Пиши - Writhe

В теории узлов существует несколько конкурирующих понятий количества корч , или Wr . В каком-то смысле это чисто свойство ориентированной диаграммы связей и предполагает целочисленные значения. В другом смысле, это величина, которая описывает степень "свертывания" математического узла (или любой замкнутой простой кривой ) в трехмерном пространстве и принимает в качестве значений действительные числа . В обоих случаях изгиб является геометрической величиной, что означает, что при деформации кривой (или диаграммы) таким образом, чтобы не изменить ее топологию, можно все же изменить ее изгиб.

Написание диаграмм ссылок

В теории узлов изгиб - это свойство ориентированной диаграммы связей . Корча - это общее количество положительных пересечений минус общее количество отрицательных пересечений.

Направление связи назначается в точке в каждом компоненте, и это направление отслеживается на всем протяжении каждого компонента. Для каждого пересечения, которое встречается при движении в этом направлении, если нижняя нить идет справа налево, пересечение положительно; если нижняя нить идет слева направо, пересечение отрицательное. Один из способов запомнить это - использовать вариант правила правой руки .

Положительное пересечение		Отрицательное пересечение

Для узловой диаграммы использование правила правой руки с любой ориентацией дает тот же результат, поэтому изгиб хорошо определен на неориентированных узловых диаграммах.

Движение Рейдемейстера типа I изменяет корч на 1

На извилистость узла не влияют два из трех движений Рейдемейстера : движения Типа II и Типа III не влияют на извилистость. Райдемейстер ход типа I, однако, увеличивает или уменьшает корчиться на 1. Это означает , что корчится сучка не изотопический инвариант самого узла - только схема. Посредством серии ходов типа I можно задать изгиб диаграммы для данного узла как любое целое число.

Написание замкнутой кривой

Writhe также является свойством узла, представленного в виде кривой в трехмерном пространстве. Строго говоря, узел - это такая кривая, математически определяемая как вложение круга в трехмерное евклидово пространство R ³ . Рассматривая кривую с разных точек обзора, можно получить разные проекции и нарисовать соответствующие диаграммы узлов . Его Wr (в смысле пространственной кривой) равно среднему значению интегральной корки, полученной из проекций со всех точек обзора. Следовательно, корч в этой ситуации может принимать любое действительное число в качестве возможного значения.

Мы можем вычислить Wr с помощью интеграла . Позвольте быть гладкой, простой, замкнутой кривой и пусть и быть точками на . Тогда корча равна интегралу Гаусса ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {2}}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle Wr = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {C} \ int _ {C} d \ mathbf {r} _ {1} \ times d \ mathbf {r} _ {2 } \ cdot {\ frac {\ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2}} {\ left | \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2} \ right | ^ {3}}}}$.

Численная аппроксимация интеграла Гаусса для изгиба кривой в пространстве

Поскольку изгиб кривой в пространстве определяется как двойной интеграл , мы можем приблизить его значение численно, сначала представив нашу кривую как конечную цепочку отрезков линии. Процедура, которая была впервые предложена Левиттом для описания сворачивания белка, а затем использована Клениным и Ланговски для суперспиральной ДНК, заключается в вычислении ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle Wr = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ sum _ {j = 1} ^ {N} {\ frac {\ Omega _ {ij}} {4 \ pi}} = 2 \ sum _ {i = 2} ^ {N} \ sum _ {j <i} {\ frac {\ Omega _ {ij}} {4 \ pi}}}$

где - точное вычисление двойного интеграла по отрезкам и ; обратите внимание, что и . ${\ displaystyle \ Omega _ {ij} / {4 \ pi}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle \ Omega _ {ij} = \ Omega _ {ji}}$${\ Displaystyle \ Omega _ {я, я + 1} = \ Omega _ {II} = 0}$

Чтобы оценить данные сегменты, пронумерованные и , пронумеруйте конечные точки двух сегментов 1, 2, 3 и 4. Позвольте быть вектором, который начинается в конечной точке и заканчивается в конечной точке . Определите следующие количества: ${\ displaystyle \ Omega _ {ij} / {4 \ pi}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle r_ {pq}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle n_ {1} = {\ frac {r_ {13} \ times r_ {14}} {\ left | r_ {13} \ times r_ {14} \ right |}}, \; n_ {2} = {\ frac {r_ {14} \ times r_ {24}} {\ left | r_ {14} \ times r_ {24} \ right |}}, \; n_ {3} = {\ frac {r_ {24}) \ times r_ {23}} {\ left | r_ {24} \ times r_ {23} \ right |}}, \; n_ {4} = {\ frac {r_ {23} \ times r_ {13}} { \ left | r_ {23} \ times r_ {13} \ right |}}}$

Затем мы вычисляем

${\ Displaystyle \ Omega ^ {*} = \ arcsin \ left (n_ {1} \ cdot n_ {2} \ right) + \ arcsin \ left (n_ {2} \ cdot n_ {3} \ right) + \ arcsin \ left (n_ {3} \ cdot n_ {4} \ right) + \ arcsin \ left (n_ {4} \ cdot n_ {1} \ right).}$

Наконец, мы компенсируем возможную разность знаков и делим на, чтобы получить ${\ displaystyle 4 \ pi}$

${\ displaystyle {\ frac {\ Omega} {4 \ pi}} = {\ frac {\ Omega ^ {*}} {4 \ pi}} {\ text {sign}} \ left (\ left (r_ {34 } \ times r_ {12} \ right) \ cdot r_ {13} \ right).}$

Кроме того, другие методы расчета корки могут быть полностью описаны математически и алгоритмически, некоторые из них превосходят метод, описанный выше (который имеет квадратичную вычислительную сложность, имея линейную сложность).

Воспроизвести медиа

Моделирование упругого стержня, снимающего скручивающие напряжения путем формирования витков.

Приложения в топологии ДНК

ДНК будет скручиваться при скручивании, как резиновый шланг или веревка, и именно поэтому биоматематики используют количество изгибов, чтобы описать степень деформации фрагмента ДНК в результате этого скручивающего напряжения. В общем, это явление образования спиралей из-за корки называется суперспирализацией ДНК и является довольно обычным явлением, и на самом деле у большинства организмов ДНК имеет отрицательную суперспирализацию.

Любой эластичный стержень, а не только ДНК, снимает скручивающее напряжение путем скручивания, при этом стержень одновременно раскручивается и сгибается. Ф. Брок Фуллер математически показывает, как «упругая энергия из-за местного скручивания стержня может быть уменьшена, если центральная кривая стержня образует катушки, увеличивающие его число изгибов».

Смотрите также

• Суперспирализация ДНК
• Ссылочный номер
• Теория ленты
• Твист (математика)
• Номер обмотки

использованная литература

дальнейшее чтение

• Адамс, Колин (2004), Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3678-1