Vrede funktion - Anger function

I matematik er Anger-funktionen , introduceret af CT Anger  ( 1855 ), en funktion defineret som

${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (\ nu \ theta -z \ sin \ theta) \, d \ theta}$

og er tæt knyttet til Bessel-funktioner .

Den Weber funktion (også kendt som Lommel-Weber-funktion ), indført ved HF Weber  ( 1879 ), er en nært beslægtet funktion defineret ved

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin (\ nu \ theta -z \ sin \ theta) \, d \ theta}$

og er tæt knyttet til Bessel-funktioner af anden art.

Forholdet mellem Weber- og Anger-funktionerne

Anger og Weber-funktionerne er relateret til

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin (\ pi \ nu) \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) & = \ cos (\ pi \ nu) \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) - \ mathbf {E} _ {- \ nu} (z), \\ - \ sin (\ pi \ nu) \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) & = \ cos (\ pi \ nu) \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) - \ mathbf {J} _ {- \ nu} (z), \ end {justeret}}}$

så især hvis ν ikke er et heltal, kan de udtrykkes som lineære kombinationer af hinanden. Hvis ν er et heltal, er vrede-funktioner J _ν de samme som Bessel-funktioner J _ν , og Weber-funktioner kan udtrykkes som endelige lineære kombinationer af Struve-funktioner .

Power series udvidelse

Anger-funktionen har udvidelsen af ​​motorserien

${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) = \ cos {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k}} {4 ^ {k} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ right) \ Gamma \ left (k - {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ højre)}} + \ sin {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k + 1} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2} } \ højre) \ Gamma \ venstre (k - {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2}} \ højre)}}.}$

Mens Weber-funktionen har udvidelsen af ​​power-serien

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = \ sin {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k}} {4 ^ {k} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ right) \ Gamma \ left (k - {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ højre)}} - \ cos {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k + 1} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2} } \ højre) \ Gamma \ venstre (k - {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2}} \ højre)}}.}$

Differentialligninger

Anger og Weber-funktionerne er løsninger på inhomogene former for Bessels ligning

${\ displaystyle z ^ {2} y ^ {\ prime \ prime} + zy ^ {\ prime} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = 0.}$

Mere præcist opfylder vrede-funktionerne ligningen

${\ displaystyle z ^ {2} y ^ {\ prime \ prime} + zy ^ {\ prime} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = {\ frac {(z- \ nu) \ sin (\ pi \ nu)} {\ pi}},}$

og Weber-funktionerne tilfredsstiller ligningen

${\ displaystyle z ^ {2} y ^ {\ prime \ prime} + zy ^ {\ prime} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = - {\ frac {z + \ nu + ( z- \ nu) \ cos (\ pi \ nu)} {\ pi}}.}$

Gentagelsesforhold

Anger-funktionen opfylder denne inhomogene form for gentagelsesforhold

${\ displaystyle z \ mathbf {J} _ {\ nu -1} (z) + z \ mathbf {J} _ {\ nu +1} (z) = 2 \ nu \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) - {\ frac {2 \ sin \ pi \ nu} {\ pi}}.}$

Mens Weber-funktionen opfylder denne inhomogene form for gentagelsesrelation

${\ displaystyle z \ mathbf {E} _ {\ nu -1} (z) + z \ mathbf {E} _ {\ nu +1} (z) = 2 \ nu \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) - {\ frac {2 (1- \ cos \ pi \ nu)} {\ pi}}.}$

Forsink differentialligninger

Anger og Weber-funktionerne tilfredsstiller disse homogene former for forsinkelsesdifferentialligninger

${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu -1} (z) - \ mathbf {J} _ {\ nu +1} (z) = 2 {\ dfrac {\ partial} {\ partial z}} \ mathbf {J} _ {\ nu} (z),}$

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu -1} (z) - \ mathbf {E} _ {\ nu +1} (z) = 2 {\ dfrac {\ partial} {\ partial z}} \ mathbf {E} _ {\ nu} (z).}$

Anger og Weber-funktionerne tilfredsstiller også disse inhomogene former for forsinkelsesdifferentialligninger

${\ displaystyle z {\ dfrac {\ partial} {\ partial z}} \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) \ pm \ nu \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) = \ pm z \ mathbf {J} _ {\ nu \ mp 1} (z) \ pm {\ frac {\ sin \ pi \ nu} {\ pi}},}$

${\ displaystyle z {\ dfrac {\ partial} {\ partial z}} \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) \ pm \ nu \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = \ pm z \ mathbf {E} _ {\ nu \ mp 1} (z) \ pm {\ frac {1- \ cos \ pi \ nu} {\ pi}}.}$

Referencer

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , red. (1983) [juni 1964]. "Kapitel 12" . Håndbog med matematiske funktioner med formler, grafer og matematiske tabeller . Anvendt matematik-serie. 55 (Niende genoptryk med yderligere korrektioner af tiende originaltryk med rettelser (december 1972); første udgave). Washington DC; New York: USA's handelsministerium, National Bureau of Standards; Dover-publikationer. s. 498. ISBN   978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . MR   0167642 . LCCN   65-12253 .
• CT Anger, Neueste Schr. d. Naturf. d. Ges. jeg. Danzig, 5 (1855) s. 1–29
• Prudnikov, AP (2001) [1994], "Anger function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press CS1 maint: modløs parameter ( link )
• Prudnikov, AP (2001) [1994], "Weber-funktion" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• GN Watson , "En afhandling om teorien om Bessel-funktioner", 1–2, Cambridge Univ. Presse (1952)
• HF Weber, Zürich Vierteljahresschrift, 24 (1879) s. 33–76