Funcție constantă - Constant function

În matematică , o funcție constantă este o funcție a cărei valoare (de ieșire) este aceeași pentru fiecare valoare de intrare. De exemplu, funcția $y (x) = 4$ este o funcție constantă deoarece valoarea lui $y (x)$ este 4 indiferent de valoarea de intrare $x$ (vezi imaginea).

Proprietăți de bază

Ca funcție cu valoare reală a unui argument cu valoare reală, o funcție constantă are forma generală $y (x) = c$ sau doar $y = c$ .

Exemplu: Funcția

y (x) = 2

sau doar

y = 2

este funcția constantă specifică în care valoarea de ieșire este

c = 2

. Domeniul acestei funcții este mulțimea tuturor numerelor reale R . Codomeniu acestei funcții este doar {2}. Variabila independentă x nu apare în partea dreaptă a expresiei funcției și, prin urmare, valoarea ei este „înlocuită vacuu”. Și anume

y (0) = 2

,

y (-2.7) = 2

,

y (π) = 2

, și așa mai departe. Indiferent de valoarea intrării x , ieșirea este „2”.

Exemplu din lumea reală: un magazin în care fiecare articol este vândut la prețul de 1 dolar.

Graficul funcției constante $y = c$ este o linie orizontală în plan care trece prin punctul $(0, c)$ .

În contextul unui polinom într-o singură variabilă x , funcția constantă diferită de zero este un polinom de grad 0 și forma sa generală este $f (x) = c$ unde $c$ este diferită de zero. Această funcție nu are punct de intersecție cu axa x , adică nu are rădăcină (zero) . Pe de altă parte, polinomul $f (x) = 0$ este funcția identic zero . Este funcția constantă (banală) și fiecare x este o rădăcină. Graficul său este axa x în plan.

O funcție constantă este o funcție uniformă , adică graficul unei funcții constante este simetric față de axa y .

În contextul în care este definită, derivata unei funcții este o măsură a ratei de schimbare a valorilor funcției cu privire la modificarea valorilor de intrare. Deoarece o funcție constantă , nu se schimba, derivatul său este 0. Acest lucru este adesea scris: . Conversa este, de asemenea, adevărată. Și anume, dacă $y$ $' ($ $x$ $) = 0$ pentru toate numerele reale x , atunci y este o funcție constantă. ${\ displaystyle (x \ mapsto c) '= 0}$

Exemplu: Având în vedere funcția constantă . Derivata lui y este funcția identică zero .

{\ displaystyle y (x) = - {\ sqrt {2}}}

{\ displaystyle y '(x) = \ left (x \ mapsto - {\ sqrt {2}} \ right)' = 0}

Alte proprietăți

Pentru funcții între seturile precomandat , funcții constante sunt ambele de conservare ordine și ordinul de mers înapoi ; invers, dacă f este atât păstrarea ordinii, cât și inversarea ordinii și dacă domeniul lui f este un rețea , atunci f trebuie să fie constant.

Fiecare funcție constantă al cărei domeniu și codomain sunt același set X este un zero stâng al monoidului de transformare completă pe X , ceea ce implică faptul că este, de asemenea, idempotent .
Fiecare funcție constantă între spațiile topologice este continuă .
O funcție constantă factorizează prin setul cu un singur punct , obiectul terminal din categoria seturilor . Această observație este esențială pentru axiomatizarea lui F. William Lawvere a teoriei mulțimilor, teoria elementară a categoriei de seturi (ETCS).
Fiecare set X este izomorf pentru setul de funcții constante din el. Pentru fiecare element x și orice set Y , există o funcție unică astfel încât pentru toți . În schimb, dacă o funcție satisface pentru toți , este , prin definiție, o funcție constantă. ${\ displaystyle {\ tilde {x}}: Y \ to X}$ ${\ displaystyle {\ tilde {x}}: Y \ to X}$ ${\ displaystyle {\ tilde {x}} (y) = x}$ ${\ tilde {x}} (y) = x$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ $y \ în Y$ ${\ displaystyle f: Y \ to X}$ $f: Y \ to X$ ${\ displaystyle f (y) = f \ left (y '\ right)}$ ${\ displaystyle f (y) = f \ left (y '\ right)}$ ${\ displaystyle y, y '\ în Y}$ $y, y '\ în Y$ ${\ displaystyle f}$ $f$
- Ca corolar, mulțimea cu un singur punct este un generator din categoria mulțimilor.
- Fiecare mulțime este canomic izomorfă pentru setul de funcții sau setul hom din categoria seturilor, unde 1 este setul cu un singur punct. Din această cauză și a adjuțiunii dintre produsele carteziene și hom în categoria seturilor (deci există un izomorfism canonic între funcțiile a două variabile și funcțiile unei variabile evaluate în funcțiile unei alte variabile (singure) ), categoria seturilor este o categorie monoidică închisă cu produsul cartezian al seturilor ca produs tensor și setul într-un punct ca unitate tensorială. În izomorfisme naturale în X , în unitors din stânga și din dreapta sunt proiecțiile și de perechi ordonate și , respectiv , elementul , în cazul în care este unicul punct în-un singur punct de set. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X ^ {1}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {hom} (1, X)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {hom} (X \ times Y, Z) \ cong \ operatorname {hom} (X (\ operatorname {hom} (Y, Z))}$ ${\ displaystyle \ lambda: 1 \ times X \ cong X \ cong X \ times 1: \ rho}$ ${\ displaystyle p_ {1}}$ ${\ displaystyle p_ {2}}$ ${\ displaystyle (*, x)}$ ${\ displaystyle (x, *)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle *}$