Funkce se skutečnou hodnotou - Real-valued function

Hmotnost měřená v gramech je funkcí z této kolekce váhy do kladných reálných čísel. Pojem „ váhová funkce “, narážka na tento příklad, se používá v čisté a aplikované matematice.

V matematice je funkce se skutečnou hodnotou funkce, jejíž hodnoty jsou reálná čísla . Jinými slovy, je to funkce, která každému členu její domény přiřadí reálné číslo .

Reálné funkce reálné proměnné (běžně nazývané reálné funkce ) a reálné funkce několika reálných proměnných jsou hlavním předmětem studia počtu a obecněji reálné analýzy . Mnoho funkčních prostor se skládá zejména z funkcí se skutečnou hodnotou.

Algebraická struktura

Dovolit je množina všech funkcí od množiny $X$ po reálná čísla . Protože je to pole , může být přeměněno na vektorový prostor a komutativní algebru nad reálemi pomocí následujících operací: ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X, {\ mathbb {R}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X, {\ mathbb {R}})}$

${\ displaystyle f + g: x \ mapsto f (x) + g (x)}$ - přidání vektoru
${\ displaystyle \ mathbf {0}: x \ mapsto 0}$ - aditivní identita
${\ displaystyle cf: x \ mapsto cf (x), \ quad c \ in \ mathbb {R}}$ - skalární násobení
${\ displaystyle fg: x \ mapsto f (x) g (x)}$ - bodové násobení

Tyto operace probíhají na dílčích funkcí z $X$ k s tím omezením, že dílčí funkce $f$ $+$ $g$ a $f$ $g$ jsou definovány pouze v případě, že domény z $f$ a $g$ mají neprázdný průnik; v tomto případě je jejich doménou průsečík domén $f$ a $g$ . ${\ displaystyle \ mathbb {R},}$

Vzhledem k tomu, že jde o uspořádanou sadu, existuje také částečná objednávka ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ f \ leq g \ quad \ iff \ quad \ forall x: f (x) \ leq g (x),}$

na což je částečně uspořádanou kruh . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X, {\ mathbb {R}}),}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (X, {\ mathbb {R}})}$

Měřitelný

Σ-algebra na Borel sad je důležitá struktura v reálných čísel. Pokud $X$ má svoji σ-algebru a funkce $f$ je taková, že preimage $f -1 (B)$ libovolné množiny $B$ Borel $B$ patří do této σ-algebry, pak se říká, že $f$ je měřitelná . Měřitelné funkce také tvoří vektorový prostor a algebru, jak je vysvětleno výše v § Algebraická struktura .

Sada (rodina) funkcí se skutečnou hodnotou na $X$ může navíc definovat σ-algebru na $X$ generovanou všemi preimages všech Borelových sad (nebo pouze intervalů , není to důležité). To je způsob, jak σ-algebry vznikají v ( Kolmogorovově ) teorii pravděpodobnosti , kde funkce se skutečnou hodnotou ve vzorovém prostoru $Ω$ jsou náhodné proměnné se skutečnou hodnotou .

Kontinuální

Reálná čísla tvoří topologický prostor a úplný metrický prostor . Kontinuální funkce se skutečnou hodnotou (z čehož vyplývá, že $X$ je topologický prostor) jsou důležité v teoriích topologických prostorů a metrických prostorů . Tyto extrémní hodnota věta uvádí, že pro jakékoliv reálné spojité funkce na kompaktním prostoru jeho globální maximum a minimum existovat.

Samotný koncept metrického prostoru je definován skutečnou funkcí dvou proměnných, metriky , která je spojitá. Zvláštní význam má prostor spojitých funkcí v kompaktním Hausdorffově prostoru . Konvergentní sekvence lze také považovat za reálné spojité funkce ve speciálním topologickém prostoru.

Kontinuální funkce také tvoří vektorový prostor a algebru, jak je vysvětleno výše v § Algebraická struktura , a jsou podtřídou měřitelných funkcí, protože jakýkoli topologický prostor má σ-algebru generovanou otevřenými (nebo uzavřenými) množinami.

Hladký

Reálná čísla se používají jako codomain k definování plynulých funkcí. Doménou skutečné hladké funkce může být skutečný souřadnicový prostor (který poskytuje skutečnou funkci s více proměnnými ), topologický vektorový prostor , jejich otevřená podmnožina nebo hladké potrubí .

Prostory hladkých funkcí jsou také vektorové prostory a algebry, jak je vysvětleno výše v § Algebraická struktura, a jsou podprostory prostoru spojitých funkcí .

Vystoupení v teorii míry

Opatření na sadě je non-negativní reálná funkční na -algebra podmnožin. L ^p mezery na množinách s mírou jsou definovány z výše zmíněných měřitelných funkcí se skutečnou hodnotou , i když jsou to vlastně kvocientové prostory . Přesněji řečeno, zatímco funkce splňující odpovídající stav summability definuje prvek L ^p prostoru, v opačném směru pro jakýkoli $f \in L p (X)$ a $x \in X$ , který není atom , hodnota $f (x)$ je definována . I když, reálná L ^p prostory ještě některé struktury popsané výše v § algebraické struktury . Každý z L ^p prostorů je vektorový prostor a má částečné pořadí a existuje bodové násobení „funkcí“, které mění $p$ , a to

{\ displaystyle \ cdot: L ^ {1 / \ alpha} \ krát L ^ {1 / \ beta} \ až L ^ {1 / (\ alpha + \ beta)}, \ quad 0 \ leq \ alpha, \ beta \ leq 1, \ quad \ alpha + \ beta \ leq 1.}

Například bodový součin dvou funkcí L ² patří do L ¹ .

Jiná vystoupení

Mezi další kontexty, kde se používají funkce se skutečnou hodnotou a jejich speciální vlastnosti, patří monotónní funkce (na uspořádaných množinách ), konvexní funkce (na vektorových a afinních prostorech ), harmonické a subharmonické funkce (na Riemannově varietě ), analytické funkce (obvykle jednoho nebo více reálné proměnné), algebraické funkce (na reálných algebraických variantách ) a polynomy (jedné nebo více skutečných proměnných).

Viz také

Skutečná analýza
Parciální diferenciální rovnice , hlavní uživatel funkcí se skutečnou hodnotou
Norm (matematika)
Skalární (matematika)

Poznámky pod čarou

Reference

Apostol, Tom M. (1974). Matematická analýza (2. vyd.). Addison – Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1 .
Gerald Folland , Real Analysis: Modern Techniques and their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0 .
Rudin, Walter (1976). Principy matematické analýzy (3. vyd.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8 .

externí odkazy

Weisstein, Eric W. „Skutečná funkce“ . MathWorld .

Languages

In other projects