Funcția Bessel - Bessel function

Funcțiile Bessel , definite mai întâi de matematicianul Daniel Bernoulli și apoi generalizate de Friedrich Bessel , sunt soluții canonice y ( x ) ale ecuației diferențiale a lui Bessel

${\ displaystyle x ^ {2} {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + x {\ frac {dy} {dx}} + \ left (x ^ {2} - \ alfa ^ {2} \ dreapta) y = 0}$

pentru un număr complex arbitrar α , ordinea funcției Bessel. Deși α și - α produc aceeași ecuație diferențială, este convențional să se definească diferite funcții Bessel pentru aceste două valori în așa fel încât funcțiile Bessel să fie în mare parte funcții netede ale lui α .

Cele mai importante cazuri sunt când α este un număr întreg sau jumătate . Funcțiile Bessel pentru numărul întreg α sunt, de asemenea, cunoscute sub numele de funcții cilindrice sau armonii cilindrice, deoarece apar în soluția ecuației lui Laplace în coordonate cilindrice . Funcțiile sferice Bessel cu jumătate întreg α sunt obținute atunci când ecuația Helmholtz este rezolvată în coordonate sferice .

Aplicații ale funcțiilor Bessel

Ecuația lui Bessel apare atunci când se găsesc soluții separabile la ecuația lui Laplace și la ecuația Helmholtz în coordonate cilindrice sau sferice . Funcțiile Bessel sunt, prin urmare, deosebit de importante pentru multe probleme de propagare a undelor și potențiale statice. În rezolvarea problemelor din sistemele de coordonate cilindrice, se obțin funcții Bessel de ordin întreg ( α = n ); în problemele sferice, se obțin ordine de jumătate întregi ( α = n + 1/2). De exemplu:

• Undele electromagnetice într-un ghid de undă cilindric
• Amplitudini de presiune ale fluxurilor de rotație inviscide
• Conducerea căldurii într-un obiect cilindric
• Moduri de vibrație ale unei membrane acustice subțiri circulare (sau inelare) (cum ar fi un tambur sau alt membranofon )
• Probleme de difuzie pe o rețea
• Soluții la ecuația radială Schrödinger (în coordonate sferice și cilindrice) pentru o particulă liberă
• Rezolvarea modelelor de radiații acustice
• Fricțiune dependentă de frecvență în conducte circulare
• Dinamica corpurilor plutitoare
• Rezoluție unghiulară
• Diferența față de obiectele elicoidale, inclusiv ADN-ul
• Funcția densității probabilității produsului a două variabile aleatorii distribuite în mod normal

Funcțiile Bessel apar și în alte probleme, cum ar fi procesarea semnalului (de exemplu, consultați sinteza FM , fereastra Kaiser sau filtrul Bessel ).

Definiții

Deoarece aceasta este o ecuație diferențială liniară de ordinul doi, trebuie să existe două soluții liniar independente . Cu toate acestea, în funcție de circumstanțe, sunt convenabile diverse formulări ale acestor soluții. Diferite variații sunt rezumate în tabelul de mai jos și descrise în următoarele secțiuni.

Tip	Primul fel	Al doilea fel
Funcții Bessel	J α	Y α
Funcții Bessel modificate	I α	K α
Funcțiile Hankel	H(1) α= J α + iY α	H(2) α= J α - iY α
Funcții sferice Bessel	j n	y n
Funcții sferice Hankel	h(1) n= j n + iy n	h(2) n= j n - iy n

Funcțiile Bessel de al doilea fel și funcțiile sferice Bessel de al doilea fel sunt uneori notate cu N _n și respectiv n _n , mai degrabă decât Y _n și y _n .

Funcții Bessel de primul fel: J _α

Funcțiile Bessel de primul fel, notate ca J _α ( x ) , sunt soluții ale ecuației diferențiale a lui Bessel. Pentru α întreg sau pozitiv  , funcțiile Bessel de primul fel sunt finite la origine ( x = 0 ); în timp ce pentru α negativ neîntreg  , funcțiile Bessel de primul fel diverg pe măsură ce x se apropie de zero. Este posibil să se definească funcția prin expansiunea sa în jurul valorii de x = 0 , care poate fi găsită prin aplicarea metodei Frobenius la ecuația lui Bessel:

${\ displaystyle J _ {\ alpha} (x) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m}} {m! \ Gamma (m + \ alpha +1) }} {\ left ({\ frac {x} {2}} \ right)} ^ {2m + \ alpha},}$

unde Γ ( z ) este funcția gamma , o generalizare deplasată a funcției factoriale la valori care nu sunt întregi. Funcția Bessel de primul fel este o funcție întreagă dacă α este un număr întreg, altfel este o funcție cu mai multe valori cu singularitate la zero. Graficele funcțiilor Bessel seamănă aproximativ cu funcțiile osinante ale sinusului sau ale cosinusului care se descompun proporțional cu (a se vedea și formele lor asimptotice de mai jos), deși rădăcinile lor nu sunt în general periodice, cu excepția asimptotică pentru x mare . (Seria indică faptul că - J ₁ ( x ) este derivata lui J ₀ ( x ) , la fel ca −sin x este derivata lui cos x ; mai general, derivata lui J _n ( x ) poate fi exprimată în termeni de J _{n ± 1} ( x ) după identitățile de mai jos .) ${\ displaystyle x ^ {- {\ frac {1} {2}}}}$

Pentru α neîntreg , funcțiile J _α ( x ) și J _{- α} ( x ) sunt liniar independente și, prin urmare, sunt cele două soluții ale ecuației diferențiale. Pe de altă parte, pentru ordinul întreg n , este valabilă următoarea relație (funcția gamma are poli simpli la fiecare dintre numerele întregi nepozitive):

${\ displaystyle J _ {- n} (x) = (- 1) ^ {n} J_ {n} (x).}$

Aceasta înseamnă că cele două soluții nu mai sunt liniar independente. În acest caz, a doua soluție liniar independentă este apoi găsită a fi funcția Bessel de al doilea fel, așa cum este discutat mai jos.

Integralele lui Bessel

O altă definiție a funcției Bessel, pentru valorile întregi ale lui n , este posibilă utilizând o reprezentare integrală:

${\ displaystyle J_ {n} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (n \ tau -x \ sin \ tau) \, d \ tau = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} e ^ {i (x \ sin \ tau -n \ tau)} \, d \ tau.}$

Aceasta a fost abordarea pe care a folosit-o Bessel și din această definiție a derivat mai multe proprietăți ale funcției. Definiția poate fi extinsă la ordinele care nu sunt întregi prin una dintre integralele lui Schläfli, pentru Re ( x )> 0 :

${\ displaystyle J _ {\ alpha} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (\ alpha \ tau -x \ sin \ tau) \, d \ tau - {\ frac {\ sin \ alpha \ pi} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x \ sinh t- \ alpha t} \, dt.}$

Relația cu seria hipergeometrică

Funcțiile Bessel pot fi exprimate în termeni ai seriei hipergeometrice generalizate ca

${\ displaystyle J _ {\ alpha} (x) = {\ frac {\ left ({\ frac {x} {2}} \ right) ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha +1)}} \ ; _ {0} F_ {1} \ left (\ alpha +1; - {\ frac {x ^ {2}} {4}} \ right).}$

Această expresie este legată de dezvoltarea funcțiilor Bessel în ceea ce privește funcția Bessel – Clifford .

Relația cu polinoamele Laguerre

În ceea ce privește polinomii Laguerre L _k și parametrul ales arbitrar t , funcția Bessel poate fi exprimată ca

${\ displaystyle {\ frac {J _ {\ alpha} (x)} {\ left ({\ frac {x} {2}} \ right) ^ {\ alpha}}} = {\ frac {e ^ {- t }} {\ Gamma (\ alpha +1)}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {L_ {k} ^ {(\ alpha)} \ left ({\ frac {x ^ {2}} {4t}} \ right)} {\ binom {k + \ alpha} {k}}} {\ frac {t ^ {k}} {k!}}.}$

Funcții Bessel de al doilea fel: Y _α

Funcțiile Bessel de al doilea fel, notate cu Y _α ( x ) , ocazional denotate în loc cu N _α ( x ) , sunt soluții ale ecuației diferențiale Bessel care au o singularitate la origine ( x = 0 ) și sunt multivalorizate . Acestea sunt uneori numite funcții Weber , deoarece au fost introduse de HM Weber  ( 1873 ), precum și funcții Neumann după Carl Neumann .

Pentru α neîntreg , Y _α ( x ) este legat de J _α ( x ) de

${\ displaystyle Y _ {\ alpha} (x) = {\ frac {J _ {\ alpha} (x) \ cos (\ alpha \ pi) -J _ {- \ alpha} (x)} {\ sin (\ alpha \ pi)}}.}$

În cazul ordinii întregi n , funcția este definită luând limita deoarece un non-întreg α tinde la n :

${\ displaystyle Y_ {n} (x) = \ lim _ {\ alpha \ to n} Y _ {\ alpha} (x).}$

Dacă n este un număr întreg negativ, avem seria

${\ displaystyle Y_ {n} (z) = - {\ frac {\ left ({\ frac {z} {2}} \ right) ^ {- n}} {\ pi}} \ sum _ {k = 0 } ^ {n-1} {\ frac {(nk-1)!} {k!}} \ left ({\ frac {z ^ {2}} {4}} \ right) ^ {k} + {\ frac {2} {\ pi}} J_ {n} (z) \ ln {\ frac {z} {2}} - {\ frac {\ left ({\ frac {z} {2}} \ right) ^ {n}} {\ pi}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (\ psi (k + 1) + \ psi (n + k + 1)) {\ frac {\ left (- { \ frac {z ^ {2}} {4}} \ right) ^ {k}} {k! (n + k)!}}}$

unde este funcția digamma , derivatul logaritmic al funcției gamma . ${\ displaystyle \ psi (z)}$

Există, de asemenea, o formulă integrală corespunzătoare (pentru Re ( x )> 0 ):

${\ displaystyle Y_ {n} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin (x \ sin \ theta -n \ theta) \, d \ theta - {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left (e ^ {nt} + (- 1) ^ {n} e ^ {- nt} \ right) e ^ {- x \ sinh t} \, dt.}$

Y _α ( x ) este necesar ca a doua soluție liniar independentă a ecuației lui Bessel atunci când α este un număr întreg. Dar Y _α ( x ) are mai multă semnificație decât asta. Poate fi considerat un partener „natural” al lui J _α ( x ) . Vezi și subsecțiunea despre funcțiile Hankel de mai jos.

Atunci când α este un număr întreg, în plus, așa cum a fost cazul pentru funcțiile de primul fel, este valabilă următoarea relație:

${\ displaystyle Y _ {- n} (x) = (- 1) ^ {n} Y_ {n} (x).}$

Atât J _α ( x ) cât și Y _α ( x ) sunt funcții holomorfe ale lui x pe planul complex tăiat de-a lungul axei reale negative. Când α este un număr întreg, funcțiile Bessel J sunt funcții întregi ale lui x . Dacă x este menținut fix la o valoare diferită de zero, atunci funcțiile Bessel sunt funcții întregi ale lui α .

Funcțiile Bessel de al doilea fel când α este un număr întreg este un exemplu al celui de-al doilea tip de soluție din teorema lui Fuchs .

Funcții Hankel: H⁽¹⁾
_α, H⁽²⁾
_α

O altă formulare importantă a celor două soluții liniar independente la ecuația lui Bessel sunt funcțiile Hankel de primul și al doilea fel , H⁽¹⁾
_α( x ) și H⁽²⁾
_α( x ) , definit ca

${\ displaystyle {\ begin {align} H _ {\ alpha} ^ {(1)} (x) & = J _ {\ alpha} (x) + iY _ {\ alpha} (x), \\ H _ {\ alpha} ^ {(2)} (x) & = J _ {\ alpha} (x) -iY _ {\ alpha} (x), \ end {align}}}$

unde i este unitatea imaginară . Aceste combinații liniare sunt, de asemenea, cunoscute sub numele de funcții Bessel de al treilea tip ; sunt două soluții liniar independente ale ecuației diferențiale a lui Bessel. Ele poartă numele lui Hermann Hankel .

Aceste forme de combinație liniară satisfac numeroase proprietăți simple, cum ar fi formulele asimptotice sau reprezentările integrale. Aici, „simplu” înseamnă apariția unui factor de forma e ^{i  f (x)} . Pentru real , unde , sunt reale, funcțiile Bessel de primul și al doilea fel sunt părțile reale și, respectiv, imaginare ale primei funcții Hankel și părțile imaginare reale și negative ale celei de-a doua funcții Hankel. Astfel, formulele de mai sus sunt analogi cu formula lui Euler , substituind H${\ displaystyle x> 0}$${\ displaystyle J _ {\ alpha} (x)}$${\ displaystyle Y _ {\ alpha} (x)}$⁽¹⁾
_α( x ) , H⁽²⁾
_α( X ) pentru și , pentru , așa cum se arată în mod explicit în dezvoltarea asimptotică . ${\ displaystyle e ^ {\ pm ix}}$${\ displaystyle J _ {\ alpha} (x)}$${\ displaystyle Y _ {\ alpha} (x)}$${\ displaystyle \ cos (x)}$${\ displaystyle \ sin (x)}$

Funcțiile Hankel sunt utilizate pentru a exprima soluții de undă cilindrică care se propagă spre exterior și spre interior ale ecuației undelor cilindrice, respectiv (sau invers, în funcție de convenția semnelor pentru frecvență ).

Folosind relațiile anterioare, acestea pot fi exprimate ca

${\ displaystyle {\ begin {align} H _ {\ alpha} ^ {(1)} (x) & = {\ frac {J _ {- \ alpha} (x) -e ^ {- \ alpha \ pi i} J_ {\ alpha} (x)} {i \ sin \ alpha \ pi}}, \\ H _ {\ alpha} ^ {(2)} (x) & = {\ frac {J _ {- \ alpha} (x) -e ^ {\ alpha \ pi i} J _ {\ alpha} (x)} {- i \ sin \ alpha \ pi}}. \ end {align}}}$

Dacă α este un număr întreg, trebuie calculată limita. Următoarele relații sunt valabile, indiferent dacă α este sau nu întreg:

${\ displaystyle {\ begin {align} H _ {- \ alpha} ^ {(1)} (x) & = e ^ {\ alpha \ pi i} H _ {\ alpha} ^ {(1)} (x), \\ H _ {- \ alpha} ^ {(2)} (x) & = e ^ {- \ alpha \ pi i} H _ {\ alpha} ^ {(2)} (x). \ End {align}} }$

În special, dacă α = m +1/2cu m un număr întreg negativ, relațiile de mai sus implică direct că

${\ displaystyle {\ begin {align} J _ {- (m + {\ frac {1} {2}})} (x) & = (- 1) ^ {m + 1} Y_ {m + {\ frac {1} {2}}} (x), \\ Y _ {- (m + {\ frac {1} {2}})} (x) & = (- 1) ^ {m} J_ {m + {\ frac {1} {2}}} (x). \ End {align}}}$

Acestea sunt utile în dezvoltarea funcțiilor sferice Bessel (a se vedea mai jos).

Funcțiile Hankel admit următoarele reprezentări integrale pentru Re ( x )> 0 :

${\ displaystyle {\ begin {align} H _ {\ alpha} ^ {(1)} (x) & = {\ frac {1} {\ pi i}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty + \ pi i} e ^ {x \ sinh t- \ alpha t} \, dt, \\ H _ {\ alpha} ^ {(2)} (x) & = - {\ frac {1} {\ pi i }} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty - \ pi i} e ^ {x \ sinh t- \ alpha t} \, dt, \ end {align}}}$

unde limitele de integrare indică integrarea de-a lungul unui contur care poate fi ales după cum urmează: de la −∞ la 0 de-a lungul axei reale negative, de la 0 la ± πi de -a lungul axei imaginare și de la ± πi la + ∞ ± πi de -a lungul unei paralele de contur spre axa reală.

Funcții Bessel modificate: I _α , K _α

Funcțiile Bessel sunt valabile chiar și pentru argumentele complexe x , iar un caz special important este cel al unui argument pur imaginar. În acest caz, soluțiile la ecuația Bessel sunt numite funcții Bessel modificate (sau ocazional funcții Bessel hiperbolice ) de primul și al doilea tip și sunt definite ca

${\ displaystyle {\ begin {align} I _ {\ alpha} (x) & = i ^ {- \ alpha} J _ {\ alpha} (ix) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {m! \, \ Gamma (m + \ alpha +1)}} \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) ^ {2m + \ alpha}, \\ K _ {\ alpha} (x) & = {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {I _ {- \ alpha} (x) -I _ {\ alpha} (x)} {\ sin \ alpha \ pi}}, \ sfârșit {aliniat}}}$

când α nu este un număr întreg; când α este un număr întreg, atunci se folosește limita. Acestea sunt alese pentru a fi evaluate în mod real pentru argumente reale și pozitive x . Expansiunea serie pentru I _α ( x ) este astfel similară cu cea pentru J _α ( x ) , dar fără factorul alternativ (-1) ^m .

${\ displaystyle K _ {\ alpha}}$ poate fi exprimat în funcție de funcțiile Hankel:

${\ displaystyle K _ {\ alpha} = {\ begin {cases} {\ frac {\ pi} {2}} i ^ {\ alpha +1} H _ {\ alpha} ^ {(1)} (ix) & - \ pi <\ arg x \ leq {\ frac {\ pi} {2}} \\ {\ frac {\ pi} {2}} (- i) ^ {\ alpha +1} H _ {\ alpha} ^ { (2)} (- ix) & - {\ frac {\ pi} {2}} <\ arg x \ leq \ pi \ end {cases}}}$

Putem exprima prima și a doua funcție Bessel în funcție de funcțiile Bessel modificate (acestea sunt valabile dacă - π <arg z ≤π/2):

${\ displaystyle {\ begin {align} J _ {\ alpha} (iz) & = e ^ {\ frac {\ alpha \ pi i} {2}} I _ {\ alpha} (z), \\ Y _ {\ alpha } (iz) & = e ^ {\ frac {(\ alpha +1) \ pi i} {2}} I _ {\ alpha} (z) - {\ frac {2} {\ pi}} e ^ {- {\ frac {\ alpha \ pi i} {2}}} K _ {\ alpha} (z). \ end {align}}}$

I _α ( x ) și K _α ( x ) sunt cele două soluții liniar independente la ecuația Bessel modificată :

${\ displaystyle x ^ {2} {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + x {\ frac {dy} {dx}} - \ left (x ^ {2} + \ alfa ^ {2} \ dreapta) y = 0.}$

Spre deosebire de funcțiile obișnuite Bessel, care oscilează ca funcții ale unui argument real, I _α și K _α sunt funcții exponențial în creștere și în descompunere . La fel ca funcția Bessel obișnuită J _α , funcția I _α merge la zero la x = 0 pentru α > 0 și este finită la x = 0 pentru α = 0 . În mod analog, K _α diverg la x = 0, cu singularitatea fiind de tip logaritmic pentru K ₀ și ½Γ (| α |) (2 / x ) ^{| α |} in caz contrar.

Funcții Bessel modificate de primul fel, I α ( x ) , pentru α = 0, 1, 2, 3

Funcții Bessel modificate de al doilea fel, K α ( x ) , pentru α = 0, 1, 2, 3

Două formule integrale pentru funcțiile Bessel modificate sunt (pentru Re ( x )> 0 ):

${\ displaystyle {\ begin {align} I _ {\ alpha} (x) & = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} e ^ {x \ cos \ theta} \ cos \ alpha \ theta \, d \ theta - {\ frac {\ sin \ alpha \ pi} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x \ cosh t- \ alpha t} \, dt, \\ K _ {\ alpha} (x) & = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x \ cosh t} \ cosh \ alpha t \, dt. \ end { aliniat}}}$

Funcțiile Bessel pot fi descrise ca transformate Fourier ale puterilor funcțiilor pătratice. De exemplu:

${\ displaystyle 2 \, K_ {0} (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {i \ omega t}} {\ sqrt {t ^ {2} +1}}} \, dt.}$

Poate fi dovedit prin afișarea egalității cu definiția integrală de mai sus pentru K ₀ . Acest lucru se realizează prin integrarea unei curbe închise în primul cadran al planului complex.

Funcțiile Bessel modificate K _1/3 și K _2/3 pot fi reprezentate în termeni de integrale rapid convergente

${\ displaystyle {\ begin {align} K _ {\ frac {1} {3}} (\ xi) & = {\ sqrt {3}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ exp \ left (- \ xi \ left (1 + {\ frac {4x ^ {2}} {3}} \ right) {\ sqrt {1 + {\ frac {x ^ {2}} {3}}}} \ right) \ , dx, \\ K _ {\ frac {2} {3}} (\ xi) & = {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {3 + 2x ^ {2}} {\ sqrt {1 + {\ frac {x ^ {2}} {3}}}}} \ exp \ left (- \ xi \ left (1 + {\ frac {4x ^ {2}} {3}} \ right) {\ sqrt {1 + {\ frac {x ^ {2}} {3}}}} \ right) \, dx. \ End {align}}}$

Funcția Bessel modificată de al doilea fel a fost, de asemenea, numită prin următoarele nume (acum rare):

• Funcția Basset după Alfred Barnard Basset
• Funcția Bessel modificată de al treilea tip
• Funcția Hankel modificată
• Funcția Macdonald după Hector Munro Macdonald

Funcții sferice Bessel: j _n , y _n

La rezolvarea ecuației Helmholtz în coordonate sferice prin separarea variabilelor, ecuația radială are forma

${\ displaystyle x ^ {2} {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + 2x {\ frac {dy} {dx}} + \ left (x ^ {2} -n (n + 1) \ dreapta) y = 0.}$

Cele două soluții liniar independente la această ecuație se numesc funcții sferice Bessel j _n și y _n și sunt legate de funcțiile obișnuite Bessel J _n și Y _n de

${\ displaystyle {\ begin {align} j_ {n} (x) & = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}}} J_ {n + {\ frac {1} {2}}} (x) , \\ y_ {n} (x) & = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}}} Y_ {n + {\ frac {1} {2}}} (x) = (- 1) ^ {n + 1} {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}}} J _ {- n - {\ frac {1} {2}}} (x). \ end {align}}}$

y _n este, de asemenea, notat n _n sau η _n ; unii autori numesc aceste funcții funcțiile sferice Neumann .

Funcțiile sferice Bessel pot fi, de asemenea, scrise ca ( formule Rayleigh )

${\ displaystyle {\ begin {align} j_ {n} (x) & = (- x) ^ {n} \ left ({\ frac {1} {x}} {\ frac {d} {dx}} \ dreapta) ^ {n} {\ frac {\ sin x} {x}}, \\ y_ {n} (x) & = - (- x) ^ {n} \ left ({\ frac {1} {x }} {\ frac {d} {dx}} \ right) ^ {n} {\ frac {\ cos x} {x}}. \ end {align}}}$

Funcția Bessel sferică zero j ₀ ( x ) este, de asemenea, cunoscută sub numele de funcția sinc (neormalizată) sinc . Primele câteva funcții sferice Bessel sunt:

${\ displaystyle {\ begin {align} j_ {0} (x) & = {\ frac {\ sin x} {x}}. \\ j_ {1} (x) & = {\ frac {\ sin x} {x ^ {2}}} - {\ frac {\ cos x} {x}}, \\ j_ {2} (x) & = \ left ({\ frac {3} {x ^ {2}}} -1 \ dreapta) {\ frac {\ sin x} {x}} - {\ frac {3 \ cos x} {x ^ {2}}}, \\ j_ {3} (x) & = \ left ( {\ frac {15} {x ^ {3}}} - {\ frac {6} {x}} \ right) {\ frac {\ sin x} {x}} - \ left ({\ frac {15} {x ^ {2}}} - 1 \ dreapta) {\ frac {\ cos x} {x}} \ end {align}}}$

și

${\ displaystyle {\ begin {align} y_ {0} (x) & = - j _ {- 1} (x) = - {\ frac {\ cos x} {x}}, \\ y_ {1} (x ) & = j _ {- 2} (x) = - {\ frac {\ cos x} {x ^ {2}}} - {\ frac {\ sin x} {x}}, \\ y_ {2} ( x) & = - j _ {- 3} (x) = \ left (- {\ frac {3} {x ^ {2}}} + 1 \ right) {\ frac {\ cos x} {x}} - {\ frac {3 \ sin x} {x ^ {2}}}, \\ y_ {3} (x) & = j _ {- 4} (x) = \ left (- {\ frac {15} {x ^ {3}}} + {\ frac {6} {x}} \ right) {\ frac {\ cos x} {x}} - \ left ({\ frac {15} {x ^ {2}}} -1 \ dreapta) {\ frac {\ sin x} {x}}. \ End {align}}}$

Funcție generatoare

Funcțiile sferice Bessel au funcțiile generatoare

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {z}} \ cos \ left ({\ sqrt {z ^ {2} -2zt}} \ right) & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {n}} {n!}} j_ {n-1} (z), \\ {\ frac {1} {z}} \ sin \ left ({\ sqrt {z ^ {2} -2zt}} \ right) & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {n}} {n!}} y_ {n-1} ( z). \ end {align}}}$

Relații diferențiale

În cele ce urmează, f _n este oricare dintre j _n , y _n , h⁽¹⁾
_n, h⁽²⁾
_npentru n = 0, ± 1, ± 2, ...

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left ({\ frac {1} {z}} {\ frac {d} {dz}} \ right) ^ {m} \ left (z ^ {n + 1} f_ {n} (z) \ right) & = z ^ {n-m + 1} f_ {nm} (z), \\\ left ({\ frac {1} {z}} {\ frac {d} { dz}} \ right) ^ {m} \ left (z ^ {- n} f_ {n} (z) \ right) & = (- 1) ^ {m} z ^ {- nm} f_ {n + m } (z). \ end {align}}}$

Funcții sferice Hankel: h⁽¹⁾
_n, h⁽²⁾
_n

Există, de asemenea, analogi sferici ai funcțiilor Hankel:

${\ displaystyle {\ begin {align} h_ {n} ^ {(1)} (x) & = j_ {n} (x) + iy_ {n} (x), \\ h_ {n} ^ {(2 )} (x) & = j_ {n} (x) -iy_ {n} (x). \ end {align}}}$

De fapt, există expresii simple în formă închisă pentru funcțiile Bessel de ordinul jumătății întregi în ceea ce privește funcțiile trigonometrice standard și, prin urmare, pentru funcțiile sferice Bessel. În special, pentru numărul întreg non-negativ n :

${\ displaystyle h_ {n} ^ {(1)} (x) = (- i) ^ {n + 1} {\ frac {e ^ {ix}} {x}} \ sum _ {m = 0} ^ {n} {\ frac {i ^ {m}} {m! \, (2x) ^ {m}}} {\ frac {(n + m)!} {(nm)!}},}$

și h⁽²⁾
_neste conjugatul complex al acestui (pentru x real ). Rezultă, de exemplu, că j ₀ ( x ) =păcat x/Xși y ₀ ( x ) = -cos x/X, si asa mai departe.

Funcțiile sferice Hankel apar în probleme care implică propagarea undelor sferice , de exemplu în expansiunea multipolă a câmpului electromagnetic .

Funcțiile Riccati – Bessel: S _n , C _n , ξ _n , ζ _n

Riccati –Funcțiile Bessel diferă ușor doar de funcțiile sferice Bessel:

${\ displaystyle {\ begin {align} S_ {n} (x) & = xj_ {n} (x) = {\ sqrt {\ frac {\ pi x} {2}}} J_ {n + {\ frac {1 } {2}}} (x) \\ C_ {n} (x) & = - xy_ {n} (x) = - {\ sqrt {\ frac {\ pi x} {2}}} Y_ {n + { \ frac {1} {2}}} (x) \\\ xi _ {n} (x) & = xh_ {n} ^ {(1)} (x) = {\ sqrt {\ frac {\ pi x } {2}}} H_ {n + {\ frac {1} {2}}} ^ {(1)} (x) = S_ {n} (x) -iC_ {n} (x) \\\ zeta _ {n} (x) & = xh_ {n} ^ {(2)} (x) = {\ sqrt {\ frac {\ pi x} {2}}} H_ {n + {\ frac {1} {2} }} ^ {(2)} (x) = S_ {n} (x) + iC_ {n} (x) \ end {align}}}$

Acestea satisfac ecuația diferențială

${\ displaystyle x ^ {2} {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + \ left (x ^ {2} -n (n + 1) \ right) y = 0. }$

De exemplu, acest tip de ecuație diferențială apare în mecanica cuantică în timp ce rezolvă componenta radială a ecuației Schrödinger cu o barieră potențială infinită cilindrică ipotetică. Această ecuație diferențială și soluțiile Riccati – Bessel apar, de asemenea, în problema împrăștierii undelor electromagnetice de către o sferă, cunoscută sub numele de împrăștiere Mie după prima soluție publicată de Mie (1908). A se vedea, de exemplu, Du (2004) pentru evoluții recente și referințe.

După Debye (1909), notația ψ _n , χ _n este uneori folosită în locul S _n , C _n .

Forme asimptotice

Funcțiile Bessel au următoarele forme asimptotice . Pentru argumentele mici 0 < z ≪ √ α + 1 , se obține, atunci când α nu este un număr întreg negativ:

${\ displaystyle J _ {\ alpha} (z) \ sim {\ frac {1} {\ Gamma (\ alpha +1)}} \ left ({\ frac {z} {2}} \ right) ^ {\ alpha }.}$

Când α este un număr întreg negativ, avem

${\ displaystyle J _ {\ alpha} (z) \ sim {\ frac {(-1) ^ {\ alpha}} {(- \ alpha)!}} \ left ({\ frac {2} {z}} \ dreapta) ^ {\ alpha}.}$

Pentru funcția Bessel de al doilea tip avem trei cazuri:

${\ displaystyle Y _ {\ alpha} (z) \ sim {\ begin {cases} {\ dfrac {2} {\ pi}} \ left (\ ln \ left ({\ dfrac {z} {2}} \ right ) + \ gamma \ right) & {\ text {if}} \ alpha = 0 \\ - {\ dfrac {\ Gamma (\ alpha)} {\ pi}} \ left ({\ dfrac {2} {z} } \ right) ^ {\ alpha} + {\ dfrac {1} {\ Gamma (\ alpha +1)}} \ left ({\ dfrac {z} {2}} \ right) ^ {\ alpha} \ cot (\ alpha \ pi) & {\ text {if}} \ alpha {\ text {nu este un număr întreg non-pozitiv (un termen domină cu excepția cazului în care}} \ alpha {\ text {este imaginar)}}, \\ - { \ dfrac {(-1) ^ {\ alpha} \ Gamma (- \ alpha)} {\ pi}} \ left ({\ dfrac {z} {2}} \ right) ^ {\ alpha} & {\ text {if}} \ alpha {\ text {este un număr negativ,}} \ end {cases}}}$

unde γ este constanta Euler – Mascheroni (0,5772 ...).

Pentru argumente reale mari z ≫ | α ² -1/4| , nu se poate scrie o formă asimptotică adevărată pentru funcțiile Bessel de primul și al doilea tip (cu excepția cazului în care α este pe jumătate întreg ) deoarece au zerouri până la infinit, care ar trebui să fie potrivite exact de orice expansiune asimptotică. Cu toate acestea, pentru o valoare dată a arg z se poate scrie o ecuație care conține un termen de ordine | z | ⁻¹ :

${\ displaystyle {\ begin {align} J _ {\ alpha} (z) & = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi z}}} \ left (\ cos \ left (z - {\ frac {\ alpha \ pi} {2}} - {\ frac {\ pi} {4}} \ right) + e ^ {\ left | \ operatorname {Im} (z) \ right |} \ mathrm {O} \ left ( | z | ^ {- 1} \ right) \ right) && {\ text {for}} \ left | \ arg z \ right | <\ pi, \\ Y _ {\ alpha} (z) & = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi z}}} \ left (\ sin \ left (z - {\ frac {\ alpha \ pi} {2}} - {\ frac {\ pi} {4}} \ right ) + e ^ {\ left | \ operatorname {Im} (z) \ right |} \ mathrm {O} \ left (| z | ^ {- 1} \ right) \ right) && {\ text {for}} \ left | \ arg z \ right | <\ pi. \ end {align}}}$

(Pentru α =1/2ultimii termeni din aceste formule abandonează complet; vezi funcțiile sferice Bessel de mai sus.) Chiar dacă aceste ecuații sunt adevărate, pot fi disponibile aproximări mai bune pentru complexul z . De exemplu, J ₀ ( z ) atunci când z este aproape de linia reală negativă se aproxima mai bine cu

${\ displaystyle J_ {0} (z) \ approx {\ sqrt {\ frac {-2} {\ pi z}}} \ cos \ left (z + {\ frac {\ pi} {4}} \ right)}$

decât de

${\ displaystyle J_ {0} (z) \ approx {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi z}}} \ cos \ left (z - {\ frac {\ pi} {4}} \ right). }$

Formele asimptotice pentru funcțiile Hankel sunt:

${\ displaystyle {\ begin {align} H _ {\ alpha} ^ {(1)} (z) & \ sim {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi z}}} e ^ {i \ left (z - {\ frac {\ alpha \ pi} {2}} - {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} && {\ text {for}} - \ pi <\ arg z <2 \ pi, \\ H _ {\ alpha} ^ {(2)} (z) & \ sim {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi z}}} e ^ {- i \ left (z - {\ frac {\ alpha \ pi} {2}} - {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} && {\ text {for}} - 2 \ pi <\ arg z <\ pi. \ end {align}} }$

Acestea pot fi extinse la alte valori ale arg z folosind ecuațiile care se referă la H⁽¹⁾
_α( ze ^{im π} ) și H⁽²⁾
_α( ze ^{im π} ) la H⁽¹⁾
_α( z ) și H⁽²⁾
_α( z ) .

Este interesant faptul că, deși funcția Bessel de primul fel este media celor două funcții Hankel, J _α ( z ) nu este asimptotică față de media acestor două forme asimptotice atunci când z este negativ (deoarece una sau cealaltă nu va fi corect acolo, în funcție de arg z folosit). Dar formele asimptotice pentru funcțiile Hankel ne permit să scriem forme asimptotice pentru funcțiile Bessel de primul și al doilea tip pentru complexe (nereale) z atâta timp cât | z | merge la infinit la un unghi de fază constant arg z (folosind rădăcina pătrată având o parte reală pozitivă):

${\ displaystyle {\ begin {align} J _ {\ alpha} (z) & \ sim {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi z}}} e ^ {i \ left (z - {\ frac { \ alpha \ pi} {2}} - {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} && {\ text {for}} - \ pi <\ arg z <0, \\ J _ {\ alpha} (z) & \ sim {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi z}}} e ^ {- i \ left (z - {\ frac {\ alpha \ pi} {2}} - {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} && {\ text {for}} 0 <\ arg z <\ pi, \\ Y _ {\ alpha} (z) & \ sim -i {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi z}}} e ^ {i \ left (z - {\ frac {\ alpha \ pi} {2}} - {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} && {\ text {for}} - \ pi <\ arg z <0, \\ Y _ {\ alpha} (z) & \ sim -i {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi z}}} e ^ {- i \ left (z - {\ frac {\ alpha \ pi} {2}} - {\ frac {\ pi} {4}} \ right)} && {\ text {for}} 0 <\ arg z <\ pi. \ end {align}}}$

Pentru funcțiile Bessel modificate, Hankel a dezvoltat și expansiuni asimptotice (argument mare) :

${\ displaystyle {\ begin {align} I _ {\ alpha} (z) & \ sim {\ frac {e ^ {z}} {\ sqrt {2 \ pi z}}} \ left (1 - {\ frac { 4 \ alpha ^ {2} -1} {8z}} + {\ frac {\ left (4 \ alpha ^ {2} -1 \ right) \ left (4 \ alpha ^ {2} -9 \ right)} {2! (8z) ^ {2}}} - {\ frac {\ left (4 \ alpha ^ {2} -1 \ right) \ left (4 \ alpha ^ {2} -9 \ right) \ left ( 4 \ alpha ^ {2} -25 \ right)} {3! (8z) ^ {3}}} + \ cdots \ right) && {\ text {for}} \ left | \ arg z \ right | <{ \ frac {\ pi} {2}}, \\ K _ {\ alpha} (z) & \ sim {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2z}}} e ^ {- z} \ left (1+ {\ frac {4 \ alpha ^ {2} -1} {8z}} + {\ frac {\ left (4 \ alpha ^ {2} -1 \ right) \ left (4 \ alpha ^ {2} -9 \ right)} {2! (8z) ^ {2}}} + {\ frac {\ left (4 \ alpha ^ {2} -1 \ right) \ left (4 \ alpha ^ {2} -9 \ right ) \ left (4 \ alpha ^ {2} -25 \ right)} {3! (8z) ^ {3}}} + \ cdots \ right) && {\ text {for}} \ left | \ arg z \ dreapta | <{\ frac {3 \ pi} {2}}. \ end {align}}}$

Există, de asemenea, forma asimptotică (pentru real mare ) ${\ displaystyle z}$

Când α =1/2, toți termenii cu excepția primului dispar și avem

${\ displaystyle {\ begin {align} I _ {\ frac {1} {2}} (z) & = {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi z}}} \ sinh (z) \ sim {\ frac {e ^ {z}} {\ sqrt {2 \ pi z}}} && {\ text {for}} \ left | \ arg z \ right | <{\ tfrac {\ pi} {2}}, \ \ K _ {\ frac {1} {2}} (z) & = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2z}}} e ^ {- z}. \ End {align}}}$

Pentru mici argumente 0 <| z | ≪ √ α + 1 , avem

${\ displaystyle {\ begin {align} I _ {\ alpha} (z) & \ sim {\ frac {1} {\ Gamma (\ alpha +1)}} \ left ({\ frac {z} {2}} \ right) ^ {\ alpha}, \\ K _ {\ alpha} (z) & \ sim {\ begin {cases} - \ ln \ left ({\ dfrac {z} {2}} \ right) - \ gamma & {\ text {if}} \ alpha = 0 \\ {\ frac {\ Gamma (\ alpha)} {2}} \ left ({\ dfrac {2} {z}} \ right) ^ {\ alpha} & {\ text {if}} \ alpha> 0 \ end {cases}} \ end {align}}}$

Aproximări complete ale domeniului cu funcții elementare

O aproximare foarte bună (eroare sub valoarea maximă 1) a funcției Bessel pentru o valoare arbitrară a argumentului x poate fi obținută cu funcțiile elementare prin alăturarea aproximării trigonometrice care funcționează pentru valori mai mici ale lui x cu expresia care conține funcția cosinus atenuat valabil pentru argumente mari cu utilizarea funcției de tranziție lină adică ${\ displaystyle 0.3 \%}$${\ displaystyle J_ {0}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {1+ (x / 7) ^ {20}}}}$

${\ displaystyle J_ {0} (x) \ approx \ left [{\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {3}} \ cos {\ frac {x} {2}} + { \ frac {1} {3}} \ cos {\ frac {{\ sqrt {3}} x} {2}} + {\ frac {1} {6}} \ cos x \ right] {\ frac {1 } {1+ (x / 7) ^ {20}}} + {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi | x |}}} \ cos \ left [x - {\ frac {\ pi} {4 }} \ operatorname {sgn} (x) \ right] \ left [1 - {\ frac {1} {1+ (x / 7) ^ {20}}} \ right].}$

Proprietăți

Pentru ordinea întregului α = n , J _n este adesea definit printr-o serie Laurent pentru o funcție generatoare:

${\ displaystyle e ^ {\ left ({\ frac {x} {2}} \ right) \ left (t - {\ frac {1} {t}} \ right)} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} J_ {n} (x) t ^ {n}}$

o abordare utilizată de PA Hansen în 1843. (Aceasta poate fi generalizată la ordinea non-integrală prin integrarea conturului sau alte metode.) O altă relație importantă pentru ordinele întregi este expansiunea Jacobi-Anger :

${\ displaystyle e ^ {iz \ cos \ phi} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} i ^ {n} J_ {n} (z) e ^ {în \ phi}}$

și

${\ displaystyle e ^ {\ pm iz \ sin \ phi} = J_ {0} (z) +2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} J_ {2n} (z) \ cos (2n \ phi ) \ pm 2i \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} J_ {2n + 1} (z) \ sin ((2n + 1) \ phi)}$

care este folosit pentru a extinde o undă plană ca o sumă de unde cilindrice sau pentru a găsi seria Fourier a unui semnal FM modulat în ton .

Mai general, o serie

${\ displaystyle f (z) = a_ {0} ^ {\ nu} J _ {\ nu} (z) +2 \ cdot \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} a_ {k} ^ {\ nu } J _ {\ nu + k} (z)}$

se numește expansiune Neumann a f . Coeficienții pentru ν = 0 au forma explicită

${\ displaystyle a_ {k} ^ {0} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {| z | = c} f (z) O_ {k} (z) \, dz}$

unde O _k este polinomul lui Neumann .

Funcțiile selectate admit reprezentarea specială

${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} ^ {\ nu} J _ {\ nu + 2k} (z)}$

cu

${\ displaystyle a_ {k} ^ {\ nu} = 2 (\ nu + 2k) \ int _ {0} ^ {\ infty} f (z) {\ frac {J _ {\ nu + 2k} (z)} {z}} \, dz}$

datorită relației de ortogonalitate

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} J _ {\ alpha} (z) J _ {\ beta} (z) {\ frac {dz} {z}} = {\ frac {2} {\ pi }} {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {\ pi} {2}} (\ alpha - \ beta) \ right)} {\ alpha ^ {2} - \ beta ^ {2}}}}$

Mai general, dacă f are un punct ramificat aproape de originea unei astfel de natură care

${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {k = 0} a_ {k} J _ {\ nu + k} (z)}$

atunci

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ left \ {\ sum _ {k = 0} a_ {k} J _ {\ nu + k} \ right \} (s) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + s ^ {2}}}} \ sum _ {k = 0} {\ frac {a_ {k}} {\ left (s + {\ sqrt {1 + s ^ {2}}} \ right) ^ {\ nu + k}}}}$

sau

${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} a_ {k} \ xi ^ {\ nu + k} = {\ frac {1+ \ xi ^ {2}} {2 \ xi}} {\ mathcal {L} } \ {f \} \ left ({\ frac {1- \ xi ^ {2}} {2 \ xi}} \ right)}$

unde este transformata Laplace a lui f . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ {f \}}$

Un alt mod de a defini funcțiile Bessel este formula de reprezentare Poisson și formula Mehler-Sonine:

${\ displaystyle {\ begin {align} J _ {\ nu} (z) & = {\ frac {\ left ({\ frac {z} {2}} \ right) ^ {\ nu}} {\ Gamma \ left (\ nu + {\ frac {1} {2}} \ right) {\ sqrt {\ pi}}}} \ int _ {- 1} ^ {1} e ^ {izs} \ left (1-s ^ {2} \ right) ^ {\ nu - {\ frac {1} {2}}} \, ds \\ [5px] & = {\ frac {2} {{\ left ({\ frac {z} { 2}} \ right)} ^ {\ nu} \ cdot {\ sqrt {\ pi}} \ cdot \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} - \ nu \ right)}} \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin zu} {\ left (u ^ {2} -1 \ right) ^ {\ nu + {\ frac {1} {2}}}}} \, du \ end {align}}}$

unde ν> -1/2și z ∈ C . Această formulă este utilă mai ales atunci când se lucrează cu transformate Fourier .

Deoarece ecuația lui Bessel devine hermitiană (autoadjunctă) dacă este împărțită la x , soluțiile trebuie să satisfacă o relație de ortogonalitate pentru condiții limită adecvate. În special, rezultă că:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} xJ _ {\ alpha} \ left (xu _ {\ alpha, m} \ right) J _ {\ alpha} \ left (xu _ {\ alpha, n} \ right) \ , dx = {\ frac {\ delta _ {m, n}} {2}} \ left [J _ {\ alpha +1} \ left (u _ {\ alpha, m} \ right) \ right] ^ {2} = {\ frac {\ delta _ {m, n}} {2}} \ left [J _ {\ alpha} '\ left (u _ {\ alpha, m} \ right) \ right] ^ {2}}$

unde α > -1 , δ _{m , n} este delta Kronecker , iar u _{alfa , m} este m - lea de zero al J _α ( x ) . Această relație de ortogonalitate poate fi apoi utilizată pentru a extrage coeficienții din seria Fourier – Bessel , unde o funcție este extinsă pe baza funcțiilor J _α ( x u _{α , m} ) pentru α fixă și m variabilă .

Urmează imediat o relație analogă pentru funcțiile sferice Bessel:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {2} j _ {\ alpha} \ left (xu _ {\ alpha, m} \ right) j _ {\ alpha} \ left (xu _ {\ alpha, n } \ right) \, dx = {\ frac {\ delta _ {m, n}} {2}} \ left [j _ {\ alpha +1} \ left (u _ {\ alpha, m} \ right) \ right ] ^ {2}}$

Dacă se definește o funcție boxcar de x care depinde de un parametru mic ε ca:

${\ displaystyle f _ {\ varepsilon} (x) = \ varepsilon \ operatorname {rect} \ left ({\ frac {x-1} {\ varepsilon}} \ right)}$

(unde rect este funcția dreptunghi ), apoi transformarea lui Hankel (de orice ordin dat α > -1/2), g _ε ( k ) , se apropie de J _α ( k ) pe măsură ce ε se apropie de zero, pentru orice k dat . În schimb, transformata Hankel (de același ordin) a lui g _ε ( k ) este f _ε ( x ) :

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} kJ _ {\ alpha} (kx) g _ {\ varepsilon} (k) \, dk = f _ {\ varepsilon} (x)}$

care este zero peste tot cu excepția aproape de 1. Pe măsură ce ε se apropie de zero, partea dreaptă se apropie de δ ( x - 1) , unde δ este funcția delta Dirac . Aceasta admite limita (în sens distributiv ):

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} kJ _ {\ alpha} (kx) J _ {\ alpha} (k) \, dk = \ delta (x-1)}$

O schimbare de variabile produce apoi ecuația de închidere :

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} xJ _ {\ alpha} (ux) J _ {\ alpha} (vx) \, dx = {\ frac {1} {u}} \ delta (uv)}$

pentru α > -1/2. Transformata Hankel poate exprima o funcție destul de arbitrară ca o integrantă a funcțiilor Bessel de diferite scale. Pentru funcțiile sferice Bessel, relația de ortogonalitate este:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {2} j _ {\ alpha} (ux) j _ {\ alpha} (vx) \, dx = {\ frac {\ pi} {2u ^ { 2}}} \ delta (uv)}$

pentru α > −1 .

O altă proprietate importantă a ecuațiilor lui Bessel, care rezultă din identitatea lui Abel , implică soluția Wronskiană :

${\ displaystyle A _ {\ alpha} (x) {\ frac {dB _ {\ alpha}} {dx}} - {\ frac {dA _ {\ alpha}} {dx}} B _ {\ alpha} (x) = { \ frac {C _ {\ alpha}} {x}}}$

unde A _α și B _α sunt două soluții ale ecuației lui Bessel, iar C _α este o constantă independentă de x (care depinde de α și de funcțiile particulare Bessel luate în considerare). În special,

${\ displaystyle J _ {\ alpha} (x) {\ frac {dY _ {\ alpha}} {dx}} - {\ frac {dJ _ {\ alpha}} {dx}} Y _ {\ alpha} (x) = { \ frac {2} {\ pi x}}}$

și

${\ displaystyle I _ {\ alpha} (x) {\ frac {dK _ {\ alpha}} {dx}} - {\ frac {dI _ {\ alpha}} {dx}} K _ {\ alpha} (x) = - {\ frac {1} {x}},}$

pentru α > −1 .

Pentru α > −1 , întreaga funcție uniformă a genului 1, x ^{- α} J _α ( x ) , are numai zerouri reale. Lăsa

${\ displaystyle 0 <j _ {\ alpha, 1} <j _ {\ alpha, 2} <\ cdots <j _ {\ alpha, n} <\ cdots}$

fii toate zerourile sale pozitive, atunci

${\ displaystyle J _ {\ alpha} (z) = {\ frac {\ left ({\ frac {z} {2}} \ right) ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha +1)}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z ^ {2}} {j _ {\ alpha, n} ^ {2}}} \ right)}$

(Există un număr mare de alte integrale și identități cunoscute care nu sunt reproduse aici, dar care pot fi găsite în referințe.)

Relații de recurență

Funcțiile J _α , Y _α , H⁽¹⁾
_α, și H⁽²⁾
_αtoate satisfac relațiile de recurență

${\ displaystyle {\ frac {2 \ alpha} {x}} Z _ {\ alpha} (x) = Z _ {\ alpha -1} (x) + Z _ {\ alpha +1} (x)}$

și

${\ displaystyle 2 {\ frac {dZ _ {\ alpha} (x)} {dx}} = Z _ {\ alpha -1} (x) -Z _ {\ alpha +1} (x),}$

unde Z reprezintă J , Y , H ⁽¹⁾ sau H ⁽²⁾ . Aceste două identități sunt adesea combinate, de exemplu adăugate sau scăzute, pentru a produce diverse alte relații. În acest fel, de exemplu, se pot calcula funcțiile Bessel de ordine superioare (sau derivate superioare) date fiind valorile la ordinele inferioare (sau derivatele inferioare). În special, rezultă că

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left ({\ frac {1} {x}} {\ frac {d} {dx}} \ right) ^ {m} \ left [x ^ {\ alpha} Z_ { \ alpha} (x) \ right] & = x ^ {\ alpha -m} Z _ {\ alpha -m} (x), \\\ left ({\ frac {1} {x}} {\ frac {d } {dx}} \ right) ^ {m} \ left [{\ frac {Z _ {\ alpha} (x)} {x ^ {\ alpha}}} \ right] & = (- 1) ^ {m} {\ frac {Z _ {\ alpha + m} (x)} {x ^ {\ alpha + m}}}. \ end {align}}}$

Funcțiile Bessel modificate urmează relații similare:

${\ displaystyle e ^ {\ left ({\ frac {x} {2}} \ right) \ left (t + {\ frac {1} {t}} \ right)} = \ sum _ {n = - \ infty } ^ {\ infty} I_ {n} (x) t ^ {n}}$

și

${\ displaystyle e ^ {z \ cos \ theta} = I_ {0} (z) +2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} I_ {n} (z) \ cos n \ theta.}$

și

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e ^ {z \ cos (m \ theta) + y \ cos \ theta} d \ theta = I_ {0} (z) I_ {0} (y) +2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} I_ {n} (z) I_ {mn} (y).}$

Relația de recurență citește

${\ displaystyle {\ begin {align} C _ {\ alpha -1} (x) -C _ {\ alpha +1} (x) & = {\ frac {2 \ alpha} {x}} C _ {\ alpha} ( x), \\ C _ {\ alpha -1} (x) + C _ {\ alpha +1} (x) & = 2 {\ frac {dC _ {\ alpha}} {dx}}, \ end {align}} }$

unde C _α denotă I _α sau e ^{αi π} K _α . Aceste relații de recurență sunt utile pentru probleme de difuzie discrete.

Teorema multiplicării

Funcțiile Bessel se supun teoremei multiplicării

${\ displaystyle \ lambda ^ {- \ nu} J _ {\ nu} (\ lambda z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} \ left ({ \ frac {\ left (1- \ lambda ^ {2} \ right) z} {2}} \ right) ^ {n} J _ {\ nu + n} (z),}$

unde λ și ν pot fi luate ca numere complexe arbitrare. Pentru | λ ² - 1 | <1 , expresia de mai sus este valabil și în cazul în care J este înlocuit cu Y . Identități analoge pentru funcțiile Bessel modificate și | λ ² - 1 | <1 sunt

${\ displaystyle \ lambda ^ {- \ nu} I _ {\ nu} (\ lambda z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} \ left ({ \ frac {\ left (\ lambda ^ {2} -1 \ right) z} {2}} \ right) ^ {n} I _ {\ nu + n} (z)}$

și

${\ displaystyle \ lambda ^ {- \ nu} K _ {\ nu} (\ lambda z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n !}} \ left ({\ frac {\ left (\ lambda ^ {2} -1 \ right) z} {2}} \ right) ^ {n} K _ {\ nu + n} (z).}$

Zero ale funcției Bessel

Ipoteza lui Bourget

Bessel însuși a demonstrat inițial că pentru numerele întregi negative n , ecuația J _n ( x ) = 0 are un număr infinit de soluții în x . Cu toate acestea, când funcțiile J _n ( x ) sunt reprezentate pe același grafic, niciunul dintre zerouri nu pare să coincidă pentru valori diferite ale lui n, cu excepția zero la x = 0 . Acest fenomen este cunoscut sub numele de ipoteza lui Bourget după matematicianul francez din secolul al XIX-lea care a studiat funcțiile lui Bessel. În mod specific, se afirmă că pentru orice număr întreg n ≥ 0 și m ≥ 1 , funcțiile J _n ( x ) și J _{n + m} ( x ) nu au zerouri comune în afară de cel de la x = 0 . Ipoteza a fost dovedită de Carl Ludwig Siegel în 1929.

Abordări numerice

Pentru studii numerice despre zerourile funcției Bessel, vezi Gil, Segura și Temme (2007) , Kravanja și colab. (1998) și Moler (2004) .

Vezi si

Note

Referințe

linkuri externe