Ilskfunktion - Anger function

I matematik är Anger-funktionen , introducerad av CT Anger  ( 1855 ), en funktion som definieras som

${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (\ nu \ theta -z \ sin \ theta) \, d \ theta}$

och är nära besläktad med Bessel-funktioner .

Den Weber funktionen (även känd som Lommel-Weber-funktion ), som infördes genom HF Weber  ( 1879 ), är en nära besläktad funktion som definieras av

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin (\ nu \ theta -z \ sin \ theta) \, d \ theta}$

och är nära besläktad med Bessel-funktioner av det andra slaget.

Förhållandet mellan Weber- och Anger-funktionerna

Anger och Weber-funktionerna är relaterade till

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sin (\ pi \ nu) \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) & = \ cos (\ pi \ nu) \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) - \ mathbf {E} _ {- \ nu} (z), \\ - \ sin (\ pi \ nu) \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) & = \ cos (\ pi \ nu) \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) - \ mathbf {J} _ {- \ nu} (z), \ slut {justerad}}}$

så i synnerhet om ν inte är ett heltal kan de uttryckas som linjära kombinationer av varandra. Om ν är ett heltal är Anger-funktionerna J _ν samma som Bessel-funktionerna J _ν och Weber-funktionerna kan uttryckas som ändliga linjära kombinationer av Struve-funktioner .

Power-seriens expansion

Anger-funktionen har kraftserieutvidgningen

${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) = \ cos {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k}} {4 ^ {k} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ right) \ Gamma \ left (k - {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ höger)}} + \ sin {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k + 1} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2} } \ höger) \ Gamma \ vänster (k - {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2}} \ höger)}}.}$

Medan Weber-funktionen har kraftserieutvidgningen

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = \ sin {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k}} {4 ^ {k} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ right) \ Gamma \ left (k - {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ höger)}} - \ cos {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k + 1} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2} } \ höger) \ Gamma \ vänster (k - {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2}} \ höger)}}.}$

Differentiella ekvationer

Anger och Weber-funktionerna är lösningar på inhomogena former av Bessels ekvation

${\ displaystyle z ^ {2} y ^ {\ prime \ prime} + zy ^ {\ prime} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = 0.}$

Mer exakt uppfyller Anger-funktionerna ekvationen

${\ displaystyle z ^ {2} y ^ {\ prime \ prime} + zy ^ {\ prime} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = {\ frac {(z- \ nu) \ sin (\ pi \ nu)} {\ pi}},}$

och Weber-funktionerna uppfyller ekvationen

${\ displaystyle z ^ {2} y ^ {\ prime \ prime} + zy ^ {\ prime} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = - {\ frac {z + \ nu + ( z- \ nu) \ cos (\ pi \ nu)} {\ pi}}.}$

Återkommande relationer

Anger-funktionen uppfyller denna inhomogena form av återfallssamband

${\ displaystyle z \ mathbf {J} _ {\ nu -1} (z) + z \ mathbf {J} _ {\ nu +1} (z) = 2 \ nu \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) - {\ frac {2 \ sin \ pi \ nu} {\ pi}}.}$

Medan Weber-funktionen uppfyller denna inhomogena form av återfallssamband

${\ displaystyle z \ mathbf {E} _ {\ nu -1} (z) + z \ mathbf {E} _ {\ nu +1} (z) = 2 \ nu \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) - {\ frac {2 (1- \ cos \ pi \ nu)} {\ pi}}.}$

Fördröja differentialekvationer

Anger och Weber-funktionerna uppfyller dessa homogena former av fördröjningsdifferentialekvationer

${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu -1} (z) - \ mathbf {J} _ {\ nu +1} (z) = 2 {\ dfrac {\ partial} {\ partial z}} \ mathbf {J} _ {\ nu} (z),}$

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu -1} (z) - \ mathbf {E} _ {\ nu +1} (z) = 2 {\ dfrac {\ partial} {\ partial z}} \ mathbf {E} _ {\ nu} (z).}$

Anger och Weber-funktionerna uppfyller också dessa inhomogena former av fördröjningsdifferentialekvationer

${\ displaystyle z {\ dfrac {\ partial} {\ partial z}} \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) \ pm \ nu \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) = \ pm z \ mathbf {J} _ {\ nu \ mp 1} (z) \ pm {\ frac {\ sin \ pi \ nu} {\ pi}},}$

${\ displaystyle z {\ dfrac {\ partial} {\ partial z}} \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) \ pm \ nu \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = \ pm z \ mathbf {E} _ {\ nu \ mp 1} (z) \ pm {\ frac {1- \ cos \ pi \ nu} {\ pi}}.}$

Referenser

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , red. (1983) [juni 1964]. "Kapitel 12" . Handbok för matematiska funktioner med formler, grafer och matematiska tabeller . Tillämpad matematikserie. 55 (Nionde omtryck med ytterligare korrigeringar av tionde originaltryck med korrigeringar (december 1972); första upplagan). Washington DC; New York: USA: s handelsdepartement, National Bureau of Standards; Dover-publikationer. sid. 498. ISBN   978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . MR   0167642 . LCCN   65-12253 .
• CT Anger, Neueste Schr. d. Naturf. d. Ges. i. Danzig, 5 (1855) s. 1–29
• Prudnikov, AP (2001) [1994], "Anger function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press CS1 maint: avskräckt parameter ( länk )
• Prudnikov, AP (2001) [1994], "Weber-funktion" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• GN Watson , "En avhandling om teorin om Bessel-funktioner", 1–2, Cambridge Univ. Press (1952)
• HF Weber, Zürich Vierteljahresschrift, 24 (1879) s. 33–76