Funcția implicită - Implicit function

În matematică , o ecuație implicită este o relație de forma R ( x ₁ , ..., x _n ) = 0 , unde R este o funcție a mai multor variabile (adesea un polinom ). De exemplu, ecuația implicită a cercului unitar este x ² + y ² - 1 = 0 .

O funcție implicită este o funcție care este definită de o ecuație implicită, care leagă una dintre variabile, considerată ca fiind valoarea funcției, cu celelalte considerate ca argumente . De exemplu, ecuația x ² + y ² - 1 = 0 a cercului unitar definește y ca o funcție implicită a lui x dacă −1 ≤ x ≤ 1 , iar unul limitează y la valori non-negative.

Funcția implicită Teorema oferă condiții în care anumite tipuri de relații definesc o funcție implicită, și anume relații definite ca funcția indicator al setului de zero al unora continuu diferențiabile multivariată funcție.

Exemple

Funcții inverse

Un tip comun de funcție implicită este o funcție inversă . Nu toate funcțiile au o funcție inversă unică. Dacă g este o funcție a lui x care are un invers unic, atunci funcția inversă a lui g , numită g ^-1 , este funcția unică care oferă o soluție a ecuației

${\ displaystyle y = g (x)}$

pentru x în termeni de y . Această soluție poate fi apoi scrisă ca

${\ displaystyle x = g ^ {- 1} (y) \ ,.}$

Definirea lui g ^-1 ca invers al lui g este o definiție implicită. Pentru unele funcții g , g ⁻¹ ( y ) poate fi scris explicit ca o expresie de formă închisă - de exemplu, dacă g ( x ) = 2 x - 1 , atunci g ⁻¹ ( y ) = 1/2( y + 1) . Cu toate acestea, acest lucru nu este adesea posibil sau doar prin introducerea unei noi notații (ca în exemplul de jurnal al produsului de mai jos).

Intuitiv, o funcție inversă este obținută din g prin schimbul de roluri ale variabilelor dependente și independente.

Exemplu: Jurnalul produsului este o funcție implicită care oferă soluția pentru x a ecuației y - xe ^x = 0 .

Funcții algebrice

O funcție algebrică este o funcție care satisface o ecuație polinomială ai cărei coeficienți sunt ei înșiși polinoame. De exemplu, o funcție algebrică într-o singură variabilă x oferă o soluție pentru y a unei ecuații

${\ displaystyle a_ {n} (x) y ^ {n} + a_ {n-1} (x) y ^ {n-1} + \ cdots + a_ {0} (x) = 0 \ ,,}$

unde coeficienții a _i ( x ) sunt funcții polinomiale ale lui x . Această funcție algebrică poate fi scrisă ca partea dreaptă a ecuației soluției y = f ( x ) . Scris astfel, f este o funcție implicită multivalentă .

Funcțiile algebrice joacă un rol important în analiza matematică și geometria algebrică . Un exemplu simplu de funcție algebrică este dat de partea stângă a ecuației cercului unitar:

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0 \ ,.}$

Rezolvarea pentru y oferă o soluție explicită:

${\ displaystyle y = \ pm {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ ,.}$

Dar chiar și fără a specifica această soluție explicită, este posibil să ne referim la soluția implicită a ecuației cercului unitar ca y = f ( x ) , unde f este funcția implicită cu mai multe valori.

În timp ce soluții explicite pot fi găsite pentru ecuații care sunt pătratice , cubice și quartice în y , același lucru nu este valabil în general pentru ecuațiile chintice și de grad superior, cum ar fi

${\ displaystyle y ^ {5} + 2y ^ {4} -7y ^ {3} + 3y ^ {2} -6y-x = 0 \ ,.}$

Cu toate acestea, se poate face referire la soluția implicită y = f ( x ) care implică funcția implicită multi-valoare f .

Avertismente

Nu fiecare ecuație R ( x , y ) = 0 implică un grafic al unei funcții cu o singură valoare, ecuația cercului fiind un exemplu important. Un alt exemplu este o funcție implicită dată de x - C ( y ) = 0 unde C este un polinom cub care are o "cocoașă" în graficul său. Astfel, pentru ca o funcție implicită să fie o funcție adevărată (cu o singură valoare) ar putea fi necesar să se utilizeze doar o parte a graficului. O funcție implicită poate fi uneori definită cu succes ca o funcție adevărată numai după „mărirea” pe o parte a axei x și „tăierea” unor ramuri ale funcției nedorite. Atunci se poate scrie o ecuație care exprimă y ca funcție implicită a celorlalte variabile.

Ecuația definitorie R ( x , y ) = 0 poate avea și alte patologii. De exemplu, ecuația x = 0 nu implică o funcție f ( x ) care oferă deloc soluții pentru y ; este o linie verticală. Pentru a evita o astfel de problemă, sunt impuse frecvent diferite constrângeri asupra tipurilor admise de ecuații sau asupra domeniului . Funcția implicită Teorema oferă un mod uniform de manipulare aceste tipuri de patologii.

Diferențierea implicită

În calcul , o metodă numită diferențiere implicită folosește regula lanțului pentru a diferenția funcțiile definite implicit.

Pentru a diferenția o funcție implicită y ( x ) , definită printr-o ecuație R ( x , y ) = 0 , în general nu este posibil să o rezolvăm în mod explicit pentru y și apoi să o diferențiem. În schimb, se poate diferenția total R ( x , y ) = 0 în raport cu x și y și apoi se poate rezolva ecuația liniară rezultată pentrudy/dxpentru a obține în mod explicit derivata în termeni de x și y . Chiar și atunci când este posibil să se rezolve în mod explicit ecuația originală, formula rezultată din diferențierea totală este, în general, mult mai simplă și mai ușor de utilizat.

Exemple

Exemplul 1

Considera

${\ displaystyle y + x + 5 = 0 \ ,.}$

Această ecuație este ușor de rezolvat pentru y , dând

${\ displaystyle y = -x-5 \ ,,}$

unde partea dreaptă este forma explicită a funcției y ( x ) . Diferențierea dă apoidy/dx= −1 .

Alternativ, se poate diferenția total ecuația originală:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dy} {dx}} + {\ frac {dx} {dx}} + {\ frac {d} {dx}} (5) & = 0 \ ,; \\ [6px] {\ frac {dy} {dx}} + 1 + 0 & = 0 \,. \ End {align}}}$

Rezolvarea pentru dy/dx dă

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - 1 \ ,,}$

același răspuns obținut anterior.

Exemplul 2

Un exemplu de funcție implicită pentru care diferențierea implicită este mai ușoară decât utilizarea diferențierii explicite este funcția y ( x ) definită de ecuație

${\ displaystyle x ^ {4} + 2y ^ {2} = 8 \ ,.}$

Pentru a diferenția acest lucru în mod explicit în ceea ce privește x , trebuie mai întâi să obțineți

${\ displaystyle y (x) = \ pm {\ sqrt {\ frac {8-x ^ {4}} {2}}} \ ,,}$

și apoi diferențiați această funcție. Aceasta creează două derivate: una pentru y ≥ 0 și alta pentru y <0 .

Este mult mai ușor să diferențiem implicit ecuația inițială:

${\ displaystyle 4x ^ {3} + 4y {\ frac {dy} {dx}} = 0 \ ,,}$

dând

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {-4x ^ {3}} {4y}} = - {\ frac {x ^ {3}} {y}} \ ,.}$

Exemplul 3

Adesea, este dificil sau imposibil de rezolvat în mod explicit pentru y , iar diferențierea implicită este singura metodă fezabilă de diferențiere. Un exemplu este ecuația

${\ displaystyle y ^ {5} -y = x \ ,.}$

Este imposibil să se exprime în mod algebric y în mod explicit ca o funcție a lui x și, prin urmare, nu se poate găsidy/dxprin diferențiere explicită. Folosind metoda implicită,dy/dx poate fi obținut prin diferențierea ecuației de obținut

${\ displaystyle 5y ^ {4} {\ frac {dy} {dx}} - {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {dx} {dx}} \ ,,}$

Unde dx/dx= 1 . Factorizaready/dx arată că

${\ displaystyle \ left (5y ^ {4} -1 \ right) {\ frac {dy} {dx}} = 1 \ ,,}$

care dă rezultatul

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {1} {5y ^ {4} -1}} \ ,,}$

care este definit pentru

${\ displaystyle y \ neq \ pm {\ frac {1} {\ sqrt [{4}] {5}}} \ quad {\ text {și}} \ quad y \ neq \ pm {\ frac {i} { \ sqrt [{4}] {5}}} \ ,.}$

Formula generală pentru derivatul funcției implicite

Dacă R ( x , y ) = 0 , derivata funcției implicite y ( x ) este dată de

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - {\ frac {\, {\ frac {\ partial R} {\ partial x}} \,} {\ frac {\ partial R} {\ partial y }}} = - {\ frac {R_ {x}} {R_ {y}}} \ ,,}$

unde R _x și R _y indică derivatele parțiale ale lui R față de x și y .

Formula de mai sus provine din utilizarea regulii lanțului generalizat pentru a obține derivata totală - față de x - a ambelor părți ale lui R ( x , y ) = 0 :

${\ displaystyle {\ frac {\ partial R} {\ partial x}} {\ frac {dx} {dx}} + {\ frac {\ partial R} {\ partial y}} {\ frac {dy} {dx }} = 0 \ ,,}$

de aici

${\ displaystyle {\ frac {\ partial R} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial R} {\ partial y}} {\ frac {dy} {dx}} = 0 \ ,,}$

care, atunci când este rezolvat pentru dy/dx, dă expresia de mai sus.

Teorema funcției implicite

Cercul unitar poate fi definit implicit ca setul de puncte ( x , y ) care îndeplinesc x ² + y ² = 1 . În jurul punctului A , y poate fi exprimat ca o funcție implicită y ( x ) . (Spre deosebire de multe cazuri, aici această funcție poate fi explicitată ca g ₁ ( x ) = √ 1 - x ^2. ) Nu există o astfel de funcție în jurul punctului B , unde spațiul tangent este vertical.

Fie R ( x , y ) o funcție diferențiată a două variabile și ( a , b ) o pereche de numere reale astfel încât R ( a , b ) = 0 . Dacă∂ R/∂ y≠ 0 , atunci R ( x , y ) = 0 definește o funcție implicită care este diferențiată într-o vecinătate suficient de mică din ( a , b ) ; cu alte cuvinte, există o funcție diferențiabilă f , care este definită și diferențiabilă într - o vecinătate a unei astfel încât R ( x , f ( x )) = 0 pentru x în acest cartier.

Conditia ∂ R/∂ y≠ 0 înseamnă că ( a , b ) este un punct regulat al curbei implicite a ecuației implicite R ( x , y ) = 0 în care tangenta nu este verticală.

Într-un limbaj mai puțin tehnic, funcțiile implicite există și pot fi diferențiate, dacă curba are o tangentă non-verticală.

În geometria algebrică

Luați în considerare o relație de forma R ( x ₁ ,…, x _n ) = 0 , unde R este un polinom multivariabil. Ansamblul valorilor variabilelor care satisfac această relație se numește curbă implicită dacă n = 2 și suprafață implicită dacă n = 3 . Ecuațiile implicite stau la baza geometriei algebrice , ale cărei subiecte de studiu de bază sunt soluțiile simultane ale mai multor ecuații implicite ale căror laturi din stânga sunt polinoame. Aceste seturi de soluții simultane se numesc seturi algebrice afine .

În ecuațiile diferențiale

Soluțiile ecuațiilor diferențiale apar în general exprimate printr-o funcție implicită.

Aplicații în economie

Rata marginală de substituție

În economie , când setul de nivel R ( x , y ) = 0 este o curbă de indiferență pentru cantitățile x și y consumate din două bunuri, valoarea absolută a derivatului implicitdy/dxeste interpretat ca rata marginală de substituție a celor două bunuri: cât mai mult din y trebuie să primească pentru a fi indiferent la pierderea unei unități de  x .

Rata marginală de substituție tehnică

În mod similar, uneori, setul de nivel R ( L , K ) este o izoquantă care prezintă diferite combinații de cantități utilizate de muncă L și K de capital fizic, fiecare dintre acestea ar duce la producerea aceleiași cantități date de producție a unui bun. În acest caz, valoarea absolută a derivatei implicitedK/dLeste interpretat ca rata marginală de substituție tehnică dintre cei doi factori de producție: cu cât mai mult capital trebuie să utilizeze firma pentru a produce aceeași cantitate de producție cu o unitate de muncă mai mică.

Optimizare

De multe ori în teoria economică , unele funcții, cum ar fi o funcție de utilitate sau o funcție de profit , trebuie să fie maximizate în raport cu un vector de alegere x, chiar dacă funcția obiectivă nu a fost limitată la nicio formă funcțională specifică. Cele implicite Funcția teoremă garanteaza că condițiile de ordinul unu de optimizare a defini o funcție implicită pentru fiecare element al vectorului optim x * a vectorului alegere x . Atunci când profitul este maximizat, în mod obișnuit funcțiile implicite rezultate sunt funcția cererii de forță de muncă și funcțiile de aprovizionare ale diferitelor bunuri. Atunci când utilitatea este maximizată, de obicei funcțiile implicite rezultate sunt funcția de aprovizionare cu forță de muncă și funcțiile de cerere pentru diverse bunuri.

Mai mult, influența parametrilor problemei asupra x * - derivatele parțiale ale funcției implicite - pot fi exprimate ca derivate totale ale sistemului de condiții de ordinul întâi găsite folosind diferențierea totală .

Vezi si

Referințe

Lecturi suplimentare

• Binmore, KG (1983). „Funcții implicite” . Calcul . New York: Cambridge University Press. pp. 198–211. ISBN 0-521-28952-1.
• Rudin, Walter (1976). Principiile analizei matematice . Boston: McGraw-Hill . pp.  223-228 . ISBN 0-07-054235-X.
• Simon, Carl P .; Blume, Lawrence (1994). „Funcții implicite și derivatele lor” . Matematică pentru economiști . New York: WW Norton. pp. 334–371. ISBN 0-393-95733-0.

linkuri externe

• "Diferențierea implicită, ce se întâmplă aici?" . 3Blue1Brown . Esența calculului. 3 mai 2017 - prin YouTube .