Funcția de greutate - Weight function

O funcție de greutate este un dispozitiv matematic utilizat atunci când se efectuează o sumă, integrală sau medie pentru a da unor elemente mai multă „greutate” sau influență asupra rezultatului decât alte elemente din același set. Rezultatul acestei aplicații a unei funcții de greutate este o sumă ponderată sau o medie ponderată . Funcțiile de greutate apar frecvent în statistici și analize și sunt strâns legate de conceptul de măsură . Funcțiile de greutate pot fi utilizate atât în ​​setările discrete, cât și în cele continue. Ele pot fi utilizate pentru a construi sisteme de calcul numite „calcul ponderat” și „meta-calcul”.

Greutăți discrete

Definiție generală

În setarea discretă, o funcție de greutate este o funcție pozitivă definită pe un set discret , care este de obicei finit sau numărabil . Funcția de greutate corespunde situației neponderate în care toate elementele au greutate egală. Se poate aplica această greutate la diferite concepte. ${\ displaystyle w \ colon A \ to \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle w (a): = 1}$

Dacă funcția este o adevărată -valued funcție , atunci neponderate suma de pe este definită ca ${\ displaystyle f \ colon A \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ sum _ {a \ în A} f (a);}$

dar având o funcție de greutate , suma ponderată sau combinația conică este definită ca ${\ displaystyle w \ colon A \ to \ mathbb {R} ^ {+}}$

${\ displaystyle \ sum _ {a \ în A} f (a) w (a).}$

O aplicație obișnuită a sumelor ponderate apare în integrarea numerică .

Dacă B este un subset finit al lui A , se poate înlocui cardinalitatea neponderată | B | de B după cardinalitatea ponderată

${\ displaystyle \ sum _ {a \ în B} w (a).}$

Dacă A este un finit set de non-gol, se poate înlocui neponderate media sau media

${\ displaystyle {\ frac {1} {| A |}} \ sum _ {a \ în A} f (a)}$

prin media ponderată sau media ponderată

${\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {a \ in A} f (a) w (a)} {\ sum _ {a \ in A} w (a)}}.}$

În acest caz sunt relevante doar greutățile relative .

Statistici

Mijloacele ponderate sunt utilizate în mod obișnuit în statistici pentru a compensa prezența părtinirii . Pentru o cantitate măsurată de mai multe ori independente cu varianță , cea mai bună estimare a semnalului se obține prin medierea tuturor măsurătorilor cu greutatea , iar varianța rezultată este mai mică decât fiecare dintre măsurătorile independente . Metoda de maximă probabilitate ponderează diferența dintre potrivire și date folosind aceleași greutăți .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f_ {i}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {i} ^ {2}}$${\ textstyle w_ {i} = 1 / {\ sigma _ {i} ^ {2}}}$${\ textstyle \ sigma ^ {2} = 1 / \ sum _ {i} w_ {i}}$${\ displaystyle w_ {i}}$

Valoarea așteptată a unei variabile aleatorii este media ponderată a valorilor posibile pe care ar putea să le ia, cu ponderile fiind probabilitățile respective . Mai general, valoarea așteptată a unei funcții a unei variabile aleatorii este media ponderată a probabilității valorilor pe care funcția le ia pentru fiecare valoare posibilă a variabilei aleatoare.

În regresiile în care variabila dependentă este presupusă a fi afectată atât de valorile curente, cât și de cele întârziate (trecute) ale variabilei independente , se estimează o funcție de întârziere distribuită , această funcție fiind o medie ponderată a curentului și a diferitelor valori ale variabilei independente întârziate. În mod similar, un model mediu mobil specifică o variabilă în evoluție ca medie ponderată a curentului și a diferitelor valori întârziate ale unei variabile aleatorii.

Mecanică

Funcția de greutate terminologică apare din mecanică : dacă cineva are o colecție de obiecte pe o pârghie , cu greutăți (unde greutatea este acum interpretată în sens fizic) și locații , atunci pârghia va fi în echilibru dacă punctul de sprijin al pârghiei este la centrul de masă${\ displaystyle n}$${\ displaystyle w_ {1}, \ ldots, w_ {n}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} _ {1}, \ dotsc, {\ boldsymbol {x}} _ {n}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} {\ boldsymbol {x}} _ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ { i}}},}$

care este și media ponderată a pozițiilor .${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} _ {i}}$

Greutăți continue

În setarea continuă, o greutate este o măsură pozitivă , cum ar fi pe un anumit domeniu , care este de obicei un subset al unui spațiu euclidian , de exemplu ar putea fi un interval . Aici este măsura Lebesgue și este un non-negativ măsurabilă funcție . În acest context, funcția de greutate este uneori denumită densitate . ${\ displaystyle w (x) \, dx}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle dx}$${\ displaystyle w \ colon \ Omega \ to \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle w (x)}$

Definiție generală

Dacă este o funcție reală- evaluată , atunci integralul neponderat${\ displaystyle f \ colon \ Omega \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} f (x) \ dx}$

poate fi generalizată la integralul ponderat

${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} f (x) w (x) \, dx}$

Rețineți că este posibil să trebuiască să fie absolut integrabil în raport cu greutatea pentru ca această integrală să fie finită. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle w (x) \, dx}$

Volumul ponderat

Dacă E este un subset de , atunci volumul vol ( E ) al lui E poate fi generalizat la volumul ponderat${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle \ int _ {E} w (x) \ dx,}$

Medie ponderată

Dacă are un volum finit diferit de zero, atunci putem înlocui media neponderată${\ displaystyle \ Omega}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ mathrm {vol} (\ Omega)}} \ int _ {\ Omega} f (x) \ dx}$

cu media ponderată

${\ displaystyle {\ frac {\ int _ {\ Omega} f (x) \, w (x) \, dx} {\ int _ {\ Omega} w (x) \, dx}}}$

Formă biliniară

Dacă și sunt două funcții, se poate generaliza forma biliniară neponderată${\ displaystyle f \ colon \ Omega \ to {\ mathbb {R}}}$${\ displaystyle g \ colon \ Omega \ to {\ mathbb {R}}}$

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle: = \ int _ {\ Omega} f (x) g (x) \ dx}$

la o formă biliniară ponderată

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle: = \ int _ {\ Omega} f (x) g (x) \ w (x) \ dx.}$

Vezi intrarea despre polinoame ortogonale pentru exemple de funcții ortogonale ponderate .

Vezi si

• Centrul masei
• Integrare numerică
• Ortogonalitate
• Media ponderată
• Combinație liniară
• Kernel (statistici)
• Măsură (matematică)
• Integrala Riemann – Stieltjes

Referințe