Vrid - Writhe

I knudeori er der flere konkurrerende forestillinger om mængden vrider sig , eller Wr . I én forstand er det rent en egenskab af en orienteret link diagram og antager helt tal værdier. I en anden forstand er det en mængde, der beskriver mængden af "coiling" af en matematisk knude (eller en lukket simpel kurve ) i tredimensionelt rum og antager reelle tal som værdier. I begge tilfælde er vridning en geometrisk størrelse, hvilket betyder, at mens man deformerer en kurve (eller et diagram) på en sådan måde, at den ikke ændrer dens topologi, kan man stadig ændre dens vridning.

Vridning af linkdiagrammer

I knude teori , at vride er en egenskab ved en orienteret link diagram. Vridningen er det samlede antal positive krydsninger minus det samlede antal negative krydsninger.

En retning tildeles linket på et tidspunkt i hver komponent, og denne retning følges hele vejen rundt om hver komponent. For hvert kryds kommer man på tværs, mens man rejser i denne retning, hvis strengen nedenunder går fra højre til venstre, er overgangen positiv; hvis den nederste streng går fra venstre mod højre, er krydset negativt. En måde at huske dette på er at bruge en variation af højre håndsregel .


Positiv krydsning		Negativ krydsning

For et knudediagram giver det samme resultat at bruge højre regel med begge retninger det samme resultat, så vriden er veldefineret på uorienterede knudediagrammer.

Et Type I Reidemeister -træk ændrer vriden med 1

En knobs vridning påvirkes ikke af to af de tre Reidemeister -træk : træk af type II og type III påvirker ikke vriden. Reidemeister -bevægelse Type I øger eller formindsker vredet dog med 1. Dette indebærer, at en knobs vridning ikke er en isotopi -invariant af selve knuden - kun diagrammet. Ved en række type I -bevægelser kan man indstille vridningen af et diagram for en given knude til overhovedet at være et heltal.

Vridning af en lukket kurve

Writhe er også en egenskab af en knude repræsenteret som en kurve i tredimensionelt rum. Strengt taget er en knude en sådan kurve, matematisk defineret som en indlejring af en cirkel i det tredimensionelle euklidiske rum, R ³ . Ved at se kurven fra forskellige udsigtspunkter kan man få forskellige fremspring og tegne de tilsvarende knudediagrammer . Dens Wr (i rumkurveforstand) er lig med gennemsnittet af de integrerede vrideværdier opnået fra fremskrivningerne fra alle udsigtspunkter. Derfor kan vred i denne situation antage ethvert reelt tal som en mulig værdi.

Vi kan beregne Wr med en integral . Lad være en glat, enkel, lukket kurve og lad og være punkter på . Så er vriden lig med Gauss -integralet ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {2}}$ ${\ displaystyle C}$

{\ displaystyle Wr = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {C} \ int _ {C} d \ mathbf {r} _ {1} \ gange d \ mathbf {r} _ {2 } \ cdot {\ frac {\ mathbf {r} _ {1}-\ mathbf {r} _ {2}} {\ venstre | \ mathbf {r} _ {1}-\ mathbf {r} _ {2} \ højre |^{3}}}}

.

Numerisk tilnærmelse af Gauss -integralen til vridning af en kurve i rummet

Da vridning for en kurve i rummet er defineret som et dobbeltintegral , kan vi tilnærme dens værdi numerisk ved først at repræsentere vores kurve som en endelig kæde af linjesegmenter. En procedure, der først blev udledt af Levitt til beskrivelsen af proteinfoldning og senere brugt til supercoiled DNA af Klenin og Langowski, er at beregne ${\ displaystyle N}$

{\ displaystyle Wr = \ sum _ {i = 1}^{N} \ sum _ {j = 1}^{N} {\ frac {\ Omega _ {ij}} {4 \ pi}} = 2 \ sum _ {i = 2}^{N} \ sum _ {j <i} {\ frac {\ Omega _ {ij}} {4 \ pi}}}

hvor er den nøjagtige evaluering af det dobbelte integrale over linjesegmenter og ; bemærk at og . ${\ displaystyle \ Omega _ {ij}/{4 \ pi}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {ij} = \ Omega _ {ji}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {i, i+1} = \ Omega _ {ii} = 0}$

For at evaluere for givne segmenter nummereret og nummerere slutpunkterne for de to segmenter 1, 2, 3 og 4. Lad være vektoren, der begynder ved slutpunktet og slutter ved slutpunktet . Definer følgende mængder: ${\ displaystyle \ Omega _ {ij}/{4 \ pi}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle j}$ ${\ displaystyle r_ {pq}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$

{\ displaystyle n_ {1} = {\ frac {r_ {13} \ gange r_ {14}} {\ venstre | r_ {13} \ gange r_ {14} \ højre |}}, \; n_ {2} = {\ frac {r_ {14} \ gange r_ {24}} {\ venstre | r_ {14} \ gange r_ {24} \ højre |}}, \; n_ {3} = {\ frac {r_ {24} \ gange r_ {23}} {\ venstre | r_ {24} \ gange r_ {23} \ højre |}}, \; n_ {4} = {\ frac {r_ {23} \ gange r_ {13}} { \ venstre | r_ {23} \ gange r_ {13} \ højre |}}}

Så regner vi ud

{\ displaystyle \ Omega ^{*} = \ arcsin \ left (n_ {1} \ cdot n_ {2} \ right)+\ arcsin \ left (n_ {2} \ cdot n_ {3} \ right)+\ arcsin \ venstre (n_ {3} \ cdot n_ {4} \ højre)+\ arcsin \ venstre (n_ {4} \ cdot n_ {1} \ højre).}

Endelig kompenserer vi for den mulige tegnforskel og deler med at opnå ${\ displaystyle 4 \ pi}$

{\ displaystyle {\ frac {\ Omega} {4 \ pi}} = {\ frac {\ Omega ^{*}} {4 \ pi}} {\ tekst {tegn}} \ venstre (\ venstre (r_ {34 } \ gange r_ {12} \ højre) \ cdot r_ {13} \ højre).}

Derudover kan andre metoder til beregning af vridning beskrives fuldstændigt matematisk og algoritmisk, nogle af dem overgår metoden ovenfor (som har kvadratisk beregningskompleksitet ved at have lineær kompleksitet).

Afspil medier

En simulering af en elastisk stang, der lindrer torsionsspænding ved at danne spoler

Ansøgninger inden for DNA -topologi

DNA vil spole, når det er snoet, ligesom en gummislange eller et reb vil, og det er derfor, biomatikere bruger mængden af vride til at beskrive den mængde, et stykke DNA deformeres som følge af denne torsionsspænding. Generelt omtales dette fænomen om dannelse af spoler på grund af vridning som DNA -supercoiling og er ganske almindeligt, og faktisk er DNA i de fleste organismer negativt supercoiled.

Enhver elastisk stang, ikke kun DNA, lindrer vridningsspænding ved at spole, en handling, der samtidigt afvikler og bøjer stangen. F. Brock Fuller viser matematisk, hvordan den "elastiske energi på grund af lokal vridning af stangen kan reduceres, hvis stangens centrale kurve danner spoler, der øger dets vridningstal".

Se også

Referencer

Yderligere læsning

Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3678-1

Languages

In other projects