Torus - Torus

Un tor al revoluției

Pe măsură ce distanța de la axa de revoluție scade, torul inelar devine un tor de corn, apoi un tor de fus și, în cele din urmă, degenerează într-o sferă dublă acoperită.

Un tor cu raport de aspect 3 ca produs al unui cerc mai mic (roșu) și mai mare (magenta).

În geometrie , un tor (plural tori , gogoșă colocvială ) este o suprafață de revoluție generată prin rotirea unui cerc în spațiu tridimensional în jurul unei axe care este coplanară cu cercul.

Dacă axa de revoluție nu atinge cercul, suprafața are o formă de inel și se numește tor de revoluție . Dacă axa de revoluție este tangentă la cerc, suprafața este un tor de corn . Dacă axa de revoluție trece de două ori prin cerc, suprafața este un torus ax . Dacă axa de revoluție trece prin centrul cercului, suprafața este un tor degenerat, o sferă dublă acoperită . Dacă curba rotită nu este un cerc, suprafața este o formă înrudită, un toroid .

Obiectele din lumea reală care aproximează un tor de revoluție includ inele de înot și tuburile interioare . Lentilele de ochelari care combină corecția sferică și cilindrică sunt lentile torice .

Un tor nu trebuie confundat cu un tor solid , care se formează prin rotirea unui disc , mai degrabă decât a unui cerc, în jurul unei axe. Un tor solid este un tor plus volumul din interiorul torului. Obiecte din lumea reală , care aproximative un torusului solide includ O-inele , non-gonflabile colaci , inel gogoși și covrigi .

În topologie , un tor inelar este homeomorf pentru produsul cartezian din două cercuri : S ¹  ×  S ¹ , iar acesta din urmă este considerat definiția în acest context. Este un distribuitor compact 2 din genul 1. Torusul inelar este o modalitate de a încorpora acest spațiu în spațiul euclidian , dar un alt mod de a face acest lucru este produsul cartezian al încorporării lui S ¹ în plan cu el însuși. Aceasta produce un obiect geometric numit Tor Clifford , o suprafață în 4 spații .

În domeniul topologiei , un tor este orice spațiu topologic care este homeomorf pentru un tor. O ceașcă de cafea și o gogoasă sunt ambele tori topologice cu genul unu.

Un exemplu de tor poate fi construit luând o bandă dreptunghiulară de material flexibil, de exemplu, o foaie de cauciuc și unind marginea superioară la marginea inferioară și marginea stângă la marginea dreaptă, fără nici o jumătate de răsucire (comparați Banda Möbius ).

Geometrie

Jumătățile inferioare și
secțiunile transversale verticale

R > r : inelul torus sau inelul de ancorare

R = r : torul cornului

R < r : tor cu fus auto-intersectat

Un tor poate fi definit parametric prin:

${\ displaystyle {\ begin {align} x (\ theta, \ varphi) & = (R + r \ cos \ theta) \ cos {\ varphi} \\ y (\ theta, \ varphi) & = (R + r \ cos \ theta) \ sin {\ varphi} \\ z (\ theta, \ varphi) & = r \ sin \ theta \\ {\ text {cu:}} ~ \ theta, \ varphi & = [0,2 \ pi) \ end {align}}}$

Unde

θ , φ sunt unghiuri care formează un cerc complet, deci valorile lor încep și se termină în același punct,

R este distanța de la centrul tubului la centrul torului,

r este raza tubului.

Unghiul θ reprezintă rotația în jurul tubului, în timp ce φ reprezintă rotația în jurul axei de rotație a torului. R este cunoscut sub numele de „raza majoră” și r este cunoscut sub numele de „raza minoră”. Raportul R împărțit la r este cunoscut ca „ raportul de aspect ”. Cofetăria tipică de gogoși are un raport de aspect de aproximativ 3 până la 2.

O implicită ecuație în coordonate carteziene pentru o torusului radial simetric despre z - axa este

${\ displaystyle \ left ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} - R \ right) ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2},}$

sau soluția lui f ( x , y , z ) = 0 , unde

${\ displaystyle f (x, y, z) = \ left ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} - R \ right) ^ {2} + z ^ {2} -r ^ {2}.}$

Eliminarea algebrică a rădăcinii pătrate oferă o ecuație quartică ,

${\ displaystyle \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + R ^ {2} -r ^ {2} \ right) ^ {2} = 4R ^ {2} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ dreapta).}$

Cele trei clase de tori standard corespund celor trei raporturi de aspect posibile între R și r :

• Când R > r , suprafața va fi torul inelar familiar sau inelul de ancorare.
• R = r corespunde torului cornului, care de fapt este un tor fără „gaură”.
• R < r descrie torul fusului auto-intersectat; învelișul său interior este o lămâie, iar învelișul exterior este un măr
• Când R = 0 , torul degenerează la sferă.

Când R ≥ r , interiorul

${\ displaystyle \ left ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} - R \ right) ^ {2} + z ^ {2} <r ^ {2}}$

din acest tor este difeomorf (și, prin urmare, homeomorf) la un produs al unui disc deschis euclidian și a unui cerc. Volumul acestei torusului solide și suprafața de torusului sale sunt ușor de calculat folosind teorema lui centroida Pappus , oferind:

${\ displaystyle {\ begin {align} A & = \ left (2 \ pi r \ right) \ left (2 \ pi R \ right) = 4 \ pi ^ {2} Rr \\ V & = \ left (\ pi r ^ {2} \ right) \ left (2 \ pi R \ right) = 2 \ pi ^ {2} Rr ^ {2}. \ End {align}}}$

Aceste formule sunt aceleași ca și pentru un cilindru cu lungimea 2π R și raza r , obținut din tăierea tubului de-a lungul planului unui cerc mic și desfășurarea acestuia prin îndreptarea (rectificarea) liniei care circulă în jurul centrului tubului. Pierderile din suprafață și volum pe partea interioară a tubului anulează exact câștigurile pe partea exterioară.

Exprimând suprafața și volumul prin distanța p a unui punct exterior de pe suprafața torului până la centru și distanța q a unui punct interior către centru (astfel încât R = p + q/2și r =p - q/2), randamente

${\ displaystyle {\ begin {align} A & = 4 \ pi ^ {2} \ left ({\ frac {p + q} {2}} \ right) \ left ({\ frac {pq} {2}} \ dreapta) = \ pi ^ {2} (p + q) (pq) \\ V & = 2 \ pi ^ {2} \ left ({\ frac {p + q} {2}} \ right) \ left ({ \ frac {pq} {2}} \ right) ^ {2} = {\ tfrac {1} {4}} \ pi ^ {2} (p + q) (pq) ^ {2} \ end {align} }}$

Direcția poloidală (săgeata roșie) și
direcția toroidală (săgeata albastră)

Deoarece un tor este produsul a două cercuri, se folosește uneori o versiune modificată a sistemului de coordonate sferice . În coordonatele sferice tradiționale există trei măsuri, R , distanța de la centrul sistemului de coordonate și θ și φ , unghiuri măsurate de la punctul central.

Deoarece un tor are, efectiv, două puncte centrale, punctele centrale ale unghiurilor sunt mișcate; φ măsoară același unghi ca în sistemul sferic, dar este cunoscut sub numele de direcția „toroidală”. Punctul central al lui θ este mutat în centrul lui r și este cunoscut sub numele de direcția „poloidal”. Acești termeni au fost folosiți pentru prima dată într-o discuție despre câmpul magnetic al Pământului, unde „poloidal” a fost folosit pentru a desemna „direcția spre poli”.

În utilizarea modernă, toroidele și poloidele sunt mai frecvent utilizate pentru a discuta despre dispozitivele de fuziune cu izolare magnetică .

Topologie

Topologic , un tor este o suprafață închisă definită ca produsul a două cercuri : S ¹  ×  S ¹ . Aceasta poate fi privită ca situată în C ² și este un subset al 3-sferei S ³ de rază √2. Acest tor topologic este, de asemenea, numit adesea torul Clifford . De fapt, S ³ este completat de o familie de tori cuibăriți în acest mod (cu două cercuri degenerate), fapt important în studiul S ³ ca un pachet de fibre peste S ² ( pachetul Hopf ).

Suprafața descrisă mai sus, dată fiind topologia relativă de la R ³ , este homeomorfă către un tor topologic atâta timp cât nu își intersectează propria axă. Un homeomorfism particular este dat prin proiectarea stereografică a torului topologic în R ³ de la polul nord al S ³ .

Torul poate fi, de asemenea, descris ca un coeficient al planului cartezian sub identificări

${\ displaystyle (x, y) \ sim (x + 1, y) \ sim (x, y + 1), \,}$

sau, echivalent, ca coeficient al pătratului unitar prin lipirea marginilor opuse împreună, descris ca un poligon fundamental ABA ⁻¹ B ⁻¹ .

Întoarcerea unui toro perforat din interior în exterior

Grupul fundamental al torului este doar produsul direct al grupului fundamental al cercului cu el însuși:

${\ displaystyle \ pi _ {1} (\ mathbf {T} ^ {2}) = \ pi _ {1} (S ^ {1}) \ times \ pi _ {1} (S ^ {1}) \ cong \ mathbf {Z} \ times \ mathbf {Z}.}$

Intuitiv vorbind, aceasta înseamnă că o cale închisă care înconjoară „gaura” torului (să zicem, un cerc care trasează o anumită latitudine) și apoi înconjoară „corpul” torului (de exemplu, un cerc care trasează o anumită longitudine) poate fi deformat pe o cale care înconjoară corpul și apoi gaura. Deci, drumurile strict „latitudinale” și strict „longitudinale” fac naveta. O declarație echivalentă poate fi imaginată ca două șireturi de pantofi care trec unul peste celălalt, apoi se desfac, apoi se derulează.

Dacă un tor este străpuns și rotit din exterior, atunci rezultă un alt tor, cu linii de latitudine și longitudine schimbate. Acest lucru este echivalent cu construirea unui tor dintr-un cilindru, prin îmbinarea capetelor circulare între ele, în două moduri: în jurul exteriorului, cum ar fi unirea a două capete ale unui furtun de grădină, sau prin interior, ca o rulare a unei șosete (cu degetul tăiat). În plus, dacă cilindrul a fost realizat prin lipirea a două laturi opuse ale unui dreptunghi împreună, alegerea celorlalte două laturi va provoca aceeași inversare a orientării.

Primul grup de omologie al torului este izomorf pentru grupul fundamental (acest lucru rezultă din teorema lui Hurewicz, deoarece grupul fundamental este abelian ).

Copertă cu două foi

2-torul acoperă dublu-sfera cu patru puncte de ramificare . Fiecare structură conformală de pe 2-tor poate fi reprezentată ca o acoperire cu două foi a 2-sferei. Punctele de pe tor care corespund punctelor de ramificare sunt punctele Weierstrass . De fapt, tipul conform al torului este determinat de raportul încrucișat al celor patru puncte.

n -tor dimensional

O proiecție stereografică a unui tor Clifford în patru dimensiuni realizând o rotație simplă prin planul xz

Torul are o generalizare la dimensiuni superioare, tor n-dimensional , numit adesea n- torsauhipertorpe scurt. (Acesta este sensul mai tipic al termenului „n-torus”, celălalt referindu-se langăuri sau la genuln.) Amintind că torul este spațiul produs al a două cercuri,toruln-dimensional este produsul luincercuri. Acesta este:

${\ displaystyle \ mathbf {T} ^ {n} = \ underbrace {S ^ {1} \ times \ cdots \ times S ^ {1}} _ {n}.}$

1-tor este doar cercul: T ¹  =  S ¹ . Torul discutat mai sus este 2-torul, T ² . Și similar cu 2-torus, n -torus, T ⁿ poate fi descris ca un coeficient de R ⁿ sub deplasări integrale în orice coordonată. Adică, n -torus este R ⁿ modulo acțiunea rețelei întregi Z ⁿ (acțiunea fiind luată ca adiție vectorială). În mod echivalent, n -torusul este obținut din hipercubul n- dimensional prin lipirea fețelor opuse împreună.

Un n -torus în acest sens este un exemplu de varietate compactă n- dimensională . Este, de asemenea, un exemplu de grup abelian Lie compact . Acest lucru rezultă din faptul că cercul unității este un grup Lie abelian compact (atunci când este identificat cu numerele complexe unitare cu multiplicare). Înmulțirea grupului pe toro este apoi definită prin multiplicare coordonată.

Grupurile toroidale joacă un rol important în teoria grupurilor Lie compacte . Acest lucru se datorează în parte faptului că în orice grup Lie compact G se poate găsi întotdeauna un tor maxim ; adică un subgrup închis care este un tor cu cea mai mare dimensiune posibilă. O astfel de maxim Tori T au un rol de control pentru a juca în teoria conectat G . Grupurile toroidale sunt exemple de protori , care (la fel ca tori) sunt grupuri abeliene conectate compacte, care nu trebuie să fie multiple .

Automorfismele lui T sunt ușor de construit din automorfisme ale rețelei Z ⁿ , care sunt clasificate după matrici integrale inversabile de dimensiunea n cu invers integral; acestea sunt doar matricile integrale cu determinant ± 1. Făcându-i să acționeze pe R ⁿ în mod obișnuit, unul are automorfismul toral tipic pe coeficient.

Grupul fundamental al unui n -torus este un grup abelian liber de rang n . K -lea grup omologie a unui n -torus este un grup abelian liber de rang n alege k . Rezultă că caracteristica Euler a n -torus este 0 pentru toate n . Inel Coomologia H ^• ( T ⁿ ,  Z ) pot fi identificate cu algebra exterior deasupra Z - modulul Z ⁿ ale căror generatoare sunt duali de n netriviale cicluri.

Spațiu de configurare

Spațiul de configurare a 2 puncte nu neapărat distincte pe cerc este coeficientul orbifold al 2-torului, T ² / S ₂ , care este banda Möbius .

Tonnetz este un exemplu de torus în teoria muzicii.
Tonnetz este cu adevărat un tor doar dacă se presupune echivalența enarmonică , astfel încât segmentul (F♯-A♯) al marginii drepte a paralelogramului repetat este identificat cu segmentul (G ♭ -B ♭) al marginii stângi.

Deoarece n -torus este n produsul ori mai mare de cercul, n -torus este spațiul de configurare a n ordonate, nu neapărat puncte distincte pe cerc. Simbolic, T ⁿ = ( S ¹ ) ⁿ . Spațiul de configurare a punctelor neordonate , nu neapărat distincte este în consecință T ⁿ / S _n orbifold , care este coeficientul torului de către grupul simetric pe n litere (permutând coordonatele).

Pentru n = 2, coeficientul este banda Möbius , marginea corespunzătoare punctelor orbifold în care cele două coordonate coincid. Pentru n = 3 acest coeficient poate fi descris ca un tor solid cu secțiune transversală un triunghi echilateral , cu o răsucire ; echivalent, ca o prismă triunghiulară ale cărei fețe superioare și inferioare sunt conectate cu o răsucire 1/3 (120 °): interiorul tridimensional corespunde punctelor de pe 3-tor unde toate cele 3 coordonate sunt distincte, fața bidimensională corespunde punctelor cu 2 coordonate egale și a 3-a diferite, în timp ce muchia 1-dimensională corespunde punctelor cu toate cele 3 coordonate identice.

Aceste orbifolduri au găsit aplicații semnificative la teoria muzicii în opera lui Dmitri Tymoczko și a colaboratorilor (Felipe Posada, Michael Kolinas și colab.), Fiind utilizate pentru a modela triade muzicale .

Tor plat

În trei dimensiuni, se poate îndoi un dreptunghi într-un tor, dar acest lucru întinde de obicei suprafața, așa cum se vede prin distorsiunea modelului în carouri.

Văzut în proiecție stereografică , un tor plat 4D poate fi proiectat în 3 dimensiuni și rotit pe o axă fixă.

Cea mai simplă placare a unui toro plat este {4,4} _1,0 , construită pe suprafața unui duocilindru cu 1 vârf, 2 margini ortogonale și o față pătrată. Se vede aici proiectat stereografic în 3 spații ca un tor.

Un toro plat este un toro cu metrica moștenită din reprezentarea sa ca coeficient , R ² / L , unde L este un subgrup discret de R ² izomorf la Z ² . Acest lucru conferă coeficientului structura unei varietăți riemanniene . Poate cel mai simplu exemplu în acest sens este atunci când L = Z ² : R ² / Z ² , care poate fi descris și ca plan cartezian sub identificările ( x , y ) ~ ( x + 1, y ) ~ ( x , y + 1) . Acest toro plat particular (și orice versiune uniformă a acestuia) este cunoscut sub numele de toro plat „pătrat”.

Această metrică a torului plat pătrat poate fi realizată și prin încorporări specifice ale 2-torului familiar în dimensiuni mai mari de 4 spații euclidiene. Suprafața sa are curbură gaussiană nulă peste tot. Suprafața sa este plană în același sens în care suprafața unui cilindru este plană. În 3 dimensiuni, se poate îndoi o foaie plată de hârtie într-un cilindru fără a întinde hârtia, dar acest cilindru nu poate fi îndoit într-un tor fără a întinde hârtia (dacă nu se renunță la anumite condiții de regularitate și diferențialitate, vezi mai jos).

O simplă încorporare euclidiană în 4 dimensiuni a unui tor plat dreptunghiular (mai general decât cel pătrat) este după cum urmează:

${\ displaystyle (x, y, z, w) = (R \ cos u, R \ sin u, P \ cos v, P \ sin v)}$

unde R și P sunt constante care determină raportul de aspect. Este diferit de un tor regulat, dar nu izometric . Nu poate fi încorporat analitic ( neted din clasa C ^k , 2 ≤ k ≤ ∞ ) în spațiul 3 euclidian. Cartarea acestuia în 3 spații necesită una pentru a o întinde, caz în care arată ca un tor regulat. De exemplu, în următoarea hartă:

${\ displaystyle (x, y, z) = ((R + P \ sin v) \ cos u, (R + P \ sin v) \ sin u, P \ cos v).}$

Dacă R și P în parametrizarea torului plat de mai sus formează un vector unitate ( R , P ) = (cos ( η ), sin ( η )) atunci u , v și η parametrizează unitatea 3-sferă ca coordonate Hopf . În special, pentru anumite alegeri foarte specifice ale unui tor plat pătrat în 3-sfera S ³ , unde η = π / 4 de mai sus, torul va împărți sfera 3 în două subseturi de tori solide congruente cu suprafața de tor plat sus menționată ca granița lor comună . Un exemplu este torul T definit de

${\ displaystyle T = \ left \ {(x, y, z, w) \ in \ mathbf {S} ^ {3} \ mid x ^ {2} + y ^ {2} = {\ frac {1} { 2}}, \ z ^ {2} + w ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ right \}.}$

Alte tori din S ³ având această proprietate de partiționare includ tori pătrate de forma Q ⋅ T , unde Q este o rotație a spațiului 4-dimensional R ⁴ , sau cu alte cuvinte Q este un membru al grupului Lie SO (4).

Este cunoscut faptul că nu există nici o C ² ( de două ori continuu diferențiabilă) încorporarea unui torus plat în 3-spațiu. (Ideea dovezii este de a lua o sferă mare care conține un astfel de tor plat în interiorul său și de a micșora raza sferei până când atinge torul pentru prima dată. Un astfel de punct de contact trebuie să fie o tangență. Dar asta ar implica faptul că o parte a torului, deoarece are curbură zero peste tot, trebuie să se afle strict în afara sferei, ceea ce este o contradicție.) Pe de altă parte, conform teoremei Nash-Kuiper , care a fost dovedită în anii 1950, un încorporarea izometrică C ¹ există. Aceasta este doar o dovadă a existenței și nu oferă ecuații explicite pentru o astfel de încorporare.

În aprilie 2012, a fost găsită o încorporare explicită C ¹ (continuu diferențiată) a unui tor plat în spațiul euclidian tridimensional R ³ . Are o structură similară cu o fractală , deoarece este construită prin ondularea repetată a unui tor obișnuit. La fel ca fractalii, nu are o curbură gaussiană definită. Cu toate acestea, spre deosebire de fractali, are normale de suprafață definite . Este un tor plat în sensul că, ca spații metrice, este izometric pentru un tor pătrat plat. (Aceste ondulații infinit recursive sunt utilizate numai pentru încorporarea în trei dimensiuni; nu sunt o caracteristică intrinsecă a torului plat.) Este pentru prima dată când o astfel de încorporare a fost definită prin ecuații explicite sau descrisă prin grafica computerizată.

Genul g suprafață

În teoria suprafețelor există un alt obiect, suprafața „ genului ” g . În loc de produsul cercurilor n , o suprafață de gen g este suma conectată a g două-tori. Pentru a forma o sumă conectată a două suprafețe, îndepărtați din interior interiorul unui disc și „lipiți” suprafețele împreună de-a lungul cercurilor limită. Pentru a forma suma conectată a mai mult de două suprafețe, sumați două dintre ele la un moment dat, până când sunt conectate toate. În acest sens, o suprafață de gen g seamănă cu suprafața de g gogoși lipiți unul lângă altul sau cu o 2-sferă cu g mânere atașate.

Ca exemple, o suprafață de gen zero (fără limită) este cu două sfere, în timp ce o suprafață de gen (fără limită) este torul obișnuit. Suprafețele genului superior sunt uneori numite tori n -holed (sau, rar, n- fold tori). Termenii dublu tor și triplu tor sunt de asemenea folosiți ocazional.

Teorema de clasificare pentru suprafețe prevede că fiecare compactă conectată suprafață este topologic echivalent , fie sfera sau suma de conectare a unor număr de Tori, discuri, și reale avioane proiective .

genul doi

genul trei

Poliedre toroidale

Un poliedru toroidal cu 6 × 4 = 24 fețe patrulatere

Poliedrele cu tipul topologic al unui tor se numesc poliedre toroidale și au caracteristica Euler V - E + F = 0. Pentru orice număr de găuri, formula se generalizează la V - E + F = 2 - 2 N , unde N este numărul de găuri.

Termenul "poliedru toroidal" este, de asemenea, utilizat pentru poliedrele de gen superior și pentru imersiunile poliedrelor toroidale.

Automorfisme

Grupul homeomorfism (sau subgrupul de difeomorfisme) al torului este studiat în topologia geometrică . Grupul său de clase de mapare (componentele conectate ale grupului homeomorfism) este izomorf la grupul GL ( n ,  Z ) al matricilor întregi inversabile și poate fi realizat ca hărți liniare pe spațiul universal de acoperire R ⁿ care păstrează rețeaua standard Z ⁿ (aceasta corespunde coeficienților întregi) și astfel coborâți la coeficient.

La nivel de homotopie și omologie , grupul de clasă de cartografiere poate fi identificat ca acțiune asupra primei omologii (sau echivalent, prima cohomologie sau asupra grupului fundamental , deoarece acestea sunt toate izomorfe în mod natural; de asemenea, primul grup de cohomologie generează cohomologia algebră:

${\ displaystyle \ operatorname {MCG} (\ mathbf {T} ^ {n}) = \ operatorname {Aut} (\ pi _ {1} (X)) = \ operatorname {Aut} (\ mathbf {Z} ^ { n}) = \ operatorname {GL} (n, \ mathbf {Z}).}$

Deoarece torul este un spațiu Eilenberg – MacLane K ( G , 1), echivalențele sale homotopice, până la homotopie, pot fi identificate cu automorfisme ale grupului fundamental); faptul că acest lucru este de acord cu grupul clasei de cartografiere reflectă faptul că toate echivalențele homotopice pot fi realizate prin homeomorfisme - fiecare echivalență homotopică este homotopă la un homeomorfism - și că homeomorfismele homotopice sunt de fapt izotopice (conectate prin homeomorfisme, nu doar prin echivalențe homotopice). Mai mult, harta Homeo ( T ⁿ ) → SHE ( T ⁿ ) este conectată 1 (izomorfă pe componentele căii, pe grupul fundamental). Acesta este un rezultat „homeomorfismul se reduce la homotopie se reduce la algebra”.

Astfel secvența scurtă exactă a grupului de clase de cartografiere se împarte (o identificare a torului ca și coeficientul lui R ⁿ dă o împărțire, prin hărțile liniare, ca mai sus):

${\ displaystyle 1 \ to \ operatorname {Homeo} _ {0} (\ mathbf {T} ^ {n}) \ to \ operatorname {Homeo} (\ mathbf {T} ^ {n}) \ to \ operatorname {MCG } (\ mathbf {T} ^ {n}) \ la 1,}$

deci grupul homeomorfism al torului este un produs semidirect ,

${\ displaystyle \ operatorname {Homeo} (\ mathbf {T} ^ {n}) \ cong \ operatorname {Homeo} _ {0} (\ mathbf {T} ^ {n}) \ rtimes \ operatorname {GL} (n , \ mathbf {Z}).}$

Grupul clasei de cartografiere a suprafețelor genului superior este mult mai complicat și este o zonă de cercetare activă.

Colorarea unui tor

Numărul Heawood al torului este șapte, ceea ce înseamnă că fiecare grafic care poate fi încorporat pe tor are un număr cromatic de cel mult șapte. (Deoarece graficul complet poate fi încorporat pe tor și , limita superioară este strânsă.) În mod echivalent, într-un tor împărțit în regiuni, este întotdeauna posibil să colorați regiunile folosind nu mai mult de șapte culori, astfel încât să nu existe regiuni învecinate. aceeași culoare. (Contrastează cu teorema celor patru culori pentru plan .) ${\ displaystyle {\ mathsf {K_ {7}}}}$${\ displaystyle \ chi ({\ mathsf {K_ {7}}}) = 7}$

Această construcție arată torul împărțit în șapte regiuni, fiecare dintre ele atingându-se una pe cealaltă, ceea ce înseamnă că fiecare trebuie să aibă o culoare unică.

de Bruijn torus

Modelul STL al lui Bruijn torus (16,32; 3,3) ₂ cu 1s ca panouri și 0s ca găuri în plasă - cu orientare consistentă, fiecare matrice 3 × 3 apare exact o dată

În matematica combinatorie , un de Bruijn torus este o matrice de simboluri dintr-un alfabet (adesea doar 0 și 1) care conține fiecare matrice m -by- n exact o dată. Este un tor, deoarece marginile sunt considerate înfășurate în scopul găsirii matricilor. Numele său provine din secvența De Bruijn , care poate fi considerată un caz special în care n este 1 (o dimensiune).

Tăierea unui tor

Un tor solid de revoluție poate fi tăiat de n (> 0) planuri în maxim

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} n + 2 \\ n-1 \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} n \\ n-1 \ end {pmatrix}} = {\ tfrac {1} { 6}} (n ^ {3} + 3n ^ {2} + 8n)}$

părți.

Primele 11 numere de părți, pentru 0 ≤ n ≤ 10 (inclusiv cazul lui n = 0, care nu sunt acoperite de formulele de mai sus), sunt după cum urmează:

1, 2, 6, 13, 24, 40, 62, 91, 128, 174, 230, ... (secvența A003600 din OEIS ).

Vezi si

Note

• Nociones de Geometría Analítica y Álgebra Lineal , ISBN  978-970-10-6596-9 , Autor: Kozak Ana Maria, Pompeya Pastorelli Sonia, Verdanega Pedro Emilio, Editorial: McGraw-Hill, Ediția 2007, 744 pagini, limba: spaniolă
• Allen Hatcher. Topologie algebrică . Cambridge University Press, 2002. ISBN  0-521-79540-0 .
• VV Nikulin, IR Shafarevich. Geometrii și grupuri . Springer, 1987. ISBN  3-540-15281-4 , ISBN  978-3-540-15281-1 .
• „Tore (notion géométrique)” la Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Referințe

linkuri externe

• Crearea unui tor la tăierea nodului
• "Tor 4D" Secțiuni transversale ale unui tor cu patru dimensiuni
• „Harta perspectivei relaționale” Vizualizarea datelor de înaltă dimensiune cu tor plat
• Poligoane, poligoane în formă de gogoșă
• Séquin, Carlo H (27 ianuarie 2014). „Topologia unui Torus răsucit - Numberphile” (video) . Brady Haran .
• Anders Sandberg (4 februarie 2014). „Pământul Torus” . Accesat la 24 iulie 2019 .