Todella arvostettu toiminto - Real-valued function

Massa mitataan grammoina on funktio tästä kokoelmasta painoa positiivisia reaalilukuja. Termiä " painofunktio ", viittauksena tähän esimerkkiin, käytetään puhtaassa ja sovelletussa matematiikassa.

Matematiikassa reaaliarvoinen funktio on funktio, jonka arvot ovat reaalilukuja . Toisin sanoen se on funktio, joka antaa todellisen numeron jokaiselle toimialueen jäsenelle .

Reaalimuuttujan reaaliarvotut toiminnot (joita kutsutaan yleisesti todellisiksi funktioiksi ) ja useiden reaalimuuttujien reaaliarvotut funktiot ovat laskennan ja yleisemmin todellisen analyysin pääkohde . Erityisesti monet funktiotilat koostuvat reaaliarvoisista funktioista.

Algebrallinen rakenne

Antaa on asettanut kaikki toiminnot alkaen joukon $X$ reaaliluvuiksi . Koska on kenttä , siitä voidaan tehdä vektoritila ja kommutatiivinen algebra reaalien yli seuraavilla operaatioilla: ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X, {\ mathbb {R}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X, {\ mathbb {R}})}$

${\ displaystyle f + g: x \ mapsto f (x) + g (x)}$ - vektorilisäys
${\ displaystyle \ mathbf {0}: x \ mapsto 0}$ - additiivinen identiteetti
${\ displaystyle cf: x \ mapsto cf (x), \ quad c \ sisään \ mathbb {R}}$ - skalaarinen kertolasku
${\ displaystyle fg: x \ mapsto f (x) g (x)}$ - pistekertainen kertolasku

Nämä toiminnot ulottuvat osittaisfunktio mistä $X$ ja sillä rajoituksella, että osittaisfunktio $f$ $+$ $g$ ja $f$ $g$ on määritelty vain, jos domeenit on $f$ ja $g$ on ei-tyhjä risteys; tässä tapauksessa niiden domeeni on $f: n$ ja $g:$ n domeenien leikkauspiste . ${\ displaystyle \ mathbb {R},}$

Lisäksi koska järjestetty sarja on osittainen järjestys ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ f \ leq g \ quad \ iff \ quad \ forall x: f (x) \ leq g (x),}$

siitä mikä tekee osittain järjestetty renkaan . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X, {\ mathbb {R}}),}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X, {\ mathbb {R}})}$

Mitattavissa

Σ-algebran ja Borel sarjaa on tärkeä rakenne todellinen määrä. Jos $X:$ llä on σ-algebra ja funktio $f$ on sellainen, että minkä tahansa Borel-joukon $B$ preimage $f -1 (B)$ kuuluu kyseiseen σ-algebraan, $f: n$ sanotaan olevan mitattavissa . Mitattavat funktiot muodostavat myös vektoriavaruuden ja algebran, kuten yllä kohdassa Algebraattinen rakenne on selitetty .

Lisäksi, joukko (perhe) reaaliarvoisten toimintoja, $X$ voi itse määritellä σ-algebra $X$ syntyy kaikki preimages kaikki Borel sarjaa (tai välein vain, se ei ole tärkeää). Tällä tavalla σ-algebrat syntyvät ( Kolmogorovin ) todennäköisyysteoriassa , jossa näytetilan $Ω$ reaaliarvotut funktiot ovat reaaliarvotettuja satunnaismuuttujia .

Jatkuva

Reaaliluvut muodostavat topologisen avaruuden ja täydellisen metrisen avaruuden . Jatkuvat reaaliarvotut toiminnot (mikä tarkoittaa, että $X$ on topologinen tila) ovat tärkeitä topologisten tilojen ja metristen tilojen teorioissa . Weierstrassin lause todetaan, että mitään todellista jatkuva funktio on kompakti tila globaalia suurin ja pienin poistumisensa.

Itse metrisen avaruuden käsite määritetään kahden muuttujan, metriikan , reaaliarvotetulla toiminnolla , joka on jatkuva. Tilaa jatkuva toimintoja kompakti Hausdorff tila on erityisen tärkeää. Konvergentteja sekvenssejä voidaan myös pitää todellisuudessa arvostettuina jatkuvina funktioina erityisessä topologisessa tilassa.

Jatkuvat funktiot muodostavat myös vektoriavaruuden ja algebran, kuten edellä kohdassa Algebrallinen rakenne on selitetty , ja ovat mitattavien toimintojen alaluokka, koska missä tahansa topologisessa avaruudessa on σ-algebra, jonka muodostavat avoimet (tai suljetut) joukot.

Sileä

Reaalilukuja käytetään koodidomeenina sujuvien toimintojen määrittelemiseksi. Todellisen sileän funktion toimialue voi olla todellinen koordinaatitila (joka tuottaa todellisen monivaihtelevan funktion ), topologinen vektoriavaruus , niiden avoin osajoukko tai sileä jakotukki .

Sileiden funktioiden tilat ovat myös vektoritiloja ja algebroja, kuten edellä kohdassa Algebrallinen rakenne on selitetty, ja ovat jatkuvien funktioiden avaruuden alatiloja .

Ulkonäkö mittateoriassa

Joukon mitta on ei-negatiivinen reaaliarvoinen funktio osajoukkojen σ-algebrassa. L ^p -välit joukkoissa, joissa on mitta, määritellään edellä mainituista reaaliarvoisista mitattavissa olevista funktioista , vaikka ne ovatkin tosiasiallisesti osamääräavaruuksia . Tarkemmin sanottuna, kun taas funktio täyttävän sopivan summability ehto määrittelee elementin L ^p tilaa, vastakkaiseen suuntaan tahansa $f \in L p (X)$ ja $x \in X$ , joka ei ole vetyatomi , arvo $f (x)$ on määrittämätön . Vaikka reaaliarvotetuilla L ^p -välillä on edelleen osa yllä kohdassa Algebrainen rakenne kuvatusta rakenteesta . Kukin L ^p -välistä on vektoriavaruus ja niillä on osittainen järjestys, ja on olemassa pisteittain kertova "funktiot", jotka muuttavat $p: tä$ , nimittäin

{\ displaystyle \ cdot: L ^ {1 / \ alpha} \ kertaa L ^ {1 / \ beta} \ - L ^ {1 / (\ alpha + \ beta)}, \ quad 0 \ leq \ alfa, \ beta \ leq 1, \ quad \ alpha + \ beta \ leq 1.}

Esimerkiksi pisteittäin tuote kaksi L ² toiminnot kuuluu L ¹ .

Muut esiintymiset

Muita yhteyksiä, joissa käytetään reaaliarvotettuja toimintoja ja niiden erityisominaisuuksia, ovat monotoniset funktiot ( järjestetyissä joukkoissa ), kuperat funktiot (vektori- ja affinitiloissa ), harmoniset ja subharmoniset toiminnot ( Riemannin pakosarjoissa ), analyyttiset funktiot (yleensä yhden tai useamman) reaalimuuttujat), algebralliset toiminnot (todellisilla algebrallisilla lajikkeilla ) ja polynomit (yhdestä tai useammasta reaalimuuttujasta).

Katso myös

Todellinen analyysi
Osittaiset differentiaaliyhtälöt , merkittävä reaaliarvoisten toimintojen käyttäjä
Norm (matematiikka)
Skalaari (matematiikka)

Alaviitteet

Viitteet

Apostol, Tom M. (1974). Matemaattinen analyysi (2. painos). Addison – Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1 .
Gerald Folland , Real Analysis: Modern Techniques and their Applications, 2nd Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0 .
Rudin, Walter (1976). Matemaattisen analyysin periaatteet (3. painos). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8 .

Ulkoiset linkit

Weisstein, Eric W. "Todellinen toiminto" . MathWorld .

Languages

In other projects