Wij się - Writhe

W teorii węzłów istnieje kilka konkurujących ze sobą pojęć ilości wijących się lub Wr . W pewnym sensie jest to czysto właściwością zorientowanego łącza diagramu i zakłada całkowitą wartości. W innym sensie jest to wielkość, która opisuje wielkość „zwijania” węzła matematycznego (lub dowolnej zamkniętej prostej krzywej ) w przestrzeni trójwymiarowej i przyjmuje liczby rzeczywiste jako wartości. W obu przypadkach skręcenie jest wielkością geometryczną, co oznacza, że odkształcając krzywą (lub wykres) w sposób nie zmieniający jej topologii, można jeszcze zmienić jej skręcenie.

Wiją się diagramy linków

W teorii węzłów The wykręcać jest własnością zorientowanego łącza diagramu. Zawijanie się to całkowita liczba krzyżowań dodatnich minus całkowita liczba krzyżowań ujemnych.

Kierunek jest przypisywany do łącza w punkcie w każdym komponencie i ten kierunek jest przestrzegany przez całą drogę wokół każdego komponentu. Dla każdego skrzyżowania, na które natrafia się podróżując w tym kierunku, jeśli pasmo poniżej biegnie od prawej do lewej, skrzyżowanie jest dodatnie; jeśli dolna nić biegnie od lewej do prawej, skrzyżowanie jest ujemne. Jednym ze sposobów na zapamiętanie tego jest użycie odmiany reguły prawej ręki .


Pozytywne przejście		Negatywne przejście

W przypadku diagramu węzłów użycie reguły prawej ręki z dowolną orientacją daje ten sam wynik, więc zawijanie jest dobrze zdefiniowane na diagramach węzłów niezorientowanych.

Ruch Reidemeistera typu I zmienia wigor o 1

Na wicie węzła nie mają wpływu dwa z trzech ruchów Reidemeistera : ruchy Typu II i Typu III nie wpływają na wicie. Ruch Reidemeistera Typ I zwiększa lub zmniejsza skręcenie o 1. Oznacza to, że skręcenie węzła nie jest niezmiennikiem izotopowym samego węzła — tylko diagram. Za pomocą serii ruchów Typu I można ustawić wicie diagramu tak, aby dany węzeł był w ogóle dowolną liczbą całkowitą.

Wiją się zamkniętej krzywej

Writhe jest również właściwością węzła reprezentowanego jako krzywa w przestrzeni trójwymiarowej. Ściśle mówiąc, węzeł jest taką krzywą, zdefiniowaną matematycznie jako osadzenie koła w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, R ³ . Obserwując krzywą z różnych punktów obserwacyjnych, można uzyskać różne rzuty i narysować odpowiadające im diagramy węzłów . Jej Wr (w sensie krzywej przestrzennej) jest równe średniej wartości całkowitych wijących się uzyskanych z rzutów ze wszystkich punktów obserwacyjnych. W związku z tym wijąca się w tej sytuacji może przyjąć dowolną liczbę rzeczywistą jako możliwą wartość.

Możemy obliczyć Wr z całki . Niech będzie gładką, prostą, zamkniętą krzywą i niech i będzie punktami na . Wtedy wicie jest równe całce Gaussa ${\ Displaystyle C}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {2}}$ ${\ Displaystyle C}$

{\ Displaystyle Wr = {\ Frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {C} \ int _ {C} d \ mathbf {R} _ {1} \ razy d \ mathbf {R} _ {2 }\cdot {\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{\left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2} \prawo|^{3}}}}

.

Numerycznie aproksymacja całki Gaussa dla skręcenia krzywej w przestrzeni

Ponieważ skręcanie dla krzywej w przestrzeni jest zdefiniowane jako całka podwójna , możemy przybliżyć jej wartość liczbowo, najpierw przedstawiając naszą krzywą jako skończony łańcuch odcinków linii. Procedura, która została po raz pierwszy opracowana przez Levitta do opisu fałdowania białek, a później użyta do superskręconego DNA przez Klenina i Langowskiego, polega na obliczeniu ${\ Displaystyle N}$

{\ Displaystyle Wr = \ suma _ {i = 1} ^ {N} \ suma _ {j = 1} ^ {N} {\ Frac {\ Omega _ {ij}} {4 \ pi}} = 2 \ suma _{i=2}^{N}\sum _{j<i}{\frac {\Omega _{ij}}{4\pi }}}

gdzie jest dokładna ocena całki podwójnej po odcinkach i ; zwróć uwagę na to i . ${\ Displaystyle \ Omega _ {ij} / {4 \ pi}}$ $i$ $j$ ${\ Displaystyle \ Omega _ {ij} = \ Omega _ {ji}}$ ${\ Displaystyle \ Omega _ {i, i + 1} = \ Omega _ {ii} = 0}$

Aby obliczyć dla danych segmentów o numerach i , ponumeruj punkty końcowe dwóch segmentów 1, 2, 3 i 4. Niech będzie wektorem, który zaczyna się w punkcie końcowym i kończy w punkcie końcowym . Zdefiniuj następujące ilości: ${\ Displaystyle \ Omega _ {ij} / {4 \ pi}}$ $i$ $j$ $r_{pq}$ $p$ $q$

{\ Displaystyle n_ {1} = {\ Frac {R_ {13} \ razy R_ {14}} {\ lewo | r_ {13} \ razy R_ {14} \ po prawej |}} \; n_ {2} = {\frac {r_{14}\times r_{24}}{\left|r_{14}\times r_{24}\right|}},\;n_{3}={\frac {r_{24} \times r_{23}}{\left|r_{24}\times r_{23}\right|}},\;n_{4}={\frac {r_{23}\times r_{13}}{ \left|r_{23}\times r_{13}\right|}}}

Następnie obliczamy

{\ Displaystyle \ Omega ^ {*} = \ Arcsin \ po lewej (n_ {1} \ cdot n_ {2} \ po prawej) + \ Arcsin \ po lewej (n_ {2} \ cdot n_ {3} \ po prawej) + \ arcsin \left(n_{3}\cdot n_{4}\right)+\arcsin \left(n_{4}\cdot n_{1}\right).}

Na koniec kompensujemy możliwą różnicę znaków i dzielimy przez, aby uzyskać $4\pi$

{\ Displaystyle {\ Frac {\ Omega {4 \ pi}} = {\ Frac {\ Omega ^ {*}} {4 \ pi}} \ tekst {znak}} \ lewo (\ lewo (r_ {34) }\times r_{12}\right)\cdot r_{13}\right).}

Ponadto inne metody obliczania with można w pełni opisać matematycznie i algorytmicznie, niektóre z nich przewyższają powyższą metodę (która ma kwadratową złożoność obliczeniową, ponieważ ma złożoność liniową).

Odtwórz multimedia

Symulacja sprężystego pręta łagodzącego naprężenia skręcające poprzez formowanie zwojów

Zastosowania w topologii DNA

DNA zwija się po skręceniu, podobnie jak gumowy wąż lub lina, i dlatego biomatematycy używają ilości wicia do opisania stopnia deformacji fragmentu DNA w wyniku tego naprężenia skręcającego. Ogólnie rzecz biorąc, to zjawisko formowania się cewek w wyniku skręcania jest określane jako superzwijanie DNA i jest dość powszechne, aw rzeczywistości w większości organizmów DNA jest superzwijany ujemnie.

Każdy elastyczny pręt, nie tylko DNA, łagodzi naprężenia skręcające poprzez zwijanie, czynność, która jednocześnie rozkręca i wygina pręt. F. Brock Fuller pokazuje matematycznie, w jaki sposób „energia sprężystości spowodowana lokalnym skręceniem pręta może zostać zmniejszona, jeśli środkowa krzywa pręta utworzy zwoje zwiększające jego liczbę skręceń”.

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

Adams, Colin (2004), The Knot Book: elementarne wprowadzenie do matematycznej teorii węzłów , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 978-0-8218-3678-1

Languages

In other projects