Funcție cu valoare reală - Real-valued function

Masa măsurată în grame este o funcție de la această colecție de greutate la numere reale pozitive . Termenul „ funcție de greutate ”, o aluzie la acest exemplu, este folosit în matematica pură și aplicată.

În matematică, o funcție cu valoare reală este o funcție ale cărei valori sunt numere reale . Cu alte cuvinte, este o funcție care atribuie un număr real fiecărui membru al domeniului său .

Funcțiile cu valori reale ale unei variabile reale (denumite în mod obișnuit funcții reale ) și funcțiile cu valori reale ale mai multor variabile reale sunt obiectul principal de studiu al calculului și, mai general, analiza reală . În special, multe spații funcționale constau în funcții cu valoare reală.

Structura algebrică

Fie ansamblul tuturor funcțiilor de la un set $X$ la numere reale . Deoarece este un câmp , poate fi transformat într-un spațiu vectorial și o algebră comutativă peste reali cu următoarele operații: ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X, {\ mathbb {R}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X, {\ mathbb {R}})}$

${\ displaystyle f + g: x \ mapsto f (x) + g (x)}$ - adaos vectorial
${\ displaystyle \ mathbf {0}: x \ mapsto 0}$ - identitate aditivă
${\ displaystyle cf: x \ mapsto cf (x), \ quad c \ in \ mathbb {R}}$ - multiplicare scalară
${\ displaystyle fg: x \ mapsto f (x) g (x)}$ - multiplicare în sens punctual

Aceste operații se extind la funcții parțiale de la $X$ la cu restricția că funcțiile parțiale $f$ $+$ $g$ și $f$ $g$ sunt definite numai dacă domeniile lui $f$ și $g$ au o intersecție neocupată; în acest caz, domeniul lor este intersecția domeniilor $f$ și $g$ . ${\ displaystyle \ mathbb {R},}$

De asemenea, deoarece este un set ordonat, există o ordine parțială ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ f \ leq g \ quad \ iff \ quad \ forall x: f (x) \ leq g (x),}$

pe care face un inel parțial ordonat . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X, {\ mathbb {R}}),}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X, {\ mathbb {R}})}$

Măsurabil

Σ-algebra de seturi Borel este o structură importantă pe numere reale. Dacă $X$ are σ-algebră și o funcție $f$ este astfel încât preimaginea $f -1 (B)$ a oricărui set Borel $B$ aparține acelei σ-algebre, atunci se spune că $f$ este măsurabilă . Funcțiile măsurabile formează, de asemenea, un spațiu vectorial și o algebră, așa cum s-a explicat mai sus în § Structura algebrică .

Mai mult, un set (familie) de funcții cu valoare reală pe $X$ poate defini de fapt o σ-algebră pe $X$ generată de toate imaginile anterioare ale tuturor seturilor Borel (sau numai de intervale , nu este important). Acesta este modul în care apar ge-algebrele în teoria probabilității ( lui Kolmogorov ) , unde funcțiile cu valoare reală pe spațiul eșantionului $Ω$ sunt variabile aleatorii cu valoare reală .

Continuu

Numerele reale formează un spațiu topologic și un spațiu metric complet . Funcțiile continue cu valoare reală (ceea ce implică faptul că $X$ este un spațiu topologic) sunt importante în teoriile spațiilor topologice și ale spațiilor metrice . De valoare extremă teorema statelor că pentru orice funcție continuă reală pe un spațiu compact , sa globală minimă maximă și exista.

Conceptul de spațiu metric în sine este definit cu o funcție valorică reală a două variabile, metrica , care este continuă. Spațiul funcțiilor continue pe un spațiu compact Hausdorff are o importanță deosebită. Secvențele convergente pot fi, de asemenea, considerate ca funcții continue cu valoare reală pe un spațiu topologic special.

Funcțiile continue formează, de asemenea, un spațiu vectorial și o algebră, așa cum s-a explicat mai sus în § Structura algebrică , și sunt o subclasă de funcții măsurabile, deoarece orice spațiu topologic are σ-algebră generată de seturi deschise (sau închise).

Neted

Numerele reale sunt folosite ca codomain pentru a defini funcții uniforme. Un domeniu al unei funcții reale netede poate fi spațiul de coordonate reale (care dă o funcție reală multivariabilă ), un spațiu vector topologic , un subset deschis al acestora sau o varietate netedă .

Spațiile funcțiilor netede sunt, de asemenea, spații vectoriale și algebre, așa cum s-a explicat mai sus în § Structura algebrică și sunt sub spații ale spațiului funcțiilor continue .

Apariții în teoria măsurii

O măsură pe un set este o funcționalitate non-negativă cu valoare reală pe o σ-algebră de subseturi. Spațiile L ^p pe seturi cu o măsură sunt definite din funcțiile măsurabile cu valoare reală menționate mai sus , deși sunt de fapt spații cotiente . Mai precis, în timp ce o funcție care îndeplinește o condiție de sumabilitate adecvată definește un element de spațiu L ^p , în direcția opusă pentru orice $f \in L p (X)$ și $x \in X$ care nu este un atom , valoarea $f (x)$ este nedefinită . Deși, spațiile L ^p cu valoare reală au încă o parte din structura descrisă mai sus în § Structura algebrică . Fiecare dintre spațiile L ^p este un spațiu vectorial și are o ordine parțială și există o multiplicare punctuală a „funcțiilor” care schimbă $p$ , și anume

{\ displaystyle \ cdot: L ^ {1 / \ alpha} \ times L ^ {1 / \ beta} \ to L ^ {1 / (\ alpha + \ beta)}, \ quad 0 \ leq \ alpha, \ beta \ leq 1, \ quad \ alpha + \ beta \ leq 1.}

De exemplu, produsul punctual al două funcții L ² aparține lui L ¹ .

Alte apariții

Alte contexte în care se folosesc funcții cu valoare reală și proprietățile lor speciale includ funcții monotonice (pe mulțimi ordonate ), funcții convexe (pe spații vectoriale și afine ), funcții armonice și subarmonice (pe varietăți Riemanniene ), funcții analitice (de obicei de unul sau mai multe variabile reale), funcții algebrice (pe soiuri algebrice reale ) și polinoame (a uneia sau mai multor variabile reale).

Vezi si

Analiză reală
Ecuații diferențiale parțiale , un utilizator major al funcțiilor cu valoare reală
Normă (matematică)
Scalar (matematică)

Note de subsol

Referințe

Apostol, Tom M. (1974). Analiza matematică (ediția a II-a). Addison – Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1 .
Gerald Folland , Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Ediția a doua, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0 .
Rudin, Walter (1976). Principiile analizei matematice (ed. A III-a). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8 .

linkuri externe

Weisstein, Eric W. „Funcția reală” . MathWorld .

Languages

In other projects