Writhe - Writhe

Na teoria do nó , existem várias noções concorrentes da quantidade se contorcendo , ou Wr . Em certo sentido, é puramente uma propriedade de um diagrama de link orientado e assume valores inteiros . Em outro sentido, é uma quantidade que descreve a quantidade de "enrolamento" de um nó matemático (ou qualquer curva simples fechada ) no espaço tridimensional e assume números reais como valores. Em ambos os casos, contorção é uma quantidade geométrica, o que significa que ao deformar uma curva (ou diagrama) de forma que não mude sua topologia, ainda se pode mudar sua contorção.

Criação de diagramas de links

Na teoria do nó , a contorção é uma propriedade de um diagrama de ligação orientado . A contorção é o número total de cruzamentos positivos menos o número total de cruzamentos negativos.

Uma direção é atribuída ao link em um ponto em cada componente e essa direção é seguida ao redor de cada componente. Para cada cruzamento que se cruza ao viajar nesta direção, se a vertente por baixo for da direita para a esquerda, o cruzamento é positivo; se a vertente inferior vai da esquerda para a direita, o cruzamento é negativo. Uma maneira de lembrar isso é usar uma variação da regra da mão direita .


Cruzamento positivo		Cruzamento negativo

Para um diagrama de nó, usar a regra da mão direita com qualquer orientação dá o mesmo resultado, então a contorção é bem definida em diagramas de nó não orientados.

Um movimento Reidemeister Tipo I altera a contorção em 1

A contorção de um nó não é afetada por dois dos três movimentos do Reidemeister : movimentos do Tipo II e Tipo III não afetam a contorção. O movimento Reidemeister Tipo I, entretanto, aumenta ou diminui a contorção em 1. Isso implica que a contorção de um nó não é uma invariante isotópica do próprio nó - apenas o diagrama. Por uma série de movimentos do Tipo I, pode-se definir a contorção de um diagrama para um determinado nó como qualquer inteiro.

Escrito de uma curva fechada

Writhe também é uma propriedade de um nó representado como uma curva no espaço tridimensional. A rigor, um nó é essa curva, definida matematicamente como o encaixe de um círculo no espaço euclidiano tridimensional , R ³ . Ao visualizar a curva de diferentes pontos de vista, pode-se obter diferentes projeções e desenhar os diagramas de nós correspondentes . Seu Wr (no sentido de curva de espaço) é igual à média dos valores de contorção integral obtidos a partir das projeções de todos os pontos de observação. Portanto, contorcer-se nesta situação pode assumir qualquer número real como um valor possível.

Podemos calcular Wr com uma integral . Let Ser uma curva suave, simples e fechada e let and be points on . Então a contorção é igual à integral de Gauss ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {2}}$ ${\ displaystyle C}$

{\ displaystyle Wr = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {C} \ int _ {C} d \ mathbf {r} _ {1} \ times d \ mathbf {r} _ {2 } \ cdot {\ frac {\ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2}} {\ left | \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2} \ right | ^ {3}}}}

.

Aproximando numericamente a integral de Gauss para contorção de uma curva no espaço

Como a contorção de uma curva no espaço é definida como uma integral dupla , podemos aproximar seu valor numericamente, primeiro representando nossa curva como uma cadeia finita de segmentos de linha. Um procedimento que foi inicialmente derivado por Levitt para a descrição do dobramento de proteínas e mais tarde usado para DNA superenrolado por Klenin e Langowski é calcular ${\ displaystyle N}$

{\ displaystyle Wr = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ sum _ {j = 1} ^ {N} {\ frac {\ Omega _ {ij}} {4 \ pi}} = 2 \ sum _ {i = 2} ^ {N} \ sum _ {j <i} {\ frac {\ Omega _ {ij}} {4 \ pi}}}

onde está a avaliação exata da integral dupla sobre os segmentos de linha e ; observe que e . ${\ displaystyle \ Omega _ {ij} / {4 \ pi}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {ij} = \ Omega _ {ji}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {i, i + 1} = \ Omega _ {ii} = 0}$

Para avaliar para determinados segmentos numerados e , numere os pontos finais dos dois segmentos 1, 2, 3 e 4. Let Ser o vetor que começa no ponto final e termina no ponto final . Defina as seguintes quantidades: ${\ displaystyle \ Omega _ {ij} / {4 \ pi}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle r_ {pq}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$

{\ displaystyle n_ {1} = {\ frac {r_ {13} \ vezes r_ {14}} {\ left | r_ {13} \ times r_ {14} \ right |}}, \; n_ {2} = {\ frac {r_ {14} \ times r_ {24}} {\ left | r_ {14} \ times r_ {24} \ right |}}, \; n_ {3} = {\ frac {r_ {24} \ times r_ {23}} {\ left | r_ {24} \ times r_ {23} \ right |}}, \; n_ {4} = {\ frac {r_ {23} \ times r_ {13}} { \ left | r_ {23} \ times r_ {13} \ right |}}}

Então nós calculamos

{\ displaystyle \ Omega ^ {*} = \ arcsin \ left (n_ {1} \ cdot n_ {2} \ right) + \ arcsin \ left (n_ {2} \ cdot n_ {3} \ right) + \ arcsin \ left (n_ {3} \ cdot n_ {4} \ right) + \ arcsin \ left (n_ {4} \ cdot n_ {1} \ right).}

Finalmente, compensamos a possível diferença de sinal e dividimos por para obter ${\ displaystyle 4 \ pi}$

{\ displaystyle {\ frac {\ Omega} {4 \ pi}} = {\ frac {\ Omega ^ {*}} {4 \ pi}} {\ text {sinal}} \ left (\ left (r_ {34 } \ times r_ {12} \ right) \ cdot r_ {13} \ right).}

Além disso, outros métodos para calcular contorção podem ser totalmente descritos matematicamente e algoritmicamente, alguns deles superam o método acima (que tem complexidade computacional quadrática, por ter complexidade linear).

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Uma simulação de uma haste elástica aliviando a tensão de torção por meio da formação de bobinas

Aplicações em topologia de DNA

O DNA se enrola quando torcido, assim como uma mangueira de borracha ou uma corda, e é por isso que os biomatemáticos usam a quantidade de contorção para descrever a quantidade de deformação de um pedaço de DNA como resultado desse estresse de torção. Em geral, esse fenômeno de formação de bobinas devido à contorção é conhecido como superenrolamento de DNA e é bastante comum, e de fato, na maioria dos organismos, o DNA é superenrolado negativamente.

Qualquer haste elástica, não apenas o DNA, alivia o estresse de torção enrolando-se, uma ação que simultaneamente destorce e dobra a haste. F. Brock Fuller mostra matematicamente como a “energia elástica devido à torção local da barra pode ser reduzida se a curva central da barra formar espirais que aumentam seu número de contorções”.

Veja também

Referências

Leitura adicional

Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3678-1

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