Woede-functie - Anger function

In de wiskunde is de Anger-functie , geïntroduceerd door CT Anger  ( 1855 ), een functie die wordt gedefinieerd als

${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (\ nu \ theta -z \ sin \ theta) \, d \ theta}$

en is nauw verwant aan Bessel-functies .

De Weber-functie (ook bekend als Lommel-Weber-functie ), geïntroduceerd door HF Weber  ( 1879 ), is een nauw verwante functie gedefinieerd door

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin (\ nu \ theta -z \ sin \ theta) \, d \ theta}$

en is nauw verwant aan Bessel-functies van de tweede soort.

Relatie tussen Weber- en Anger-functies

De functies Anger en Weber zijn gerelateerd aan

${\ displaystyle {\ begin {uitgelijnd} \ sin (\ pi \ nu) \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) & = \ cos (\ pi \ nu) \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) - \ mathbf {E} _ {- \ nu} (z), \\ - \ sin (\ pi \ nu) \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) & = \ cos (\ pi \ nu) \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) - \ mathbf {J} _ {- \ nu} (z), \ end {uitgelijnd}}}$

dus in het bijzonder als ν geen geheel getal is, kunnen ze worden uitgedrukt als lineaire combinaties van elkaar. Als ν een geheel getal is, zijn Woede-functies J _ν hetzelfde als Bessel-functies J _ν en kunnen Weber-functies worden uitgedrukt als eindige lineaire combinaties van Struve-functies .

Uitbreiding van de Power-serie

De Anger-functie heeft de uitbreiding van de machtreeks

${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) = \ cos {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k}} {4 ^ {k} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ right) \ Gamma \ left (k - {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ right)}} + \ sin {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k + 1} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2} } \ right) \ Gamma \ left (k - {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2}} \ right)}}.}$

Terwijl de Weber-functie de uitbreiding van de vermogensreeks heeft

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = \ sin {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k}} {4 ^ {k} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ right) \ Gamma \ left (k - {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ right)}} - \ cos {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k + 1} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2} } \ right) \ Gamma \ left (k - {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2}} \ right)}}.}$

Differentiaalvergelijkingen

De functies Anger en Weber zijn oplossingen van inhomogene vormen van de vergelijking van Bessel

${\ displaystyle z ^ {2} y ^ {\ prime \ prime} + zy ^ {\ prime} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = 0.}$

Preciezer gezegd, de Anger-functies voldoen aan de vergelijking

${\ displaystyle z ^ {2} y ^ {\ prime \ prime} + zy ^ {\ prime} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = {\ frac {(z- \ nu) \ sin (\ pi \ nu)} {\ pi}},}$

en de Weber-functies voldoen aan de vergelijking

${\ displaystyle z ^ {2} y ^ {\ prime \ prime} + zy ^ {\ prime} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = - {\ frac {z + \ nu + ( z- \ nu) \ cos (\ pi \ nu)} {\ pi}}.}$

Herhalingsrelaties

De functie Anger voldoet aan deze inhomogene vorm van herhalingsrelatie

${\ displaystyle z \ mathbf {J} _ {\ nu -1} (z) + z \ mathbf {J} _ {\ nu +1} (z) = 2 \ nu \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) - {\ frac {2 \ sin \ pi \ nu} {\ pi}}.}$

Terwijl de Weber-functie voldoet aan deze inhomogene vorm van herhalingsrelatie

${\ displaystyle z \ mathbf {E} _ {\ nu -1} (z) + z \ mathbf {E} _ {\ nu +1} (z) = 2 \ nu \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) - {\ frac {2 (1- \ cos \ pi \ nu)} {\ pi}}.}$

Vertraging differentiaalvergelijkingen

De functies Anger en Weber voldoen aan deze homogene vormen van differentiaalvergelijkingen met vertraging

${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu -1} (z) - \ mathbf {J} _ {\ nu +1} (z) = 2 {\ dfrac {\ partiële} {\ partiële z}} \ mathbf {J} _ {\ nu} (z),}$

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu -1} (z) - \ mathbf {E} _ {\ nu +1} (z) = 2 {\ dfrac {\ partiële} {\ partiële z}} \ mathbf {E} _ {\ nu} (z).}$

De functies Anger en Weber voldoen ook aan deze inhomogene vormen van differentiaalvergelijkingen met vertraging

${\ displaystyle z {\ dfrac {\ partiële} {\ partiële z}} \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) \ pm \ nu \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) = \ pm z \ mathbf {J} _ {\ nu \ mp 1} (z) \ pm {\ frac {\ sin \ pi \ nu} {\ pi}},}$

${\ displaystyle z {\ dfrac {\ partiële} {\ partiële z}} \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) \ pm \ nu \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = \ pm z \ mathbf {E} _ {\ nu \ mp 1} (z) \ pm {\ frac {1- \ cos \ pi \ nu} {\ pi}}.}$

Referenties

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [juni 1964]. "Hoofdstuk 12" . Handboek van wiskundige functies met formules, grafieken en wiskundige tabellen . Toegepaste wiskunde-serie. 55 (Negende herdruk met aanvullende correcties van tiende originele druk met correcties (december 1972); eerste ed.). Washington DC; New York: Ministerie van Handel van de Verenigde Staten, National Bureau of Standards; Dover Publications. p. 498. ISBN   978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . MR   0167642 . LCCN   65-12253 .
• CT Anger, Neueste Schr. d. Naturf. d. Ges. ik. Danzig, 5 (1855) blz. 1-29
• Prudnikov, AP (2001) [1994], "Anger function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press CS1 maint: ontmoedigde parameter ( link )
• Prudnikov, AP (2001) [1994], "Weber-functie" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• GN Watson , "Een verhandeling over de theorie van Bessel-functies", 1–2, Cambridge Univ. Pers (1952)
• HF Weber, Zürich Vierteljahresschrift, 24 (1879) blz. 33-76