Anslutning (vektorpaket) - Connection (vector bundle)

Inom matematik , och särskilt differentialgeometri och måttteori , är en anslutning på ett fiberknippe en anordning som definierar en uppfattning om parallelltransport på bunten; det vill säga ett sätt att "ansluta" eller identifiera fibrer över närliggande punkter. Det vanligaste fallet är det för en linjär anslutning på ett vektorglas , för vilket begreppet parallelltransport måste vara linjärt . En linjär förbindelse specificeras på motsvarande sätt av ett kovariantderivat , en operatör som differentierar sektioner av bunten längs tangentriktningar i basfördelaren, på ett sådant sätt att parallella sektioner har derivat noll. Linjära förbindelser generaliserar, till godtyckliga vektorbuntar, Levi-Civita-anslutningen på tangentbunten i ett pseudo-Riemannian-grenrör , vilket ger ett standardiserat sätt att differentiera vektorfält. Olinjära anslutningar generaliserar detta koncept till buntar vars fibrer inte nödvändigtvis är linjära.

Linjära förbindelser kallas också Koszul-förbindelser efter Jean-Louis Koszul , som gav en algebraisk ram för att beskriva dem ( Koszul 1950 ).

Den här artikeln definierar anslutningen på ett vektorpaket med hjälp av en gemensam matematisk notation som avbetonar koordinater. Men andra notationer används också regelbundet: i allmän relativitet skrivs vanligen vektorbuntberäkningar med indexerade tensorer; i gauge -teorin betonas endomorfismen hos vektorrumsfibrerna. De olika beteckningarna är likvärdiga, som diskuteras i artikeln om metriska anslutningar (kommentarerna som görs där gäller alla vektorpaket).

Motivering

En sektion av ett vektorpaket generaliserar föreställningen om en funktion på ett grenrör, i den meningen att en standardvektorvärdesfunktion kan ses som en sektion av den triviala vektorgruppen . Det är därför naturligt att fråga om det är möjligt att differentiera ett snitt i analogi med hur man differentierar ett vektorfält. När vektorpaketet är tangentbunten till ett pseudo-Riemannian-mångfald besvaras denna fråga naturligt av Levi-Civita-anslutningen , som är den unika vridfria anslutningen som är kompatibel med pseudo-Riemannian-metriken på tangentbunten. I allmänhet finns det inget sådant naturligt val av sätt att skilja sektioner. ${\ displaystyle f: M \ to \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle M \ times \ mathbb {R} ^{n} \ to M}$

En sektion av ett bunt kan ses som en generaliserad funktion från basen in i fibrerna i vektorgruppen. Detta kan visualiseras genom diagrammet i sektionen, som i figuren ovan.

Modellfallet är att differentiera ett -komponentvektorfält på det euklidiska utrymmet . I denna inställning kan derivatet vid en punkt i riktningen enkelt definieras av ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle X: \ mathbb {R} ^{n} \ to \ mathbb {R} ^{m}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle dX}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle v \ in \ mathbb {R} ^{n}}$

${\ displaystyle dX (v) (x) = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {X (x+tv) -X (x)} {t}}.}$

Lägg märke till att vi för varje har definierat en ny vektor så att derivatet i riktning mot har gett ett nytt -komponentvektorfält på . ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle dX (v) (x) \ in \ mathbb {R} ^{m}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

När man passerar till en sektion av ett vektorglas på ett grenrör stöter man på två nyckelfrågor med denna definition. För det första, eftersom grenröret inte har någon linjär struktur, har termen ingen mening med . Istället tar man en sådan väg och beräknar ${\ displaystyle X \ in \ Gamma (E)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle x+tv}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ gamma: (-1,1) \ till M}$${\ displaystyle \ gamma (0) = x, \ gamma '(0) = v}$

${\ displaystyle dX (v) (x) = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {X (\ gamma (t))-X (\ gamma (0))} {t}}.}$

Detta är dock fortfarande meningslöst, eftersom det är en vektor i fibern över , och fibern över , som är ett annat vektorutrymme. Detta betyder att det inte finns något sätt att förstå hur subtraheringen av dessa två termer ligger i olika vektorrum. ${\ displaystyle X (\ gamma (t)) \ i E _ {\ gamma (t)}}$${\ displaystyle \ gamma (t)}$${\ displaystyle X (\ gamma (0)) = X (x) \ i E_ {x}}$${\ displaystyle x}$

Målet är att lösa ovanstående problem genom att hitta på ett sätt att differentiera sektioner av ett vektorglas i riktning mot vektorfält och få tillbaka ett annat avsnitt av vektorgruppen. Det finns tre möjliga lösningar på detta problem. Alla tre kräver att man väljer hur man skiljer sektioner, och bara i speciella inställningar som tangentbunten på ett Riemannian grenrör finns det ett naturligt sådant val.

1. ( Parallell transport ) Eftersom problemet är att vektorerna och ligger i olika fibrer är en lösning att definiera en isomorfism för alla nära noll. Med denna isomorfism kan man transportera till fibern och sedan ta skillnaden. Uttryckligen,${\ displaystyle X (\ gamma (t))}$${\ displaystyle X (x)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle P_ {t}^{\ gamma}: E _ {\ gamma (t)} \ till E_ {x}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle X (\ gamma (t))}$${\ displaystyle E_ {x}}$
   $${\ displaystyle dX (v) (x) = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {P_ {t}^{\ gamma} X (\ gamma (t))-X (\ gamma (0)) } {t}}.}$$

   
   Detta är parallell transport och valet av isomorfier för alla kurvor i kan tas som en definition av hur man skilja en sektion.${\ displaystyle P_ {t}^{\ gamma}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle M}$
2. ( Ehresmann -anslutning ) Använd begreppet differential på en karta över släta grenrör. Ett avsnitt är per definition en smidig karta så att . Detta har en differential , med egenskapen som för ett vektorfält . Men man skulle istället vilja vara ett avsnitt för sig själv. Faktum är att den vertikala bunten är en återdragning av tillsammans med samma fiber som . Om man väljer en projektion av vektorbuntar, skulle komponering med denna projektion landa tillbaka . Detta kallas en linjär Ehresmann -anslutning på vektorpaketet . Det finns många val av projektionsoperatörer så i allmänhet finns det många olika sätt att differentiera ett vektorfält.${\ displaystyle s \ in \ Gamma (E)}$${\ displaystyle s: M \ till E}$${\ displaystyle \ pi \ circ s = \ operatorname {Id}}$${\ displaystyle ds: TM \ to TE}$${\ displaystyle ds (X) \ in \ Gamma (TE)}$${\ displaystyle X \ in \ Gamma (TM)}$${\ displaystyle ds (X)}$${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle V \ subset TE}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E \ till M}$${\ displaystyle \ nu: TE \ till V}$${\ displaystyle ds (X)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E \ till M}$${\ displaystyle \ nu: TE \ till V}$
3. ( Kovariantderivat ) Den tredje lösningen är att abstrahera de egenskaper som ett derivat av en sektion av ett vektorglas bör ha och ta detta som en axiomatisk definition. Detta är uppfattningen om en anslutning eller kovariant derivat som beskrivs i denna artikel. De två andra metoderna ovan kan båda visas vara ekvivalenta med denna axiomatiska definition av differentiering.

Formell definition

Låt vara ett smidigt vektorpaket över ett differentierbart grenrör . Beteckna utrymmet för släta sektioner av by . En anslutning på är en - linjär karta (eller när vektorpaketet är ett komplext vektorglas , en -linjär karta) ${\ displaystyle E \ till M}$ ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ Gamma (E)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle \ nabla: \ Gamma (E) \ to \ Gamma (T^{*} M \ otimes E)}$

sådan att Leibniz -regeln

${\ displaystyle \ nabla (fs) = df \ otimes s+f \ nabla s}$

håller för alla smidiga funktioner på och alla släta sektioner av . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle E}$

Om är ett tangentvektorfält på (dvs en sektion av tangentbunten ) kan man definiera ett kovariantderivat längs${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle TM}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ nabla _ {X}: \ Gamma (E) \ to \ Gamma (E)}$

genom contracting med den resulterande kovariant index i anslutning: . Det kovarianta derivatet uppfyller: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ nabla _ {X} (s) = (\ nabla (s)) (X)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} & \ nabla \! _ {X} (s_ {1} {+} s_ {2}) \ = \ \ nabla \! _ {X} s_ {1}+\ nabla \ ! _ {X} s_ {2} \\ & \ nabla \! _ {(X_ {1} {+} X_ {2})} s \ = \ \ nabla \! _ {X_ {1}} s+\ nabla \! _ {X_ {2}} s \\ & \ nabla \! _ {X} (fs) \ = \ f \, \ nabla \! _ {X} s+X (f) s \\ & \ nabla \! _ {fX} s \ = \ f \, \ nabla \! _ {X} s. \ end {align}}}$

Omvänt definierar alla operatörer som uppfyller ovanstående egenskaper en anslutning till och en anslutning i denna mening är också känd som ett kovariantderivat på . ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$

Framkallade anslutningar

Med tanke på ett vektorknippe finns det många associerade buntar till vilka man kan konstruera, till exempel dubbelvektorbunten , tensoreffekter , symmetriska och antisymmetriska tensoreffekter och de direkta summorna . En anslutning på inducerar en anslutning till någon av dessa associerade buntar. Lättheten att passera mellan anslutningar på associerade buntar fångas mer elegant av teorin om huvudsakliga buntförbindelser , men här presenterar vi några av de grundläggande inducerade kopplingarna. ${\ displaystyle E \ till M}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E^{*}}$${\ displaystyle E^{\ otimes k}}$${\ displaystyle S ^{k} E, \ Lambda ^{k} E}$${\ displaystyle E^{\ oplus k}}$${\ displaystyle E}$

Dubbel anslutning

Med tanke på en anslutning på definieras den inducerade dubbla anslutningen på implicit av ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle \ nabla ^{*}}$${\ displaystyle E^{*}}$

${\ displaystyle d (\ langle \ xi, s \ rangle) (X) = \ langle \ nabla _ {X}^{*} \ xi, s \ rangle +\ langle \ xi, \ nabla _ {X} s \ rangle.}$

Här är ett jämnt vektorfält, är en sektion av och en sektion av dubbelpaketet, och den naturliga parningen mellan ett vektorutrymme och dess dubbla (förekommer på varje fiber mellan och ). Lägg märke till att denna definition i huvudsak tillämpar den anslutningen så att en naturlig produktregel uppfylls för parning . ${\ displaystyle X \ in \ Gamma (TM)}$${\ displaystyle s \ in \ Gamma (E)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ xi \ in \ Gamma (E^{*})}$${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E^{*}}$${\ displaystyle \ nabla ^{*}}$${\ displaystyle E^{*}}$${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

Tensor produktanslutning

Med anslutningar på två vektorpaket definierar du tensorproduktanslutningen med formeln ${\ displaystyle \ nabla ^{E}, \ nabla ^{F}}$${\ displaystyle E, F \ till M}$

${\ displaystyle (\ nabla ^{E} \ otimes \ nabla ^{F}) _ {X} (s \ otimes t) = \ nabla _ {X} ^{E} (s) \ otimes t+s \ otimes \ nabla _ {X}^{F} (t).}$

Här har vi . Observera igen att detta är det naturliga sättet att kombinera för att tillämpa produktregeln för tensor -produktanslutningen. Genom upprepad applicering av den ovan beskrivna konstruktionen anbringas på tensorprodukt , erhåller man också tensor strömanslutningen på för någon och vektorknippe . ${\ displaystyle s \ in \ Gamma (E), t \ in \ Gamma (F), X \ in \ Gamma (TM)}$${\ displaystyle \ nabla ^{E}, \ nabla ^{F}}$${\ displaystyle E^{\ otimes k} = (E^{\ otimes (k-1)}) \ otimes E}$${\ displaystyle E^{\ otimes k}}$${\ displaystyle k \ geq 1}$${\ displaystyle E}$

Direkt summaanslutning

Den direkta summaanslutningen definieras av

${\ displaystyle (\ nabla ^{E} \ oplus \ nabla ^{F}) _ {X} (s \ oplus t) = \ nabla _ {X} ^{E} (s) \ oplus \ nabla _ {X }^{F} (t),}$

var . ${\ displaystyle s \ oplus t \ in \ Gamma (E \ oplus F)}$

Symmetriska och externa strömanslutningar

Eftersom symmetrisk effekt och yttre effekt hos ett vektorglas kan ses naturligt som delutrymmen för tensoreffekten , gäller definitionen av tensorproduktanslutningen på ett enkelt sätt för denna inställning. Eftersom de symmetriska och yttre algebrorna sitter inne i tensoralgebra som direkta summeringar, och anslutningen respekterar denna naturliga splittring, kan man helt enkelt begränsa sig till dessa summander. Definiera uttryckligen den symmetriska produktanslutningen med ${\ displaystyle S^{k} E, \ Lambda^{k} E \ delmängd E^{\ otimes k}}$${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle \ nabla}$

${\ displaystyle \ nabla _ {X}^{\ odot 2} (s \ cdot t) = \ nabla _ {X} s \ cdot t+s \ cdot \ nabla _ {X} t}$

och den yttre produktanslutningen av

${\ displaystyle \ nabla _ {X}^{\ wedge 2} (s \ wedge t) = \ nabla _ {X} s \ wedge t+s \ wedge \ nabla _ {X} t}$

för alla . Upprepade appliceringar av dessa produkter ger inducerad symmetrisk kraft och yttre strömanslutningar på och respektive. ${\ displaystyle s, t \ in \ Gamma (E), X \ in \ Gamma (TM)}$${\ displaystyle S^{k} E}$${\ displaystyle \ Lambda ^{k} E}$

Endomorfismanslutning

Slutligen kan man definiera den inducerade anslutningen på vektorbunten av endomorfismer , endomorfismanslutningen . Detta är helt enkelt tensorprodukt anslutning av dubbel koppling på och på . Om och , så att kompositionen också, gäller följande produktregel för endomorfismanslutningen: ${\ displaystyle \ nabla ^{\ operatorname {End} {E}}}$${\ displaystyle \ operatorname {End} (E) = E^{*} \ otimes E}$${\ displaystyle \ nabla ^{*}}$${\ displaystyle E^{*}}$${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle s \ in \ Gamma (E)}$${\ displaystyle u \ in \ Gamma (\ operatorname {End} (E))}$${\ displaystyle u (s) \ in \ Gamma (E)}$

${\ displaystyle \ nabla _ {X} (u (s)) = \ nabla _ {X}^{\ operatorname {End} (E)} (u) (s)+u (\ nabla _ {X} (s )).}$

Genom att vända denna ekvation är det möjligt att definiera endomorfismförbindelsen som den unika anslutningen som är tillfredsställande

${\ displaystyle \ nabla _ {X}^{\ operatorname {End} (E)} (u) (s) = \ nabla _ {X} (u (s))-u (\ nabla _ {X} (s ))}}$

för att undvika behovet av att först definiera dubbelanslutningen och tensorproduktanslutningen. ${\ displaystyle u, s, X}$

Alla tillhörande paket

Med tanke på en vektorbunt av rang och eventuell representation i en linjär grupp finns det en inducerad anslutning på den associerade vektorgruppen . Denna teori är mest koncist fångas genom att till huvud bunt anslutningen på ramen bunt av och använda teorin om huvud buntar. Var och en av de ovanstående exemplen kan ses som speciella fall av denna konstruktion: den dubbla bunten motsvarar den inversa transponerings- (eller inversa angränsande) representationen, tensorprodukten till tensorproduktrepresentationen, den direkta summan till den direkta summarepresentationen, och så på. ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ rho: \ mathrm {GL} (r, \ mathbb {K}) \ till G}$${\ displaystyle G \ subset \ mathrm {GL} (V)}$${\ displaystyle F = E \ times _ {\ rho} V}$${\ displaystyle E}$

Exteriör kovariantderivat och vektorvärderade former

Låt vara ett vektorglas. En -valued differentiella formen av grad är en sektion av den tensorprodukt knippet: ${\ displaystyle E \ till M}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle \ bigwedge ^{r} T ^{*} M \ otimes E.}$

Utrymmet i sådana former betecknas med

${\ displaystyle \ Omega ^{r} (E) = \ Omega ^{r} (M; E) = \ Gamma \ left (\ bigwedge ^{r} T ^{*} M \ otimes E \ right) = \ Omega ^{r} (M) \ otimes _ {C ^{\ infty} (M)} \ Gamma (E),}$

där den sista tensorprodukten betecknar tensorprodukten av moduler över ringen av släta funktioner på . ${\ displaystyle M}$

En -värderad 0 -form är bara en del av paketet . Det är, ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle \ Omega ^{0} (E) = \ Gamma (E).}$

I denna notering är en anslutning på en linjär karta ${\ displaystyle E \ till M}$

${\ displaystyle \ nabla: \ Omega ^{0} (E) \ to \ Omega ^{1} (E).}$

En anslutning kan sedan ses som en generalisering av det yttre derivatet till vektorgruppsvärderade former. I själva verket, med tanke på en anslutning på det är ett unikt sätt att utöka till en yttre kovariant derivat${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ nabla}$

${\ displaystyle d _ {\ nabla}: \ Omega ^{r} (E) \ to \ Omega ^{r+1} (E).}$

Detta externa kovariansderivat definieras av följande Leibniz -regel, som specificeras på enkla tensorer av formen och utvidgas linjärt: ${\ displaystyle \ omega \ otimes s}$

${\ displaystyle d _ {\ nabla} (\ omega \ otimes s) = d \ omega \ otimes s+(-1)^{\ deg \ omega} \ omega \ wedge \ nabla s}$

där så att , är en sektion, och betecknar -formen med värden definierade genom att kila med enformad del av . Observera att för -värderade 0 -formulär återställer detta den normala Leibniz -regeln för anslutningen . ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega ^{r} (M)}$${\ displaystyle \ deg \ omega = r}$${\ displaystyle s \ in \ Gamma (E)}$${\ displaystyle \ omega \ wedge \ nabla s}$${\ displaystyle r+1}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ nabla s}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ nabla}$

Till skillnad från det vanliga exteriörderivatet har man i allmänhet . Faktum är att det är direkt relaterat till krökning av anslutningen (se nedan ). ${\ displaystyle d _ {\ nabla}^{2} \ neq 0}$${\ displaystyle d _ {\ nabla}^{2}}$${\ displaystyle \ nabla}$

Affinera egenskaperna för uppsättningen anslutningar

Varje vektorbunt över ett mångfald medger en anslutning, vilket kan bevisas med hjälp av enhetens skiljeväggar . Anslutningar är dock inte unika. Om och är två anslutningar är deras skillnad en -linjär operatör. Det är, ${\ displaystyle \ nabla _ {1}}$${\ displaystyle \ nabla _ {2}}$${\ displaystyle E \ till M}$${\ displaystyle C^{\ infty} (M)}$

${\ displaystyle (\ nabla _ {1}-\ nabla _ {2}) (fs) = f (\ nabla _ {1} s- \ nabla _ {2} s)}$

för alla smidiga funktioner på och alla släta sektioner av . Det följer att skillnaden kan identifieras unikt med en enform med värden i endomorfismpaketet : ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ nabla _ {1}-\ nabla _ {2}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ operatorname {End} (E) = E^{*} \ otimes E}$

${\ displaystyle (\ nabla _ {1}-\ nabla _ {2}) \ in \ Omega ^{1} (M; \ mathrm {End} \, E).}$

Omvänt, om en anslutning är på och en enformulär på med värden i , är en anslutning på . ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ operatorname {End} (E)}$${\ displaystyle \ nabla +A}$${\ displaystyle E}$

Med andra ord är anslutningsutrymmet på ett affint utrymme för . Detta affina utrymme betecknas vanligtvis . ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ Omega ^{1} (\ operatorname {End} (E))}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

Förhållande till huvud- och Ehresmann -förbindelser

Låt vara en vektorbunt av rang och låt vara den huvudsakliga rambunten av . Sedan inducerar en (huvud) anslutning på en anslutning på . Observera först att delar av är i en-till-en-korrespondens med rätt-ekvivalenta kartor . (Detta kan ses genom att överväga återhämtningen av över , vilket är isomorft för det triviala buntet .) Med tanke på ett avsnitt av låt motsvarande ekvivalenta karta vara . Kovariansderivatet på ges sedan av ${\ displaystyle E \ till M}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (E)}$ ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (E)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (E) \ to \ mathbb {R} ^{k}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (E) \ till M}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (E) \ times \ mathbb {R} ^{k}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ psi (s)}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle \ psi (\ nabla _ {X} s) = X^{H} (\ psi (s))}$

där är den horisontella lyft av från till . (Kom ihåg att den horisontella lyften bestäms av anslutningen på .) ${\ displaystyle X^{H}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (E)}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (E)}$

Omvänt bestämmer en anslutning på en anslutning till , och dessa två konstruktioner är inbördes inversa. ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (E)}$

En anslutning på bestäms också likvärdigt av en linjär Ehresmann -anslutning på . Detta ger en metod för att konstruera den associerade huvudanslutningen. ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$

De inducerade anslutningar som diskuteras i #inducerade anslutningar kan konstrueras som anslutningar på andra associerade buntar till rampaketet med andra representationer än standardrepresentationen som används ovan. Om till exempel betecknar standardrepresentationen av on , så är den associerade bunten till representationen av on den direkta summan , och den inducerade anslutningen är just den som beskrivits ovan. ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ operatorname {GL} (k, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{k}}$${\ displaystyle \ rho \ oplus \ rho}$${\ displaystyle \ operatorname {GL} (k, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{k} \ oplus \ mathbb {R} ^{k}}$${\ displaystyle E \ oplus E}$

Lokalt uttryck

Låt vara en vektorbunt av rang , och låt vara en öppen delmängd av vilken trivialiseras. Därför över uppsättningen , medger en lokal smidig ram av sektioner ${\ displaystyle E \ till M}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle \ mathbf {e} = (e_ {1}, \ dots, e_ {k}); \ quad e_ {i}: U \ till \ vänster.E \ höger | _ {U}.}$

Eftersom ramen definierar en grund för fibern för vilken som helst kan man expandera vilken lokal sektion som helst i ramen ${\ displaystyle \ mathbf {e}}$${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle x \ i U}$${\ displaystyle s: U \ till \ vänster.E \ höger | _ {U}}$

${\ displaystyle s = \ sum _ {i = 1}^{k} s^{i} e_ {i}}$

för en samling smidiga funktioner . ${\ displaystyle s^{1}, \ dots, s^{k}: U \ to \ mathbb {R}}$

Med tanke på en anslutning till är det möjligt att uttrycka över i termer av den lokala sektionsramen, med hjälp av den karakteristiska produktregeln för anslutningen. För varje basavsnitt kan mängden utökas i den lokala ramen som ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle \ nabla (e_ {i}) \ in \ Omega ^{1} (U) \ otimes \ Gamma (U, E)}$${\ displaystyle \ mathbf {e}}$

${\ displaystyle \ nabla (e_ {i}) = \ sum _ {j = 1}^{k} A_ {i}^{\ j} \ otimes e_ {j},}$

var finns en samling lokala enformulär. Dessa former kan sättas in i en matris med en-former definierade av ${\ displaystyle A_ {i} ^{\ j} \ in \ Omega ^{1} (U); \, j = 1, \ dots, k}$

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} A_ {1}^{\ 1} & \ cdots & A_ {k}^{\ 1} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A_ {1}^{ \ k} & \ cdots & A_ {k} ^{\ k} \ end {pmatrix}} \ in \ Omega ^{1} (U, \ operatorname {End} (\ left.E \ right | _ {U}) )}}$

kallade den lokala anslutningsformen för över${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle U}$ . Åtgärden för på vilket avsnitt som helst kan beräknas när det gäller att använda produktregeln som ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle s: U \ till \ vänster.E \ höger | _ {U}}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ nabla (s) = \ sum _ {i, j = 1}^{k} (ds^{j}+A_ {i}^{\ j} s^{i}) \ otimes e_ {j }.}$

Om den lokala sektionen också skrivs i matrisnotation som en kolumnvektor med den lokala ramen som grund, ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ mathbf {e}}$

${\ displaystyle s = {\ begin {pmatrix} s^{1} \\\ vdots \\ s^{k} \ end {pmatrix}},}$

sedan kan man använda vanlig matrismultiplikation

${\ displaystyle \ nabla (s) = ds+As}$

där är stenografi för att applicera det yttre derivatet på varje komponent av som en kolonnvektor. I denna notation skriver man ofta lokalt det . I denna mening är en anslutning lokalt fullständigt specificerad av dess anslutning enform i någon trivialisering. ${\ displaystyle ds}$ ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ left. \ nabla \ right | _ {U} = d+A}$

Såsom förklaras i #Affine-egenskaper hos uppsättningen anslutningar skiljer sig varje anslutning från en annan genom en endomorfism-värderad enform. Ur detta perspektiv anslutningen en-formen är just endomorfism värderade one-form så att anslutningen på skiljer sig från det triviala anslutningen på , som existerar på grund är en trivialisera uppsättning för . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ left. \ nabla \ right | _ {U}}$${\ displaystyle \ left.E \ right | _ {U}}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle \ left.E \ right | _ {U}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle E}$

Förhållande till Christoffelsymboler

I pseudo-Riemannian geometri är Levi-Civita-anslutningen ofta skriven i termer av Christoffelsymbolerna istället för anslutningsformen . Det är möjligt att definiera Christoffelsymboler för en anslutning på valfri vektorgrupp, och inte bara tangentbunten i ett pseudo-Riemanniskt grenrör. För att göra detta, anta att förutom att vara en trivialiserande öppen delmängd för vektorpaketet , är det också ett lokalt diagram för fördelaren , som tillåter lokala koordinater . ${\ displaystyle \ Gamma _ {ij}^{\ \ k}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle E \ till M}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x^{1}, \ dots, x^{n}); \ quad x^{i}: U \ to \ mathbb {R}}$

I ett sådant lokalt diagram finns det en särskild lokal ram för de differentiella enformerna som ges av , och de lokala anslutningsformerna kan utökas på detta sätt som ${\ displaystyle (dx^{1}, \ dots, dx^{n})}$${\ displaystyle A_ {i}^{j}}$

${\ displaystyle A_ {i}^{\ j} = \ sum _ {\ ell = 1}^{n} \ Gamma _ {\ ell i}^{\ \ j} dx^{\ ell}}$

för en samling av lokala smidiga funktioner , kallade Christoffels symboler för över . I det fall där och är Levi-Civita-anslutningen, överensstämmer dessa symboler exakt med Christoffelsymbolerna från pseudo-Riemannian geometri. ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ ell i}^{\ \ j}: U \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle E = TM}$${\ displaystyle \ nabla}$

Uttrycket för hur handlingar i lokala koordinater kan utökas ytterligare när det gäller det lokala diagrammet och Christoffelsymbolerna, som ges av ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ nabla (s) = \ sum _ {i, j = 1}^{k} \ sum _ {\ ell = 1}^{n} \ vänster ({\ frac {\ partiell s^{j} } {\ partiell x^{\ ell}}}+\ Gamma _ {\ ell i}^{\ \ j} s^{i} \ höger) dx^{\ ell} \ otimes e_ {j}.}$

Kontraherande av detta uttryck med den lokala koordinat -tangensvektorn leder till ${\ displaystyle {\ frac {\ partiell} {\ partiell x^{\ ell}}}}$

${\ displaystyle \ nabla _ {\ frac {\ partial} {\ partiell x^{\ ell}}} (s) = \ sum _ {i, j = 1}^{k} \ left ({\ frac {\ partiell s^{j}} {\ partiell x^{\ ell}}}+\ Gamma _ {\ ell i}^{\ \ j} s^{i} \ höger) e_ {j}.}$

Detta definierar en samling lokalt definierade operatörer ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ nabla _ {\ ell}: \ Gamma (U, E) \ to \ Gamma (U, E); \ quad \ nabla _ {\ ell} (s): = \ sum _ {i, j = 1}^{k} \ vänster ({\ frac {\ partiell s^{j}} {\ partiell x^{\ ell}}}+\ Gamma _ {\ ell i}^{\ \ j} s^{ i} \ höger) e_ {j},}$

med fastigheten som

${\ displaystyle \ nabla (s) = \ sum _ {\ ell = 1}^{n} dx^{\ ell} \ otimes \ nabla _ {\ ell} (s).}$

Ändring av lokal trivialisering

Antag att är ett annat val av lokal ram över samma trivialiserande uppsättning , så att det finns en matris av smidiga funktioner som relaterar till och definieras av ${\ displaystyle \ mathbf {e '}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle g = (g_ {i}^{\ j})}$${\ displaystyle \ mathbf {e}}$${\ displaystyle \ mathbf {e '}}$

${\ displaystyle e_ {i} = \ sum _ {j = 1}^{k} g_ {i}^{\ j} e '_ {j}.}$

Genom att spåra konstruktionen av det lokala anslutningsformuläret för ramen finner man att anslutningen enformulär för ges av ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbf {e}}$${\ displaystyle A '}$${\ displaystyle \ mathbf {e '}}$

${\ displaystyle {A '} _ {i}^{\ j} = \ sum _ {p, q = 1}^{k} g_ {p}^{\ j} A_ {q}^{\ p} { (g^{-1})} _ {i}^{\ q}-\ sum _ {p = 1}^{k} (dg) _ {p}^{\ j} {(g^{-1 })} _ {i}^{\ p}}$

där betecknar den inversa matrisen till . I matrisnotering kan detta skrivas ${\ displaystyle g^{-1} = \ left ({(g^{-1})} _ {i}^{\ j} \ right)}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle A '= gAg^{-1}-(dg) g^{-1}}$

var är matrisen för en-former som ges genom att ta det yttre derivatet av matrisen komponent-för-komponent. ${\ displaystyle dg}$${\ displaystyle g}$

I det fall där tangentbunten är och är Jacobian för en koordinatomvandling av , kan de långa formlerna för transformationen av Christoffelsymbolerna i Levi-Civita-anslutningen återvinnas från de mer kortfattade transformationslagarna i anslutningsformen ovan. ${\ displaystyle E = TM}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle M}$

Parallell transport och holonomi

En anslutning på en vektor bunt definierar en begreppet parallell transport på längs en kurva i . Låt vara en smidig väg in . En del av längs sägs vara parallell om ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle E \ till M}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ gamma: [0,1] \ till M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} s = 0}$

för alla . På motsvarande sätt kan man överväga pullback -bunten av by . Detta är ett vektorglas med fiber över . Anslutningen på drar tillbaka till en anslutning på . En sektion av är parallell om och bara om . ${\ displaystyle t \ in [0,1]}$ ${\ displaystyle \ gamma ^{*} E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle E _ {\ gamma (t)}}$${\ displaystyle t \ in [0,1]}$${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ gamma ^{*} E}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ gamma ^{*} E}$${\ displaystyle \ gamma ^{*} \ nabla (s) = 0}$

Antag att det är en väg från till in . Ovanstående ekvation som definierar parallella sektioner är en första ordningens vanliga differentialekvation (jfr lokalt uttryck ovan) och har därför en unik lösning för varje eventuellt initialt tillstånd. Det vill säga, för varje vektor i det finns en unik parallell sektion av med . Definiera en parallell transportkarta${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ gamma ^{*} E}$${\ displaystyle s (0) = v}$

${\ displaystyle \ tau _ {\ gamma}: E_ {x} \ till E_ {y} \,}$

av . Det kan visas att det är en linjär isomorfism , med invers givet genom att följa samma procedur med den omvända vägen från till . ${\ displaystyle \ tau _ {\ gamma} (v) = s (1)}$${\ displaystyle \ tau _ {\ gamma}}$${\ displaystyle \ gamma ^{-}}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$

Hur man återställer det kovarianta derivatet av en anslutning från dess parallelltransport. Värdena för en sektion transporteras parallellt längs vägen tillbaka till , och sedan tas det kovarianta derivatet i det fasta vektorutrymmet, fibern över .${\ displaystyle s (\ gamma (t))}$${\ displaystyle s \ in \ Gamma (E)}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma (0) = x}$${\ displaystyle E_ {x}}$${\ displaystyle x}$

Parallelltransport kan användas för att definiera anslutningens holonomigrupp baserat på en punkt i . Detta är undergruppen som består av alla parallella transportkartor som kommer från slingor baserat på : ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ operatorname {GL} (E_ {x})}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ mathrm {Hol} _ {x} = \ {\ tau _ {\ gamma}: \ gamma {\ text {är en loop baserad på}} x \}. \,}$

En förbindelsens holonomigrupp är nära relaterad till förbindelsens krökning ( AmbroseSinger 1953 ).

Anslutningen kan återställas från sina parallelltransportoperatörer enligt följande. Om är ett vektorfält och en sektion, välj vid en punkt en integralkurva för kl . För varje kommer vi att skriva för den parallella transportkartan som reser längs från till . Speciellt för alla har vi . Sedan definierar en kurva i rymdvektor , som kan differentieras. Det kovarianta derivatet återvinns som ${\ displaystyle X \ in \ Gamma (TM)}$${\ displaystyle s \ in \ Gamma (E)}$${\ displaystyle x \ i M}$ ${\ displaystyle \ gamma: (-\ varepsilon, \ varepsilon) \ till M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t \ in (-\ varepsilon, \ varepsilon)}$${\ displaystyle \ tau _ {t}: E _ {\ gamma (t)} \ till E_ {x}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle t \ in (-\ varepsilon, \ varepsilon)}$${\ displaystyle \ tau _ {t} s (\ gamma (t)) \ i E_ {x}}$${\ displaystyle t \ mapsto \ tau _ {t} s (\ gamma (t))}$${\ displaystyle E_ {x}}$

${\ displaystyle \ nabla _ {X} s (x) = {\ frac {d} {dt}} \ vänster (\ tau _ {t} s (\ gamma (t)) \ höger) _ {t = 0} .}$

Detta visar att en motsvarande definition av en anslutning ges genom att specificera alla parallella transportisomorfier mellan fibrer av och ta ovanstående uttryck som definitionen av . ${\ displaystyle \ tau _ {\ gamma}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ nabla}$

Krökning

Den krökning av en förbindelse på en två-formen på med värden i endomorfism knippet . Det är, ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle E \ till M}$${\ displaystyle F _ {\ nabla}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ operatorname {End} (E) = E^{*} \ otimes E}$

${\ displaystyle F _ {\ nabla} \ in \ Omega ^{2} (\ mathrm {End} (E)) = \ Gamma (\ Lambda ^{2} T ^{*} M \ otimes \ mathrm {End} ( E)).}$

Det definieras av uttrycket

${\ displaystyle F _ {\ nabla} (X, Y) (s) = \ nabla _ {X} \ nabla _ {Y} s- \ nabla _ {Y} \ nabla _ {X} s- \ nabla _ {[ X, Y]} s}$

där och är tangensvektorfält på och är en sektion av . Man måste kontrollera att det är -linjärt i båda och och att det faktiskt definierar en buntendomorfism av . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F _ {\ nabla}}$${\ displaystyle C^{\ infty} (M)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle E}$

Som nämnts ovan behöver det kovarianta yttre derivatet inte kvadrera till noll när det verkar på värderade former. Operatören är dock strikt tensiell (dvs. -linjär). Detta innebär att det induceras från en 2-form med värden i . Denna 2-form är just den krökningsform som ges ovan. För en värderad form har vi ${\ displaystyle d _ {\ nabla}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle d _ {\ nabla}^{2}}$${\ displaystyle C^{\ infty} (M)}$${\ displaystyle \ operatorname {End} (E)}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle (d _ {\ nabla})^{2} \ sigma = F _ {\ nabla} \ wedge \ sigma.}$

En platt anslutning är en vars krökningsform försvinner identiskt.

Lokal form och Cartans strukturekvation

Krökningsformen har en lokal beskrivning som kallas Cartans strukturekvation . Om har lokal form på någon trivialiserande öppen delmängd för , då ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle U \ delmängd M}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle F _ {\ nabla} = dA+A \ kil A}$

på . För att klargöra denna notering, märk att det är en endomorfism-värderad enform, och så i lokala koordinater har formen av en matris av en-former. Operationen tillämpar det externa derivatet komponentmässigt på denna matris och betecknar matrismultiplikation, där komponenterna snarare är kilade än multiplicerade. ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle A \ kil A}$

I lokala koordinater på över , om anslutningsformuläret är skrivet för en samling av lokala endomorfismer , så har man ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x^{1}, \ dots, x^{n})}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle A = A _ {\ ell} dx^{\ ell} = (\ Gamma _ {\ ell i}^{\ \ j}) dx^{\ ell}}$${\ displaystyle A _ {\ ell} = (\ Gamma _ {\ ell i}^{\ \ j})}$

${\ displaystyle F _ {\ nabla} = \ sum _ {p, q = 1}^{n} {\ frac {1} {2}} \ vänster ({\ frac {\ partiell A_ {q}} {\ partiell x^{p}}}-{\ frac {\ partiell A_ {p}} {\ partiell x^{q}}}+[A_ {p}, A_ {q}] \ höger) dx^{p} \ kil dx^{q}.}$

Att ytterligare utvidga detta när det gäller Christoffelsymbolerna ger det bekanta uttrycket från Riemannian geometri. Nämligen om är en del av över , då ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ ell i}^{\ \ j}}$${\ displaystyle s = s^{i} e_ {i}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle F _ {\ nabla} (s) = \ sum _ {i, j = 1}^{k} \ sum _ {p, q = 1}^{n} {\ frac {1} {2}} \ vänster ({\ frac {\ partiell \ Gamma _ {qi}^{\ \ j}} {\ partiell x^{p}}}-{\ frac {\ partiell \ Gamma _ {pi}^{\ \ j }} {\ partiell x^{q}}}+\ Gamma _ {pr}^{\ \ j} \ Gamma _ {qi}^{\ \ r}-\ Gamma _ {qr}^{\ \ j} \ Gamma _ {pi}^{\ \ r} \ right) s^{i} dx^{p} \ kil dx^{q} \ otimes e_ {j} = \ sum _ {i, j = 1}^ {k} \ sum _ {p, q = 1}^{n} R_ {pqi}^{\ \ \ j} s^{i} dx^{p} \ wedge dx^{q} \ otimes e_ {j }.}$

Här är hela krökningstensorn av , och i Riemannian geometri skulle identifieras med Riemannian krökningstensor . ${\ displaystyle R = (R_ {pqi}^{\ \ \ j})}$${\ displaystyle F _ {\ nabla}}$

Det kan kontrolleras att om vi definierar att vara kilprodukt av former men kommutator för endomorfismer i motsats till komposition, då och med denna alternativa notering har Cartan -strukturekvationen formen ${\ displaystyle [A, A]}$${\ displaystyle A \ wedge A = {\ frac {1} {2}} [A, A]}$

${\ displaystyle F _ {\ nabla} = dA+{\ frac {1} {2}} [A, A].}$

Denna alternativa notation används vanligtvis i teorin om huvudpaketförbindelser, där vi istället använder en anslutningsform , en Lie -algebra -värderad enform, för vilken det inte finns någon uppfattning om komposition (till skillnad från i fallet med endomorfismer), men det finns är en föreställning om en Lie -fäste. ${\ displaystyle \ omega}$

I vissa referenser (se till exempel ( MadsenTornehave1997 )) kan Cartans strukturekvation skrivas med ett minustecken:

${\ displaystyle F _ {\ nabla} = dA-A \ kil A.}$