Retorcerse - Writhe

En la teoría de nudos , hay varias nociones en competencia de la cantidad retorcida , o Wr . En cierto sentido, es puramente una propiedad de un diagrama de enlace orientado y asume valores enteros . En otro sentido, es una cantidad que describe la cantidad de "enrollamiento" de un nudo matemático (o cualquier curva simple cerrada ) en un espacio tridimensional y asume números reales como valores. En ambos casos, retorcerse es una cantidad geométrica, lo que significa que mientras se deforma una curva (o diagrama) de tal manera que no cambia su topología, se puede cambiar su retorcimiento.

Escritura de diagramas de enlaces

En la teoría de nudos , el retorcimiento es una propiedad de un diagrama de enlace orientado . El retorcimiento es el número total de cruces positivos menos el número total de cruces negativos.

Se asigna una dirección al enlace en un punto de cada componente y esta dirección se sigue en todo el contorno de cada componente. Por cada cruce que uno encuentra mientras viaja en esta dirección, si el hilo de abajo va de derecha a izquierda, el cruce es positivo; si la hebra inferior va de izquierda a derecha, el cruce es negativo. Una forma de recordar esto es usar una variación de la regla de la mano derecha .

Cruce positivo		Cruce negativo

Para un diagrama de nudos, el uso de la regla de la derecha con cualquier orientación da el mismo resultado, por lo que el retorcimiento está bien definido en los diagramas de nudos no orientados.

Un movimiento de Reidemeister Tipo I cambia el retorcimiento en 1

El retorcimiento de un nudo no se ve afectado por dos de los tres movimientos de Reidemeister : los movimientos de Tipo II y Tipo III no afectan el retorcimiento. Sin embargo, el movimiento de Reidemeister Tipo I aumenta o disminuye el retorcimiento en 1. Esto implica que el retorcimiento de un nudo no es una isotopía invariante del nudo en sí, solo el diagrama. Mediante una serie de movimientos de Tipo I, se puede establecer que el retorcimiento de un diagrama para un nudo dado sea cualquier número entero.

Retorcerse de una curva cerrada

Retorcerse también es una propiedad de un nudo representado como una curva en un espacio tridimensional. Estrictamente hablando, un nudo es una curva de este tipo, definida matemáticamente como la incrustación de un círculo en el espacio euclidiano tridimensional , R ³ . Al ver la curva desde diferentes puntos de vista, se pueden obtener diferentes proyecciones y dibujar los diagramas de nudos correspondientes . Su Wr (en el sentido de la curva espacial) es igual al promedio de los valores de retorcimiento integral obtenidos de las proyecciones desde todos los puntos de vista. Por lo tanto, retorcerse en esta situación puede tomar cualquier número real como valor posible.

Podemos calcular Wr con una integral . Sea una curva suave, simple y cerrada y sea y sea ​​puntos . Entonces el retorcimiento es igual a la integral de Gauss ${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {1}}$${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {2}}$${\ Displaystyle C}$

${\ Displaystyle Wr = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {C} \ int _ {C} d \ mathbf {r} _ {1} \ times d \ mathbf {r} _ {2 } \ cdot {\ frac {\ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2}} {\ left | \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2} \ right | ^ {3}}}}$.

Aproximación numérica de la integral de Gauss para el retorcimiento de una curva en el espacio

Dado que retorcerse para una curva en el espacio se define como una integral doble , podemos aproximar su valor numéricamente representando primero nuestra curva como una cadena finita de segmentos de línea. Un procedimiento que fue derivado por primera vez por Levitt para la descripción del plegamiento de proteínas y luego utilizado para el ADN superenrollado por Klenin y Langowski es calcular ${\ Displaystyle N}$

${\ Displaystyle Wr = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \ sum _ {j = 1} ^ {N} {\ frac {\ Omega _ {ij}} {4 \ pi}} = 2 \ sum _ {i = 2} ^ {N} \ sum _ {j <i} {\ frac {\ Omega _ {ij}} {4 \ pi}}}$

donde es la evaluación exacta de la integral doble sobre segmentos de línea y ; tenga en cuenta eso y . ${\ Displaystyle \ Omega _ {ij} / {4 \ pi}}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle j}$${\ Displaystyle \ Omega _ {ij} = \ Omega _ {ji}}$${\ Displaystyle \ Omega _ {i, i + 1} = \ Omega _ {ii} = 0}$

Para evaluar segmentos dados numerados y , numere los puntos finales de los dos segmentos 1, 2, 3 y 4. Sea el vector que comienza en el punto final y termina en el punto final . Defina las siguientes cantidades: ${\ Displaystyle \ Omega _ {ij} / {4 \ pi}}$${\ Displaystyle i}$${\ Displaystyle j}$${\ Displaystyle r_ {pq}}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle q}$

${\ Displaystyle n_ {1} = {\ frac {r_ {13} \ times r_ {14}} {\ left | r_ {13} \ times r_ {14} \ right |}}, \; n_ {2} = {\ frac {r_ {14} \ times r_ {24}} {\ left | r_ {14} \ times r_ {24} \ right |}}, \; n_ {3} = {\ frac {r_ {24} \ times r_ {23}} {\ left | r_ {24} \ times r_ {23} \ right |}}, \; n_ {4} = {\ frac {r_ {23} \ times r_ {13}} { \ left | r_ {23} \ times r_ {13} \ right |}}}$

Entonces calculamos

${\ Displaystyle \ Omega ^ {*} = \ arcsin \ left (n_ {1} \ cdot n_ {2} \ right) + \ arcsin \ left (n_ {2} \ cdot n_ {3} \ right) + \ arcsin \ left (n_ {3} \ cdot n_ {4} \ right) + \ arcsin \ left (n_ {4} \ cdot n_ {1} \ right).}$

Finalmente, compensamos la posible diferencia de signo y dividimos entre para obtener ${\ Displaystyle 4 \ pi}$

${\ displaystyle {\ frac {\ Omega} {4 \ pi}} = {\ frac {\ Omega ^ {*}} {4 \ pi}} {\ text {sign}} \ left (\ left (r_ {34 } \ times r_ {12} \ right) \ cdot r_ {13} \ right).}$

Además, otros métodos para calcular la deformación se pueden describir completamente matemáticamente y algorítmicamente, algunos de ellos superan al método anterior (que tiene complejidad computacional cuadrática, al tener complejidad lineal).

Reproducir medios

Una simulación de una barra elástica que alivia la tensión de torsión mediante la formación de bobinas.

Aplicaciones en topología de ADN

El ADN se enrolla cuando se retuerce, al igual que lo hace una manguera de goma o una cuerda, y es por eso que los biomatemáticos usan la cantidad de retorcimiento para describir la cantidad de deformación de un fragmento de ADN como resultado de esta tensión de torsión. En general, este fenómeno de formación de espirales debido a la torsión se conoce como superenrollamiento del ADN y es bastante común, y de hecho, en la mayoría de los organismos, el ADN está superenrollado negativamente.

Cualquier barra elástica, no solo el ADN, alivia la tensión de torsión enrollando, una acción que simultáneamente desenrolla y dobla la barra. F. Brock Fuller muestra matemáticamente cómo la “energía elástica debida a la torsión local de la varilla puede reducirse si la curva central de la varilla forma espirales que aumentan su número de contorsiones”.

Ver también

• Superenrollamiento de ADN
• Número de enlace
• Teoría de la cinta
• Twist (matemáticas)
• Número de bobinado

Referencias

Otras lecturas

• Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3678-1