențiale D _X este definit a fi O _X algebră generat de câmpurile vectoriale de pe X , interpretate ca derivatii . A (stânga) D _X -modulul M este un O _X -modul cu o acțiune din stânga a lui D _X pe el. A da o astfel de acțiune este echivalent cu specificarea unei hărți liniare K

${\ displaystyle \ nabla: D_ {X} \ rightarrow \ operatorname {End} _ {K} (M), v \ mapsto \ nabla _ {v}}$

satisfăcător

${\ displaystyle \ nabla _ {fv} (m) = f \, \ nabla _ {v} (m)}$

${\ displaystyle \ nabla _ {v} (fm) = v (f) m + f \, \ nabla _ {v} (m)}$ ( Regula Leibniz )

${\ displaystyle \ nabla _ {[v, w]} (m) = [\ nabla _ {v}, \ nabla _ {w}] (m)}$

Aici f este o funcție regulată pe X , v și w sunt câmpuri vectoriale, m o secțiune locală a lui M , [-, -] denotă comutatorul . Prin urmare, dacă M este, în plus, un modul O _X local liber , oferirea lui M de o structură a modulului D nu este altceva decât dotarea pachetului vectorial asociat lui M cu o conexiune plană (sau integrabilă) .

Deoarece inelul D _X este necomutativ, trebuie să se distingă modulele D stânga și dreapta . Cu toate acestea, cele două noțiuni pot fi schimbate, deoarece există o echivalență a categoriilor între ambele tipuri de module, dată de maparea unui modul stâng M la produsul tensor M ⊗ Ω _X , unde Ω _X este pachetul de linii dat de cel mai înalt exterior puterea de diferențiale 1-forme de pe X . Acest pachet are o acțiune naturală corectă determinată de

ω ⋅ v  : = - Lie _v (ω),

unde v este un operator diferențial de ordinul unu, adică un câmp vectorial, ω a n -form ( n = dim X ), iar Lie denotă derivata Lie .

Local, după alegerea unui sistem de coordonate x ₁ , ..., x _n ( n = dim X ) pe X , care determină o bază ∂ ₁ , ..., ∂ _n a spațiului tangent al lui X , secțiuni ale lui D _X pot fi reprezentate în mod unic ca expresii

${\ displaystyle \ sum f_ {i_ {1}, \ dots, i_ {n}} \ partial _ {1} ^ {i_ {1}} \ cdots \ partial _ {n} ^ {i_ {n}}}$ , În cazul în care sunt funcțiile regulate pe X . ${\ displaystyle f_ {i_ {1}, \ dots, i_ {n}}}$

În special, când X este spațiul afin n- dimensional , acest D _X este algebra Weyl în n variabile.

Multe proprietăți de bază ale modulelor D sunt locale și sunt paralele situației coșurilor coerente . Acest lucru se bazează pe faptul că D _X este un snop local de module O _X , deși de rang infinit, așa cum arată baza O _X menționată mai sus . Un modul D _X care este coerent ca un modul O _X poate fi dovedit a fi neapărat liber local (de rang finit).

Funcționalitate

Modulele D pe diferite soiuri algebrice sunt conectate prin funcții de retragere și pushforward comparabile cu cele pentru snopi coerenți. Pentru o hartă f : X → Y a soiurilor netede, definițiile sunt următoarele:

D _{X → Y}  : = O _X ⊗ _{f ⁻¹ ( O Y )} f ⁻¹ ( D _Y )

Aceasta este echipată cu o acțiune D _X stângă într-un mod care emulează regula lanțului și cu acțiunea naturală dreaptă de f ⁻¹ ( D _Y ). Retragerea este definită ca

f ^∗ ( M ): = D _{X → Y} ⊗ _{f ⁻¹ ( D Y )} f ⁻¹ ( M ).

Aici M este un stânga D _Y -modul, iar pullback sa este un modul stânga peste X . Acest functor este exact exact , functorul derivat din stânga este notat L f ^∗ . În schimb, pentru un D _X -modul N corect ,

f _∗ ( N ): = f _∗ ( N ⊗ _{D X} D _{X → Y} )

este un modul D _Y corect . Întrucât acest lucru amestecă produsul tensor exact potrivit cu forța exactă stângă, este obișnuit să setați în schimb

f _∗ ( N ): = R f _∗ ( N ⊗ ^L _{D X} D _{X → Y} ).

Din această cauză, o mare parte din teoria modulelor D este dezvoltată folosind întreaga putere a algebrei omologice , în special a categoriilor derivate .

Module holonomice

Module holonomice peste algebra Weyl

Se poate arăta că algebra Weyl este un inel noetherian (stânga și dreapta) . Mai mult decât atât, este simplu , adică, ei doar două fețe ideale sunt ideale zero , și întregul inel. Aceste proprietăți fac studiul modulelor D ușor de gestionat. In special, notiuni standard din algebra comutativă precum Hilbert polinomial , multiplicitate și lungimea modulelor reportate pentru D -modulelor. Mai precis, D _X este echipat cu filtrarea Bernstein , adică filtrarea astfel încât F ^p A _n ( K ) constă din K- combinații liniare de operatori diferențiali x ^α ∂ ^β cu | α | + | β | ≤  p (folosind notația multiindex ). Inelul gradat asociat este considerat a fi izomorf pentru inelul polinomial în 2 n nedeterminate. În special este comutativ.

Modulele D generate în mod fin M sunt dotate cu așa-numitele filtrări „bune” F ^∗ M , care sunt cele compatibile cu F ^∗ A _n ( K ), în esență paralele cu situația lemei Artin – Rees . Polinomul Hilbert este definit ca fiind polinomul numeric care este de acord cu funcția

n ↦ dim _K F ⁿ M

pentru n mare . Dimensiunea d ( M ) a unui A _n ( K ) -modul M este definită ca fiind gradul polinomului Hilbert. Este delimitat de inegalitatea Bernstein

n ≤ d ( M ) ≤ 2 n .

Un modul a cărui dimensiune atinge cea mai mică valoare posibilă, n , se numește holonomic .

A ₁ ( K ) -modul M = A ₁ ( K ) / A ₁ ( K ) P (vezi mai sus) este holonomic pentru orice operator nenul diferențială P , dar o cerere similară pentru algebre Weyl superior dimensionale nu deține.

Definiție generală

Așa cum s-a menționat mai sus, modulele din algebra Weyl corespund modulelor D de pe spațiul afin. Filtrarea Bernstein nefiind disponibilă pe D _X pentru soiurile generale X , definiția este generalizată la soiurile netede afinare arbitrare X prin intermediul filtrării de ordine pe D _X , definită prin ordinea operatorilor diferențiali . Asociat gradate gr inel D _X este dată de funcțiile regulate pe cotangentă bundle T ^* X .

Varietatea caracteristică este definită ca fiind subvarietatea din pachetul cotangentă decupat prin radicalul de anihilatorul de gr M , unde din nou M este echipat cu o filtrare adecvată (în ceea ce privește filtrarea pe comanda D _X ). Ca de obicei, construcția afină se lipeste apoi de soiuri arbitrare.

Inegalitatea Bernstein continuă să dețină pentru orice (neted) soiul X . În timp ce limita superioară este o consecință imediată a interpretării de mai sus a gr D _X în ceea ce privește pachetul cotangent, limita inferioară este mai subtilă.

Proprietăți și caracterizări

Modulele holonomice au tendința de a se comporta ca spații vectoriale cu dimensiuni finite. De exemplu, lungimea lor este finită. De asemenea, M este holonomic dacă și numai dacă toate grupurile coomologie ale L complex i ^* ( M ) sunt finit dimensionale K spatii -vector, unde i este imersiunea închisă a oricărui punct de X .

Pentru orice D -modul M , modulul dual este definit de

${\ displaystyle \ mathrm {D} (M): = {\ mathcal {R}} \ operatorname {Hom} (M, D_ {X}) \ otimes \ Omega _ {X} ^ {- 1} [\ dim X ].}$

Modulele holonomice pot fi, de asemenea, caracterizate printr-o condiție omologică : M este holonomică dacă și numai dacă D ( M ) este concentrat (văzut ca un obiect din categoria derivată a modulelor D ) în gradul 0. Acest fapt este o primă privire asupra lui Verdier dualitatea și corespondența Riemann – Hilbert . Este dovedit prin extinderea studiului omologică de inele regulate ( în special în ceea ce este legat de dimensiunea omologică globală ) la inelul filtrat D _X .

O altă caracterizare a modulelor holonomice este prin geometria simplectică . Varietatea caracteristică Ch ( M ) a oricărui D -modul M este, văzută ca o subvarietate a pachetului cotangent T ^∗ X de X , o varietate involutivă . Modulul este holonomic dacă și numai dacă Ch ( M ) este lagrangian .

Aplicații

Una dintre aplicațiile timpurii ale modulelor D holonomice a fost polinomul Bernstein-Sato .

Conjectura Kazhdan – Lusztig

Kazhdan-Lusztig presupuneri a fost dovedit folosind D -modulelor.

Corespondența Riemann – Hilbert

Corespondenta Riemann-Hilbert stabilește o legătură între anumite D -modulelor și scripeții constructibile. Ca atare, a oferit o motivație pentru introducerea snopilor perversi .

Teoria reprezentării geometrice

Modulele D sunt aplicate și în teoria reprezentării geometrice . Un rezultat principal în această zonă este localizarea Beilinson – Bernstein . Aceasta se referă D -modulelor la soiurile de pavilion G / B la reprezentări ale algebra Lie a unui grup reductiv G . Modulele D sunt, de asemenea, cruciale în formularea programului geometric Langlands . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Referințe

• Beilinson, AA ; Bernstein, Joseph (1981), "Localization de g -modules", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 292 (1): 15–18, ISSN   0249-6291 , MR   0610137
• Björk, J.-E. (1979), Inele operatorilor diferențiali , North-Holland Mathematical Library, 21 , Amsterdam: North-Holland, ISBN   978-0-444-85292-2 , MR   0549189
• Brylinski, Jean-Luc; Kashiwara, Masaki (1981), "Kazhdan – Lusztig conjecture and holonomic systems", Inventiones Mathematicae , 64 (3): 387–410, doi : 10.1007 / BF01389272 , ISSN   0020-9910 , MR   0632980
• Coutinho, SC (1995), un primer de algebrice D -modulelor , Londra Mathematical Society Student Texte, 33 , Cambridge University Press , ISBN   978-0-521-55119-9 , MR   1356713
• Borel, Armand , ed. (1987), Algebraic D-Modules , Perspectives in Mathematics, 2 , Boston, MA: Academic Press , ISBN   978-0-12-117740-9
• MGM van Doorn (2001) [1994], „D-module” , Enciclopedia Matematicii , EMS Press
• Hotta, Ryoshi; Takeuchi, Kiyoshi; Tanisaki, Toshiyuki (2008), D -module, snopi perverse și teoria reprezentării (PDF) , Progress in Mathematics, 236 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN   978-0-8176-4363-8 , MR   2357361 , arhivate de original (PDF) pe 2016-03-03 , recuperate 2009-12-10

linkuri externe

• Bernstein, Joseph , Teoria algebrică a modulelor D (PDF)
• Gaitsgory, Dennis, Lectures on Geometric Representation Theory (PDF) , arhivat din original (PDF) în 26-03-2015 , extras 2011-12-14
• Milicic, Dragan, Lectures on the Algebraic Theory of D -Modules