Morfism av algebraiska sorter - Morphism of algebraic varieties

I algebraisk geometri är en funktion från en kvasi-affin variant till dess underliggande fält en vanlig funktion om det för en godtycklig punkt i det finns ett öppet grannskap U runt den punkten så att f kan uttryckas med fraktion som i vilka polynom är på omgivnings affina utrymmet av sådan att h är ingenstans noll på U . En vanlig karta från en godtycklig sort till affinera rymden är en karta som ges av n-tuple av reguljära funktioner. En morfism mellan två sorter är en kontinuerlig karta som sådan att funktionen är regelbunden för varje öppen uppsättning och varje vanlig funktion som . Morfismernas sammansättning är morfismer, så de utgör en kategori . I denna kategori kallas en morfism som har en invers isomorfism . Vi säger att två sorter är isomorfa om det finns isomorfism mellan dem eller likvärdigt om deras koordinatringar är isomorfa (dvs. ) som algebror över sina underliggande fält. ${\ displaystyle f \ colon Y \ to k}$ ${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle g/h}$${\ displaystyle g, h}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {A} ^{n}}$${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle \ varphi \ kolon X \ till Y}$${\ displaystyle V \ subseteq Y}$${\ displaystyle f \ colon V \ to k}$${\ displaystyle f \ circ \ varphi \ colon \ varphi ^{-1} (V) \ to k}$${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle A (X) \ cong A (Y)}$

Silverman definierar morfism som en rationell karta som är regelbunden vid varje punkt.

Definition

Om X och Y är slutna subvarianter av och (så de är affin sorter ), så är en vanlig karta begränsningen av en polynomkarta Explicit har den formen: ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {A} ^{m}}$${\ displaystyle f \ kolon X \ till Y}$ ${\ displaystyle \ mathbb {A} ^{n} \ to \ mathbb {A} ^{m}}$

${\ displaystyle f = (f_ {1}, \ dots, f_ {m})}$

där s är i koordinatringen av X : ${\ displaystyle f_ {i}}$

${\ displaystyle k [X] = k [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]/I,}$

där I är den idealiska definierande X (notera: två polynom f och g definierar samma funktion på X om och bara om f  -  g är i I ). Bilden f ( X ) ligger i Y , och därmed uppfyller de definierande ekvationer av Y . Det vill säga en vanlig karta är densamma som begränsningen av en polynomkarta vars komponenter uppfyller de definierande ekvationerna för . ${\ displaystyle f: X \ till Y}$${\ displaystyle Y}$

Mer allmänt, en karta f : X → Y mellan två sorter är regelbunden vid en punkt x om det är en stadsdel U av x och en stadsdel V av f ( x ) så att f ( U ) ⊂ V och den begränsade funktionen f : U → V är regelbundet som en funktion på vissa affina diagram av U och V . Då f kallas regelbundet , om det är vanlig vid alla punkter i X .

• Obs: Det är inte omedelbart uppenbart att de två definitionerna sammanfaller: om X och Y är affin sorter, är en karta f : X → Y regelbunden i första bemärkelsen om och bara om det är så i den andra meningen. Det är inte heller omedelbart klart om regelbundenhet beror på ett val av affinediagram (det gör det inte.) Denna typ av konsistensfråga försvinner dock om man antar den formella definitionen. Formellt definieras en (abstrakt) algebraisk variant som en särskild typ av ett lokalt ringat utrymme . När denna definition används är en morfism av sorter bara en morfism av lokalt ringade utrymmen.

Sammansättningen av vanliga kartor är återigen vanlig; sålunda utgör algebraiska sorter kategorin av algebraiska sorter där morfismen är de vanliga kartorna.

Regelbundna kartor mellan affinsorter motsvarar kontravariant i en-till-en algebrahomomorfism mellan koordinatringarna: om f : X → Y är en morfism av affiniska sorter, definierar det algebrahomomorfismen

${\ displaystyle f^{\#}: k [Y] \ till k [X], \, g \ mapsto g \ circ f}$

var är koordinatringarna för X och Y ; det är väldefinierat eftersom det är ett polynom i element av . Omvänt, om det är en algebrahomomorfism, inducerar det morfismen ${\ displaystyle k [X], k [Y]}$${\ displaystyle g \ circ f = g (f_ {1}, \ dots, f_ {m})}$${\ displaystyle k [X]}$${\ displaystyle \ phi: k [Y] \ till k [X]}$

${\ displaystyle \ phi ^{a}: X \ till Y}$

givet av: skrift ${\ displaystyle k [Y] = k [y_ {1}, \ dots, y_ {m}]/J,}$

${\ displaystyle \ phi ^{a} = (\ phi ({\ overline {y_ {1}}}), \ dots, \ phi ({\ overline {y_ {m}}})))}$

var är bilderna på 's. Notera såväl som i synnerhet, f är en isomorfism av affina sorter om och endast om f ^# är en isomorfism av koordinatringarna. ${\ displaystyle {\ overline {y}} _ {i}}$${\ displaystyle y_ {i}}$${\ displaystyle {\ phi ^{a}} ^{\#} = \ phi}$${\ displaystyle {f^{\#}}^{a} = f.}$

Till exempel, om X är en sluten subvariety av en affin sort Y och f är inkluderandet, då f ^# är begränsningen av regelbundna funktioner på Y till X . Se #exempel nedan för fler exempel.

Vanliga funktioner

I det specifika fallet att Y är lika med A ¹ kallas den vanliga kartan f : X → A ¹ för en vanlig funktion och är algebraiska analoger av släta funktioner som studeras i differentialgeometri. Den ring av vanliga funktioner (som är den koordinat ringen eller mer abstrakt ringen av globala sektioner av strukturen bunten) är en grundläggande objekt i affine algebraisk geometri. Den enda regelbundna funktionen på en projektiv sort är konstant (detta kan ses som en algebraisk analog av Liouvilles sats i komplex analys ).

En skalär funktion f : X → A ¹ är regelbunden vid en punkt x om det i en öppen affin grannskap av x är en rationell funktion som är regelbunden vid x ; dvs det finns reguljära funktioner g , h nära x så att f = g / h och h inte försvinner vid x . Varning: villkoret gäller för ett par ( g , h ) inte för alla par ( g , h ); se exempel .

Om X är en kvasiprojektiv sort ; dvs en öppen subvariation av en projektiv sort, då är funktionsfältet k ( X ) detsamma som stängningen av X och således har en rationell funktion på X formen g / h för några homogena element g , h av samma grad i den homogena koordinatringen av (jfr Projective variety#Variety structure .) Då är en rationell funktion f på X regelbunden vid en punkt x om och bara om det finns några homogena element g , h av samma grad i sådana att f = g / h och h inte försvinner vid x . Denna karakterisering tas ibland som definitionen av en vanlig funktion. ${\ displaystyle {\ overline {X}}}$${\ displaystyle k [{\ overline {X}}]}$${\ displaystyle {\ overline {X}}}$${\ displaystyle k [{\ overline {X}}]}$

Jämförelse med en morfism av scheman

Om X = Spec A och Y = Spec B är affinescheman , bestämmer varje ringhomomorfism φ: B → A en morfism

${\ displaystyle \ phi ^{a}: X \ till Y, \, {\ mathfrak {p}} \ mapsto \ phi ^{-1} ({\ mathfrak {p}})}$

genom att ta förhandsbilder av främsta ideal . Alla morfismer mellan affina scheman är av denna typ och limning av sådana morfismer ger en morfism av scheman i allmänhet.

Nu, om X , Y är affin sorter; dvs A , B är integrerade domäner som genereras slutgiltigt av algebra över ett algebraiskt stängt fält k , då, med endast de slutna punkterna, sammanfaller ovanstående med definitionen som ges vid #Definition . (Bevis: Om f  : X → Y är en morfism, så skriver vi, vi måste visa ${\ displaystyle \ phi = f^{\#}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {f (x)} = \ phi ^{-1} ({\ mathfrak {m}} _ {x})}$

var är de maximala idealen som motsvarar punkterna x och f ( x ); dvs . Detta är omedelbart.) ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {x}, {\ mathfrak {m}} _ {f (x)}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} _ {x} = \ {g \ i k [X] \ mid g (x) = 0 \}}$

Detta faktum innebär att kategorin av affinesorter kan identifieras med en fullständig underkategori av affiniska scheman över k . Eftersom morfismer av sorter erhålls genom att limma morfismer av affinesorter på samma sätt som morfismer för scheman erhålls genom att limma morfismer av affinska scheman, följer att kategorin av sorter är en fullständig underkategori av kategorin scheman över k .

För mer information, se [1] .

Exempel

• De vanliga funktionerna på A ⁿ är exakt polynomen i n variabler och de reguljära funktionerna på P ⁿ är exakt konstanterna.
• Låt X vara affinkurvan . Sedan${\ displaystyle y = x^{2}}$
  $${\ displaystyle f: X \ to \ mathbf {A} ^{1}, \, (x, y) \ mapsto x}$$

  
  är en morfism; det är bijektiv med det inversa . Eftersom g också är en morfism är f en isomorfism av sorter.${\ displaystyle g (x) = (x, x^{2})}$
• Låt X vara affinkurvan . Sedan${\ displaystyle y^{2} = x^{3}+x^{2}}$
  $${\ displaystyle f: \ mathbf {A}^{1} \ till X, \, t \ mapsto (t^{2} -1, t^{3} -t)}$$

  
  är en morfism. Det motsvarar ringhomomorfismen
  $${\ displaystyle f^{\#}: k [X] \ till k [t], \, g \ mapsto g (t^{2} -1, t^{3} -t),}$$

  
  som ses vara injektiv (eftersom f är surjektiv).
• Låt U = A ¹  - {1} fortsätta med föregående exempel . Eftersom U är komplementet till hyperplanet t = 1 är U affint. Begränsningen är bijektiv. Men motsvarande ringhomomorfism är inkluderingen , som inte är en isomorfism och så begränsningen f | _U är inte en isomorfism.${\ displaystyle f: U \ till X}$${\ displaystyle k [X] = k [t^{2} -1, t^{3} -t] \ hookrightarrow k [t, (t-1)^{-1}]}$
• Låt X vara affinkurvan x ² + y ² = 1 och låt
  $${\ displaystyle f (x, y) = {1-y \ över x}.}$$

  
  Då f är en rationell funktion på X . Det är regelbundet vid (0, 1) trots uttrycket eftersom f , som en rationell funktion på X , också kan skrivas som .${\ displaystyle f (x, y) = {x \ över 1+y}}$
• Låt X = A ² - (0, 0) . Då är X en algebraisk variant eftersom det är en öppen delmängd av en sort. Om f är en vanlig funktion på X , så är f regelbunden på och så är in . På samma sätt är det i . Således kan vi skriva:${\ displaystyle D _ {\ mathbf {A} ^{2}} (x) = \ mathbf {A} ^{2}-\ {x = 0 \}}$${\ displaystyle k [D _ {\ mathbf {A} ^{2}} (x)] = k [\ mathbf {A} ^{2}] [x ^{-1}] = k [x, x ^{ -1}, y]}$${\ displaystyle k [x, y, y^{-1}]}}$
  $${\ displaystyle f = {g \ över x^{n}} = {h \ över y^{m}}}$$

  
  där g , h är polynom i k [ x , y ]. Men detta innebär att g är delbart med x ⁿ och så är f i själva verket ett polynom. Därför är ringen av reguljära funktioner på X bara k [ x , y ]. (Detta visar också att X inte kan vara affin eftersom X om det vore bestäms av dess koordinatring och därmed X = A ^2. )
• Antag att genom att identifiera punkterna ( x  : 1) med punkterna x på A ¹ och ∞ = (1: 0). Det finns en automorfism σ av P ¹ ges av E (x: y) = (y: x); i synnerhet σ byter 0 och ∞. Om f är en rationell funktion på P ¹ , då${\ displaystyle \ mathbf {P} ^{1} = \ mathbf {A} ^{1} \ cup \ {\ infty \}}$
  $${\ displaystyle \ sigma ^{\#} (f) = f (1/z)}$$

  
  och f är regelbundet vid ∞ om och bara om f (1/ z ) är regelbundet vid noll.
• Med funktionsfältet k ( V ) för en oreducerbar algebraisk kurva V kan funktionerna F i funktionsfältet alla realiseras som morfismer från V till den projektiva linjen över k . (jfr #Properties ) Bilden kommer antingen att vara en enda punkt, eller hela den projektiva raden (detta är en konsekvens av att projektiva sorter är fullständiga ). Det vill säga, om F är faktiskt konstant måste vi attribut till F värdet ∞ på vissa ställen i V .
• För alla algebraiska sorter X , Y , projektionen
  $${\ displaystyle p: X \ gånger Y \ till X, \, (x, y) \ mapsto x}$$

  
  är en morfism av sorter. Om X och Y är affina är motsvarande ringhomomorfism
  $${\ displaystyle p^{\#}: k [X] \ till k [X \ gånger Y] = k [X] \ otimes _ {k} k [Y], \, f \ mapsto f \ otimes 1}$$

  
  var .${\ displaystyle (f \ otimes 1) (x, y) = f (p (x, y)) = f (x)}$

Egenskaper

En morfism mellan sorter är kontinuerlig med avseende på Zariskis topologier på källan och målet.

Bilden av en morfism av sorter behöver inte vara öppen eller sluten (till exempel är bilden varken öppen eller sluten). Men man kan fortfarande säga: om f är en morfism mellan sorter, innehåller bilden av f en öppen tät delmängd av dess stängning. (jfr konstruerbar uppsättning .) ${\ displaystyle \ mathbf {A} ^{2} \ to \ mathbf {A} ^{2}, \, (x, y) \ mapsto (x, xy)}$

En morfism f : X → Y av algebraiska sorter sägs vara dominerande om den har tät bild. För ett sådant f , om V är en icke -ledig öppen affin delmängd av Y , så finns det en icke -fri öppen affin delmängd U av X så att f ( U ) ⊂ V och sedan är injektiv. Således inducerar den dominerande kartan f en injektion på funktionsfälten: ${\ displaystyle f^{\#}: k [V] \ till k [U]}$

${\ displaystyle k (Y) = \ varinjlim k [V] \ hookrightarrow k (X), \, g \ mapsto g \ circ f}$

där gränsen löper över alla nonempty öppna affina delmängder av Y . (Mer abstrakt, detta är den inducerade karta från återstoden fältet av generisk punkt av Y med den för X .) Omvänt, varje inkludering av fält induceras av en dominant rationell karta från X till Y . Därför bestämmer ovanstående konstruktion en kontravariant-ekvivalens mellan kategorin algebraiska sorter över ett fält k och dominerande rationella kartor mellan dem och kategorin slutligt genererad fältförlängning av k . ${\ displaystyle k (Y) \ hookrightarrow k (X)}$

Om X är en slät komplett kurva (till exempel P ¹ ) och om f är en rationell karta från X till ett projektivt utrymme P ^m , är f en vanlig karta X → P ^m . I synnerhet, när X är en jämn komplett kurva, någon rationell funktion på X kan ses som en morfism X → P ¹ och, omvänt, en sådan morfism såsom en rationell funktion på X .

På en vanlig sort (i synnerhet en slät sort ) är en rationell funktion regelbunden om och bara om den inte har några poler av kodimension en. Detta är en algebraisk analog av Hartogs förlängningssats . Det finns också en relativ version av detta faktum; se [2] .

En morfism mellan algebraiska sorter som är en homeomorfism mellan de underliggande topologiska utrymmena behöver inte vara en isomorfism (ett motexempel ges av en Frobenius -morfism .) Å andra sidan, om f är bijektiv birational och målrummet för f är en normal sort , då är f biregulärt. (jfr Zariskis huvudsats .) ${\ displaystyle t \ mapsto t^{p}}$

En vanlig karta mellan komplexa algebraiska sorter är en holomorf karta . (Det finns faktiskt en liten teknisk skillnad: en vanlig karta är en meromorf karta vars singulära punkter är borttagbara , men skillnaden ignoreras vanligtvis i praktiken.) I synnerhet är en vanlig karta till de komplexa talen bara en vanlig holomorf funktion (komplex -analytisk funktion).

Morfismer till ett projektivt utrymme

Låta

${\ displaystyle f: X \ to \ mathbf {P} ^{m}}$

vara en morfism från en projektiv sort till ett projektivt utrymme. Låt x vara en punkt X . Då är någon i: e homogena koordinat för f ( x ) icke -noll; säg, i = 0 för enkelhetens skull. Sedan, genom kontinuitet, finns det en öppen affin grannskap U av x så att

${\ displaystyle f: U \ to \ mathbf {P} ^{m}-\ {y_ {0} = 0 \}}$

är en morfism, där y _i är de homogena koordinaterna. Observera att målutrymmet är affinutrymmet A ^m genom identifieringen . Således, per definition, begränsningen f | _U ges av ${\ displaystyle (a_ {0}: \ dots: a_ {m}) = (1: a_ {1}/a_ {0}: \ dots: a_ {m}/a_ {0}) \ sim (a_ {1 }/a_ {0}, \ dots, a_ {m}/a_ {0})}$

${\ displaystyle f | _ {U} (x) = (g_ {1} (x), \ dots, g_ {m} (x))}$

där g _I 's är vanliga funktioner på U . Eftersom X är projektiva, varje g _jag är en bråkdel av homogena element i samma grad i den homogena koordinaten ringen k [ X ] av X . Vi kan ordna fraktionerna så att de alla har samma homogen nämnare säger f ₀ . Sedan kan vi skriva g _i = f _i / f ₀ för några homogena element f _i är i k [ X ]. Gå därför tillbaka till de homogena koordinaterna,

${\ displaystyle f (x) = (f_ {0} (x): f_ {1} (x): \ dots: f_ {m} (x))}$

för alla x i U och genom kontinuitet för alla x i X så länge f _i inte försvinner vid x samtidigt. Om de försvinner samtidigt vid en punkt x av X , kan du genom ovanstående procedur välja en annan uppsättning f _i som inte försvinner vid x samtidigt (se Obs i slutet av avsnittet.)

Faktum är att ovanstående beskrivning är giltig för varje kvasiprojektiv sort X , en öppen delvariant av en projektiv sort ; skillnaden är att f _i är i den homogena koordinatringen av . ${\ displaystyle {\ overline {X}}}$${\ displaystyle {\ overline {X}}}$

Obs! Ovanstående säger inte att en morfism från en projektiv variant till ett projektivt utrymme ges av en enda uppsättning polynom (till skillnad från affinfallet). Till exempel, låt X vara konen i P ² . Sedan två kartor och enas om den öppna delmängden av X (sedan ) och definierar så en morfism . ${\ displaystyle y^{2} = xz}$${\ displaystyle (x: y: z) \ mapsto (x: y)}$${\ displaystyle (x: y: z) \ mapsto (y: z)}$${\ displaystyle \ {(x: y: z) \ i X \ mid x \ neq 0, z \ neq 0 \}}$${\ displaystyle (x: y) = (xy: y^{2}) = (xy: xz) = (y: z)}$${\ displaystyle f: X \ to \ mathbf {P} ^{1}}$

Fibrer av en morfism

Det viktiga faktum är:

I Mumfords röda bok bevisas satsen med Noeters normaliseringslemma . För ett algebraiskt tillvägagångssätt där den generiska friheten spelar en huvudroll och begreppet " universellt kopplingsring " är en nyckel i beviset, se Eisenbud, Ch. 14 i "Kommutativ algebra med tanke på algebraisk geometri." Faktum är att beviset där visar att om f är platt , så gäller dimensionens likhet i satsen i allmänhet (inte bara generellt).

Grad av en ändlig morfism

Låt f : X → Y vara en ändlig surjektiv morfism mellan algebraiska sorter över ett fält k . Per definition är sedan graden av f graden av den ändliga fältförlängningen av funktionsfältet k ( X ) över f ^* k ( Y ). Genom generisk frihet finns det en viss undantagen öppen delmängd U i Y så att begränsningen av strukturskivan O _X till f ⁻¹ ( U ) är fri som O _Y | _U -modul . Graden av f är då också rankningen av denna fria modul.

Om f är étalt och om X , Y är fullständiga , då för alla koherenta skivor F på Y , skriver χ för Euler -karakteristiken,

${\ displaystyle \ chi (f^{*} F) = \ deg (f) \ chi (F).}$

( Riemann – Hurwitz -formeln för en förgrenad täckning visar att "étalet" här inte kan utelämnas.)

I allmänhet, om f är en begränsad surjektiv morfism, om X , Y är fullständiga och F en koherent skiva på Y , så får man från Leray -spektralsekvensen : ${\ displaystyle \ operatorname {H}^{p} (Y, R^{q} f _ {*} f^{*} F) \ Rightarrow \ operatorname {H}^{p+q} (X, f^{ *} F)}$

${\ displaystyle \ chi (f^{*} F) = \ sum _ {q = 0}^{\ infty} (-1)^{q} \ chi (R^{q} f _ {*} f^{ *} F).}$

I synnerhet om F är en tensoreffekt i ett linjebunt, då och eftersom stödet för har positiv kodimension om q är positivt, jämför de ledande termerna, har man: ${\ displaystyle L^{\ otimes n}}$${\ displaystyle R^{q} f _ {*} (f^{*} F) = R^{q} f _ {*} {\ mathcal {O}} _ {X} \ otimes L^{\ otimes n} }$${\ displaystyle R^{q} f _ {*} {\ mathcal {O}} _ {X}}$

${\ displaystyle \ operatorname {deg} (f^{*} L) = \ operatorname {deg} (f) \ operatorname {deg} (L)}$

(eftersom den generiska rankningen av är graden av f .) ${\ displaystyle f _ {*} {\ mathcal {O}} _ {X}}$

Om f är étal och k är algebraiskt stängd, består varje geometrisk fiber f ⁻¹ ( y ) exakt av deg ( f ) punkter.

Se även

• Algebraisk funktion
• Smidig morfism
• Étale morphisms - Den algebraiska analogen av lokala diffeomorfismer .
• Upplösning av singulariteter
• sammandragningsmorfism

Anteckningar

Citat

Referenser