Writhe - Writhe

În teoria nodurilor , există mai multe noțiuni concurente ale cantității de wrhe , sau Wr . Într-un sens, este pur o proprietate a unei diagrame de legături orientate și își asumă valori întregi . Într-un alt sens, este o cantitate care descrie cantitatea de "înfășurare" a unui nod matematic (sau a oricărei curbe simple închise ) în spațiul tridimensional și își asumă numerele reale ca valori. În ambele cazuri, rezistența este o mărime geometrică, ceea ce înseamnă că, în timp ce deformează o curbă (sau o diagramă) în așa fel încât să nu-și schimbe topologia, se poate schimba încă rezistența.

Scrierea diagramelor de legături

În teoria nodurilor , zdrobirea este o proprietate a unei diagrame de legături orientate . Răsucirea este numărul total de treceri pozitive minus numărul total de traversări negative.

O direcție este atribuită legăturii într-un punct din fiecare componentă și această direcție este urmărită până la capăt în jurul fiecărei componente. Pentru fiecare traversare se întâlnește în timp ce călătoriți în această direcție, dacă firul de dedesubt merge de la dreapta la stânga, traversarea este pozitivă; dacă firul inferior merge de la stânga la dreapta, traversarea este negativă. Un mod de a ne aminti acest lucru este să folosim o variație a regulii de la dreapta .

Traversare pozitivă		Trecere negativă

Pentru o diagramă de noduri, utilizarea regulii de la dreapta cu oricare orientare oferă același rezultat, astfel încât strâmbătura este bine definită pe diagrame de nod neorientate.

O mișcare de tip I Reidemeister modifică frânarea cu 1

Răsucirea unui nod nu este afectată de două dintre cele trei mișcări ale lui Reidemeister : mișcările de tipul II și tipul III nu afectează frânarea. Cu toate acestea, mișcarea Reidemeister de tip I mărește sau micșorează frânarea cu 1. Aceasta implică faptul că frânarea unui nod nu este o invariantă izotopică a nodului în sine - doar diagrama. Printr-o serie de mișcări de tip I se poate seta fracțiunea unei diagrame pentru un nod dat să fie orice număr întreg.

Scrierea unei curbe închise

Writhe este, de asemenea, o proprietate a unui nod reprezentat ca o curbă în spațiul tridimensional. Strict vorbind, un nod este o astfel de curbă, definită matematic ca încorporarea unui cerc în spațiul euclidian tridimensional , R ³ . Vizualizând curba din diferite puncte de observație, se pot obține proiecții diferite și desena diagramele de nod corespunzătoare . Wr-ul său (în sensul curbei spațiale) este egal cu media valorilor integrale de strângere obținute din proiecțiile din toate punctele de vedere. Prin urmare, stresul în această situație poate lua orice număr real ca valoare posibilă.

Putem calcula Wr cu o integrală . Să fie o curbă netedă, simplă, închisă și să fie și să fie puncte . Atunci zdrobirea este egală cu integrala Gauss ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {2}}$${\ displaystyle C}$

${\ displaystyle Wr = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {C} \ int _ {C} d \ mathbf {r} _ {1} \ times d \ mathbf {r} _ {2 } \ cdot {\ frac {\ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2}} {\ left | \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2} \ dreapta | ^ {3}}}}$.

Aproximarea numerică a integralei Gauss pentru fracțiunea unei curbe în spațiu

Deoarece strâmbarea unei curbe în spațiu este definită ca o integrală dublă , putem aproxima valoarea acesteia numeric reprezentând mai întâi curba noastră ca un lanț finit de segmente de linie. O procedură care a fost derivată mai întâi de Levitt pentru descrierea plierii proteinelor și folosită ulterior pentru ADN supraînfășurat de Klenin și Langowski este de a calcula ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle Wr = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ sum _ {j = 1} ^ {N} {\ frac {\ Omega _ {ij}} {4 \ pi}} = 2 \ sum _ {i = 2} ^ {N} \ sum _ {j <i} {\ frac {\ Omega _ {ij}} {4 \ pi}}}$

unde este evaluarea exactă a integralei duble peste segmente de linie și ; rețineți că și . ${\ displaystyle \ Omega _ {ij} / {4 \ pi}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle \ Omega _ {ij} = \ Omega _ {ji}}$${\ displaystyle \ Omega _ {i, i + 1} = \ Omega _ {ii} = 0}$

Pentru a evalua pentru anumite segmente numerotate și , numerotați punctele finale ale celor două segmente 1, 2, 3 și 4. Fie vectorul care începe la punctul final și se termină la punctul final . Definiți următoarele cantități: ${\ displaystyle \ Omega _ {ij} / {4 \ pi}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle r_ {pq}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle n_ {1} = {\ frac {r_ {13} \ times r_ {14}} {\ left | r_ {13} \ times r_ {14} \ right |}}, \; n_ {2} = {\ frac {r_ {14} \ times r_ {24}} {\ left | r_ {14} \ times r_ {24} \ right |}}, \; n_ {3} = {\ frac {r_ {24} \ times r_ {23}} {\ left | r_ {24} \ times r_ {23} \ right |}}, \; n_ {4} = {\ frac {r_ {23} \ times r_ {13}} { \ left | r_ {23} \ times r_ {13} \ right |}}}$

Apoi calculăm

${\ displaystyle \ Omega ^ {*} = \ arcsin \ left (n_ {1} \ cdot n_ {2} \ right) + \ arcsin \ left (n_ {2} \ cdot n_ {3} \ right) + \ arcsin \ left (n_ {3} \ cdot n_ {4} \ right) + \ arcsin \ left (n_ {4} \ cdot n_ {1} \ right).}$

În cele din urmă, compensăm posibila diferență de semn și împărțim la pentru a obține ${\ displaystyle 4 \ pi}$

${\ displaystyle {\ frac {\ Omega} {4 \ pi}} = {\ frac {\ Omega ^ {*}} {4 \ pi}} {\ text {sign}} \ left (\ left (r_ {34 } \ times r_ {12} \ right) \ cdot r_ {13} \ right).}$

În plus, alte metode de calcul al fracțiunii pot fi descrise pe deplin matematic și algoritmic, unele dintre ele depășind metoda de mai sus (care are complexitate de calcul pătratică, având complexitate liniară).

Redați conținut media

O simulare a unei tije elastice care ameliorează stresul de torsiune prin formarea bobinelor

Aplicații în topologia ADN-ului

ADN-ul se va înfășura atunci când este răsucit, la fel ca un furtun de cauciuc sau o frânghie, și de aceea biomatematicienii folosesc cantitatea de stricăciune pentru a descrie cantitatea de ADN deformată ca urmare a acestui stres torsional. În general, acest fenomen de formare a bobinelor datorită zdrobirii este denumit supraîncărcare ADN și este destul de obișnuit și, de fapt, în majoritatea organismelor ADN-ul este supraînfășurat negativ.

Orice tijă elastică, nu doar ADN, ameliorează stresul de torsiune prin înfășurare, acțiune care simultan derulează și îndoaie tija. F. Brock Fuller arată matematic cum „energia elastică datorată răsucirii locale a tijei poate fi redusă dacă curba centrală a tijei formează bobine care îi cresc numărul de strivire”.

Vezi si

• Supraîncărcarea ADN-ului
• Număr de legătură
• Teoria panglicii
• Twist (matematică)
• Număr de înfășurare

Referințe

Lecturi suplimentare

• Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3678-1