Funcția de furie - Anger function

În matematică, funcția Anger , introdusă de CT Anger  ( 1855 ), este o funcție definită ca

${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (\ nu \ theta -z \ sin \ theta) \, d \ theta}$

și este strâns legat de funcțiile Bessel .

Funcția Weber (cunoscută și sub numele de funcția Lommel – Weber ), introdusă de HF Weber  ( 1879 ), este o funcție strâns legată definită de

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin (\ nu \ theta -z \ sin \ theta) \, d \ theta}$

și este strâns legat de funcțiile Bessel de al doilea fel.

Relația dintre funcțiile Weber și Anger

Funcțiile Anger și Weber sunt legate de

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin (\ pi \ nu) \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) & = \ cos (\ pi \ nu) \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) - \ mathbf {E} _ {- \ nu} (z), \\ - \ sin (\ pi \ nu) \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) & = \ cos (\ pi \ nu) \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) - \ mathbf {J} _ {- \ nu} (z), \ end {align}}}$

deci, în special, dacă ν nu este un număr întreg, acestea pot fi exprimate ca combinații liniare între ele. Dacă ν este un număr întreg, atunci funcțiile Anger J _ν sunt aceleași cu funcțiile Bessel J _ν , iar funcțiile Weber pot fi exprimate ca combinații liniare finite ale funcțiilor Struve .

Extinderea seriei Power

Funcția Anger are extinderea seriei de putere

${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) = \ cos {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k}} {4 ^ {k} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ right) \ Gamma \ left (k - {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ right)}} + \ sin {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k + 1} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2} } \ right) \ Gamma \ left (k - {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2}} \ right)}}.}$

În timp ce funcția Weber are extinderea seriei de putere

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = \ sin {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k}} {4 ^ {k} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ right) \ Gamma \ left (k - {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ right)}} - \ cos {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k + 1} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2} } \ right) \ Gamma \ left (k - {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2}} \ right)}}.}$

Ecuatii diferentiale

Funcțiile Anger și Weber sunt soluții de forme neomogene ale ecuației lui Bessel

${\ displaystyle z ^ {2} y ^ {\ prime \ prime} + zy ^ {\ prime} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = 0.}$

Mai exact, funcțiile Anger satisfac ecuația

${\ displaystyle z ^ {2} y ^ {\ prime \ prime} + zy ^ {\ prime} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = {\ frac {(z- \ nu) \ sin (\ pi \ nu)} {\ pi}},}$

iar funcțiile Weber satisfac ecuația

${\ displaystyle z ^ {2} y ^ {\ prime \ prime} + zy ^ {\ prime} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = - {\ frac {z + \ nu + ( z- \ nu) \ cos (\ pi \ nu)} {\ pi}}.}$

Relații de recurență

Funcția Anger satisface această formă neomogenă a relației de recurență

${\ displaystyle z \ mathbf {J} _ {\ nu -1} (z) + z \ mathbf {J} _ {\ nu +1} (z) = 2 \ nu \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) - {\ frac {2 \ sin \ pi \ nu} {\ pi}}.}$

În timp ce funcția Weber satisface această formă neomogenă a relației de recurență

${\ displaystyle z \ mathbf {E} _ {\ nu -1} (z) + z \ mathbf {E} _ {\ nu +1} (z) = 2 \ nu \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) - {\ frac {2 (1- \ cos \ pi \ nu)} {\ pi}}.}$

Întârziați ecuațiile diferențiale

Funcțiile Anger și Weber satisfac aceste forme omogene de ecuații diferențiale de întârziere

${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu -1} (z) - \ mathbf {J} _ {\ nu +1} (z) = 2 {\ dfrac {\ partial} {\ partial z}} \ mathbf {J} _ {\ nu} (z),}$

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu -1} (z) - \ mathbf {E} _ {\ nu +1} (z) = 2 {\ dfrac {\ partial} {\ partial z}} \ mathbf {E} _ {\ nu} (z).}$

Funcțiile Anger și Weber satisfac, de asemenea, aceste forme neomogene de ecuații diferențiale de întârziere

${\ displaystyle z {\ dfrac {\ partial} {\ partial z}} \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) \ pm \ nu \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) = \ pm z \ mathbf {J} _ {\ nu \ mp 1} (z) \ pm {\ frac {\ sin \ pi \ nu} {\ pi}},}$

${\ displaystyle z {\ dfrac {\ partial} {\ partial z}} \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) \ pm \ nu \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = \ pm z \ mathbf {E} _ {\ nu \ mp 1} (z) \ pm {\ frac {1- \ cos \ pi \ nu} {\ pi}}.}$

Referințe

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [iunie 1964]. „Capitolul 12” . Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice . Seria de matematică aplicată. 55 (Noua reeditare cu corecții suplimentare ale zecelea tipăriri originale cu corecții (decembrie 1972); prima ediție). Washington DC; New York: Departamentul de Comerț al Statelor Unite, Biroul Național de Standarde; Publicații Dover. p. 498. ISBN   978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . MR   0167642 . LCCN   65-12253 .
• CT Anger, Neueste Schr. d. Naturf. d. Ges. eu. Danzig, 5 (1855) pp. 1–29
• Prudnikov, AP (2001) [1994], "Funcția furiei" , Enciclopedia Matematicii , EMS Press CS1 maint: parametru descurajat ( link )
• Prudnikov, AP (2001) [1994], "Funcția Weber" , Enciclopedia Matematicii , EMS Press
• GN Watson , „Un tratat despre teoria funcțiilor Bessel”, 1-2, Cambridge Univ. Presă (1952)
• HF Weber, Zurich Vierteljahresschrift, 24 (1879) pp. 33–76