winden - Writhe

In der Knotentheorie gibt es mehrere konkurrierende Begriffe der Quantität Krümmung oder Wr . In gewisser Hinsicht ist es eine reine Eigenschaft eines orientierten Verbindungsdiagramms und nimmt ganzzahlige Werte an. In einem anderen Sinne ist es eine Größe, die das Ausmaß der "Aufwicklung" eines mathematischen Knotens (oder einer beliebigen geschlossenen einfachen Kurve ) im dreidimensionalen Raum beschreibt und reelle Zahlen als Werte annimmt. In beiden Fällen ist Krümmung eine geometrische Größe, d. h. man kann eine Kurve (oder ein Diagramm) so verformen, dass ihre Topologie nicht geändert wird, aber dennoch ihre Krümmung.

Schreiben von Link-Diagrammen

In der Knotentheorie ist die Krümmung eine Eigenschaft eines orientierten Verbindungsdiagramms . Die Krümmung ist die Gesamtzahl der positiven Kreuzungen minus der Gesamtzahl der negativen Kreuzungen.

An einem Punkt in jeder Komponente wird dem Link eine Richtung zugewiesen und diese Richtung wird um jede Komponente herum verfolgt. Für jede Kreuzung, auf die man beim Fahren in dieser Richtung stößt, ist die Kreuzung positiv, wenn der darunter liegende Strang von rechts nach links verläuft; geht der untere Strang von links nach rechts, ist die Kreuzung negativ. Eine Möglichkeit, sich daran zu erinnern, besteht darin, eine Variation der Regel für die rechte Hand zu verwenden .

Positive Kreuzung		Negative Kreuzung

Bei einem Knotendiagramm führt die Verwendung der Rechte-Hand-Regel mit beiden Ausrichtungen zum gleichen Ergebnis, sodass die Krümmung bei unorientierten Knotendiagrammen gut definiert ist.

Ein Reidemeister-Zug Typ I ändert die Krümmung um 1

Die Krümmung eines Knotens wird von zwei der drei Reidemeister-Züge nicht beeinflusst: Züge vom Typ II und Typ III beeinflussen die Krümmung nicht. Reidemeister-Bewegungen Typ I, jedoch erhöht oder verringert die writhe um 1. Dies bedeutet , dass die writhe eines Knotens ist nicht eine Isotopie invariant des Knotens selbst - nur das Diagramm. Durch eine Reihe von Bewegungen vom Typ I kann man die Krümmung eines Diagramms für einen gegebenen Knoten auf eine beliebige ganze Zahl setzen.

Krümmung einer geschlossenen Kurve

Writhe ist auch eine Eigenschaft eines Knotens, der als Kurve im dreidimensionalen Raum dargestellt wird. Streng genommen ist ein Knoten eine solche Kurve, mathematisch definiert als Einbettung eines Kreises in den dreidimensionalen euklidischen Raum R ³ . Durch Betrachten der Kurve aus verschiedenen Blickwinkeln kann man verschiedene Projektionen erhalten und die entsprechenden Knotendiagramme zeichnen . Sein Wr (im Sinne der Raumkurve) ist gleich dem Durchschnitt der integralen Writhe-Werte, die aus den Projektionen von allen Aussichtspunkten erhalten werden. Daher kann Writhe in dieser Situation jede beliebige reelle Zahl als möglichen Wert annehmen .

Wir können Wr mit einem Integral berechnen . Seien eine glatte, einfache, geschlossene Kurve und seien und seien Punkte auf . Dann ist die Krümmung gleich dem Gauß-Integral ${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle Wr={\frac {1}{4\pi}}\int _{C}\int _{C}d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2 }\cdot {\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{\left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2} \right|^{3}}}}$.

Numerische Approximation des Gauß-Integrals für die Krümmung einer Kurve im Raum

Da Krümmung für eine Kurve im Raum als Doppelintegral definiert ist , können wir ihren Wert numerisch annähern, indem wir unsere Kurve zunächst als endliche Kette von Liniensegmenten darstellen. Ein Verfahren, das zuerst von Levitt zur Beschreibung der Proteinfaltung abgeleitet und später von Klenin und Langowski für supercoiled DNA verwendet wurde, ist die Berechnung ${\displaystyle N}$

${\displaystyle Wr=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}{\frac {\Omega_{ij}}{4\pi}}=2\sum _{i=2}^{N}\sum _{j<i}{\frac {\Omega_{ij}}{4\pi}}}$

wo ist die genaue Auswertung des Doppelintegrals über Liniensegmente und ; beachte das und . ${\displaystyle \Omega_{ij}/{4\pi}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \Omega_{ij}=\Omega_{ji}}$${\displaystyle \Omega_{i,i+1}=\Omega_{ii}=0}$

Um die gegebenen Segmente mit den Nummern und auszuwerten , nummerieren Sie die Endpunkte der beiden Segmente 1, 2, 3 und 4. Sei der Vektor, der am Endpunkt beginnt und am Endpunkt endet . Definieren Sie folgende Mengen: ${\displaystyle \Omega_{ij}/{4\pi}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle r_{pq}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle n_{1}={\frac {r_{13}\times r_{14}}{\left|r_{13}\times r_{14}\right|}},\;n_{2}= {\frac {r_{14}\mal r_{24}}{\links|r_{14}\mal r_{24}\rechts|}},\;n_{3}={\frac {r_{24} \times r_{23}}{\left|r_{24}\times r_{23}\right|}},\;n_{4}={\frac {r_{23}\times r_{13}}{ \left|r_{23}\times r_{13}\right|}}}$

Dann berechnen wir

${\displaystyle \Omega^{*}=\arcsin\left(n_{1}\cdot n_{2}\right)+\arcsin\left(n_{2}\cdot n_{3}\right)+\arcsin \left(n_{3}\cdot n_{4}\right)+\arcsin\left(n_{4}\cdot n_{1}\right).}$

Schließlich kompensieren wir die mögliche Vorzeichendifferenz und dividieren durch , um zu erhalten ${\displaystyle 4\pi}$

${\displaystyle {\frac {\Omega }{4\pi}}={\frac {\Omega^{*}}{4\pi}}{\text{Zeichen}}\left(\left(r_{34 }\times r_{12}\right)\cdot r_{13}\right).}$

Darüber hinaus können andere Verfahren zum Berechnen von Krümmung vollständig mathematisch und algorithmisch beschrieben werden, einige von ihnen übertreffen das obige Verfahren (das eine quadratische Rechenkomplexität aufweist, indem sie eine lineare Komplexität aufweist).

Medien abspielen

Eine Simulation eines elastischen Stabes, der Torsionsspannungen durch Bildung von Spulen abbaut

Anwendungen in der DNA-Topologie

DNA windet sich beim Verdrehen , genau wie ein Gummischlauch oder ein Seil, und deshalb verwenden Biomathematiker die Größe der Krümmung, um zu beschreiben, um wie viel ein Stück DNA durch diese Torsionsspannung verformt wird. Im Allgemeinen wird dieses Phänomen der Bildung von Windungen aufgrund von Krümmung als DNA-Supercoiling bezeichnet und ist ziemlich üblich, und tatsächlich ist die DNA in den meisten Organismen negativ supercoiling.

Jeder elastische Stab, nicht nur DNA, baut Torsionsspannungen durch Aufrollen ab, eine Aktion, die den Stab gleichzeitig aufdreht und biegt. F. Brock Fuller zeigt mathematisch, wie die „elastische Energie aufgrund lokaler Verwindung des Stabes reduziert werden kann, wenn die zentrale Krümmung des Stabes Windungen bildet, die seine Krümmungszahl erhöhen“.

Siehe auch

• DNA-Supercoiling
• Verknüpfungsnummer
• Bandtheorie
• Twist (Mathematik)
• Wicklungsnummer

Verweise

Weiterlesen

• Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots , American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3678-1