Spațiu funcțional - Function space

În matematică , un spațiu funcțional este un set de funcții între două seturi fixe. Adesea, domeniul și / sau codomainul vor avea o structură suplimentară care este moștenită de spațiul funcțional. De exemplu, setul de funcții din orice set X într-un spațiu vectorial are o structură naturală a spațiului vectorial dată prin adunare punctuală și multiplicare scalară. În alte scenarii, spațiul funcțional ar putea moșteni o structură topologică sau metrică , de unde și denumirea de spațiu funcțional .

În algebra liniară

Adăugarea funcțiilor: Suma sinusului și a funcției exponențiale este cu

{\ displaystyle \ sin + \ exp: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}

{\ displaystyle (\ sin + \ exp) (x) = \ sin (x) + \ exp (x)}

Fie V un spațiu vectorial peste un câmp F și fie X orice set. Funcțiilor X → V li se poate da structura unui spațiu vectorial peste F unde operațiile sunt definite în sens punctual, adică pentru orice f , g : X → V , orice x în X și orice c în F , definiți

{\ displaystyle {\ begin {align} (f + g) (x) & = f (x) + g (x) \\ (c \ cdot f) (x) & = c \ cdot f (x) \ end {aliniat}}}

Când domeniul X are o structură suplimentară, s-ar putea lua în considerare în schimb subsetul (sau subspaiul ) tuturor acestor funcții care respectă structura respectivă. De exemplu, dacă X este, de asemenea, un spațiu vectorial peste F , setul de hărți liniare X → V formează un spațiu vectorial peste F cu operații punctuale (adesea notate Hom ( X , V )). Un astfel de spațiu este spațiul dual al lui V : setul de funcționale liniare V → F cu adunare și multiplicare scalară definite în sens punctual.

Exemple

Spațiile funcționale apar în diferite domenii ale matematicii:

In teorie set , setul de funcții de la X la Y pot fi notate X → Y sau Y ^X .
- Ca un caz special, setul de putere al unui set X poate fi identificat cu mulțimea tuturor funcțiilor de la X la {0, 1}, notată cu 2 ^X .
Setul de bijecții de la X la Y este notat . Notația factorială X ! pot fi utilizate pentru permutările unui singur set X . ${\ displaystyle X \ leftrightarrow Y}$
În analiza funcțională , același lucru este văzut pentru transformările liniare continue , inclusiv topologiile pe spațiile vectoriale din cele de mai sus, iar multe dintre exemplele majore sunt spații funcționale care poartă o topologie ; cele mai cunoscute exemple includ spațiile Hilbert și spațiile Banach .
În analiza funcțională , ansamblul tuturor funcțiilor de la numerele naturale la unele seturi X este numit spațiu de secvență . Se compune din mulțimea tuturor posibile secvențe de elemente ale X .
În topologie , se poate încerca să pună o topologie pe spațiul funcțiilor continue de la un spațiu topologic X la altul Y , cu utilitate în funcție de natura spațiilor. Un exemplu frecvent utilizat este topologia compact-deschisă , de ex . Spațiul de buclă . De asemenea , este disponibil topologia produs pe spațiul funcțiilor teoretice stabilite ( de exemplu , nu neapărat funcții continue) Y ^X . În acest context, această topologie este denumită și topologia convergenței punctuale .
În topologia algebrică , studiul teoriei homotopiei este în esență cel al invarianților discreți ai spațiilor funcționale;
În teoria proceselor stochastice , problema tehnică de bază este cum se construiește o măsură de probabilitate pe un spațiu funcțional al căilor procesului (funcțiile timpului);
În teoria categoriilor spațiul funcțional este numit obiect exponențial sau obiect hartă . Apare într-un fel ca reprezentare bifunctor canonic ; dar ca functor (unic), de tipul [ X , -], acesta apare ca un functor adjunct la un functor de tip (- × X ) pe obiecte;
În programarea funcțională și calculul lambda , tipurile de funcții sunt utilizate pentru a exprima ideea funcțiilor de ordin superior .
În teoria domeniului , ideea de bază este de a găsi construcții din ordine parțiale care pot modela calculul lambda, prin crearea unei categorii închise carteziene bine comportate .
În teoria reprezentării grupurilor finite , având în vedere două reprezentări în dimensiuni finite V și W ale unui grup G , se poate forma o reprezentare a lui G pe spațiul vectorial al hărților liniare Hom ( V , W ) numit reprezentare Hom .

Analiza funcțională

Analiza funcțională este organizată în jurul unor tehnici adecvate pentru a aduce spațiile funcționale ca spații vectoriale topologice la îndemâna ideilor care s-ar aplica spațiilor normate de dimensiune finită. Aici folosim linia reală ca un exemplu de domeniu, dar spațiile de mai jos există pe subseturi deschise adecvate ${\ displaystyle \ Omega \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle C (\ mathbb {R})}$ funcții continue dotate cu topologia normei uniforme
${\ displaystyle C_ {c} (\ mathbb {R})}$ funcții continue cu suport compact
${\ displaystyle B (\ mathbb {R})}$ funcții mărginite
${\ displaystyle C_ {0} (\ mathbb {R})}$ funcții continue care dispar la infinit
${\ displaystyle C ^ {r} (\ mathbb {R})}$ funcții continue care au primele derivate r continue .
${\ displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}$ funcții netede
${\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}$ funcții fluide cu suport compact
${\ displaystyle C ^ {\ omega} (\ mathbb {R})}$ funcții analitice reale
${\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R})}$ , Pentru , este L ^p spațiul de măsurabile funcții ale căror p -normă este finit ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ ${\ textstyle \ | f \ | _ {p} = \ left (\ int _ {\ mathbb {R}} | f | ^ {p} \ right) ^ {1 / p}}$
${\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R})}$ , spațiul Schwartz al funcțiilor netede în scădere rapidă și distribuțiile sale continue duale, temperate ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R})}$
${\ displaystyle D (\ mathbb {R})}$ suport compact în topologie limită
${\ displaystyle W ^ {k, p}}$ Spațiul sobolev al funcțiilor ale căror derivate slabe până la ordinea k sunt în ${\ displaystyle L ^ {p}}$
${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {U}}$ funcții holomorfe
funcții liniare
funcții liniare în bucăți
funcții continue, topologie compactă deschisă
toate funcțiile, spațiul convergenței punctuale
Spațiu rezistent
Spațiul Hölder
Funcțiile Càdlàg , cunoscute și sub numele de spațiul Skorokhod
${\ displaystyle {\ text {Lip}} _ {0} (\ mathbb {R})}$ , spațiul tuturor funcțiilor Lipschitz pe care dispare la zero. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Normă

Dacă $y$ este un element al spațiului funcțional al tuturor funcțiilor continue care sunt definite pe un interval închis $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ , norma definită pe este valoarea absolută maximă a lui $y$ $($ $x$ $)$ pentru $a$ $\leq$ $x$ $\leq$ $b$ , ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} (a, b)}$ ${\ displaystyle \ | y \ | _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} (a, b)}$

{\ displaystyle \ | y \ | _ {\ infty} \ equiv \ max _ {a \ leq x \ leq b} | y (x) | \ qquad {\ text {where}} \ \ y \ in {\ mathcal {Taxi)}

se numește norma uniformă sau norma supremă („norma sup”).

Bibliografie

Kolmogorov, AN și Fomin, SV (1967). Elemente ale teoriei funcțiilor și analizei funcționale. Publicații Courier Dover.
Stein, Elias; Shakarchi, R. (2011). Analiza funcțională: o introducere la alte subiecte în analiză. Princeton University Press.

Languages

In other projects

Spațiu funcțional - Function space

Cuprins

În algebra liniară

Exemple

Analiza funcțională

Normă

Bibliografie

Vezi si

Note de subsol