Funkcja gniewu - Anger function

W matematyce funkcja gniewu , wprowadzona przez CT Angera  ( 1855 ), jest funkcją zdefiniowaną jako

${\ Displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) = {\ Frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (\ nu \ theta -z \ sin \ theta) \, d \ theta}$

i jest ściśle powiązany z funkcjami Bessela .

Funkcja Webera (znana również jako funkcja Lommela-Webera ), wprowadzona przez HF Webera  ( 1879 ), jest ściśle powiązaną funkcją zdefiniowaną przez

${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = {\ Frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin (\ nu \ theta -z \ sin \ theta) \, d \ theta}$

i jest blisko spokrewniony z funkcjami Bessela drugiego rodzaju.

Relacja między funkcjami Webera i Gniewu

Funkcje Gniewu i Webera są powiązane przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ sin (\ pi \ nu) \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) & = \ cos (\ pi \ nu) \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) - \ mathbf {E} _ {- \ nu} (z), \\ - \ sin (\ pi \ nu) \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) & = \ cos (\ pi \ nu) \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) - \ mathbf {J} _ {- \ nu} (z), \ end {aligned}}}$

więc w szczególności, jeśli ν nie jest liczbą całkowitą, można je wyrazić jako liniowe kombinacje siebie nawzajem. Jeśli ν jest liczbą całkowitą, to funkcje Angera J _ν są takie same jak funkcje Bessela J _ν , a funkcje Webera można wyrazić jako skończone liniowe kombinacje funkcji Struve'a .

Rozszerzenie serii Power

Funkcja Gniew ma rozszerzenie serii potęg

${\ Displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) = \ cos {\ Frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k}} {4 ^ {k} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ right) \ Gamma \ left (k - {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ right)}} + \ sin {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k + 1} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2} } \ right) \ Gamma \ left (k - {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2}} \ right)}}.}$

Podczas gdy funkcja Webera ma rozszerzenie serii potęg

${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = \ sin {\ Frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k}} {4 ^ {k} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ right) \ Gamma \ left (k - {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ right)}} - \ cos {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k + 1} \ Gamma \ left (k + {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2} } \ right) \ Gamma \ left (k - {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2}} \ right)}}.}$

Równania różniczkowe

Funkcje Gniewu i Webera są rozwiązaniami niejednorodnych form równania Bessela

${\ displaystyle z ^ {2} y ^ {\ prime \ prime} + zy ^ {\ prime} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = 0.}$

Dokładniej, funkcje gniewu spełniają równanie

${\ Displaystyle Z ^ {2} y ^ {\ prime \ prime} + zy ^ {\ prime} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = {\ Frac {(z- \ nu) \ sin (\ pi \ nu)} {\ pi}},}$

a funkcje Webera spełniają równanie

${\ displaystyle z ^ {2} y ^ {\ prime \ prime} + zy ^ {\ prime} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = - {\ Frac {z + \ nu + ( z- \ nu) \ cos (\ pi \ nu)} {\ pi}}.}$

Relacje rekurencyjne

Funkcja Gniew spełnia tę niejednorodną formę relacji nawrotu

${\ Displaystyle Z \ mathbf {J} _ {\ nu -1} (z) + z \ mathbf {J} _ {\ nu +1} (z) = 2 \ nu \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) - {\ frac {2 \ sin \ pi \ nu} {\ pi}}.}$

Natomiast funkcja Webera spełnia tę niejednorodną formę relacji rekurencji

${\ Displaystyle Z \ mathbf {E} _ {\ nu -1} (z) + z \ mathbf {E} _ {\ nu +1} (z) = 2 \ nu \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) - {\ frac {2 (1- \ cos \ pi \ nu)} {\ pi}}.}$

Równania różniczkowe opóźnienia

Funkcje Gniewu i Webera spełniają te jednorodne postacie równań różniczkowych opóźnienia

${\ Displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu -1} (z) - \ mathbf {J} _ {\ nu +1} (z) = 2 {\ dfrac {\ częściowe} {\ częściowe z}} \ mathbf {J} _ {\ nu} (z),}$

${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu -1} (z) - \ mathbf {E} _ {\ nu +1} (z) = 2 {\ dfrac {\ częściowe} {\ częściowe z}} \ mathbf {E} _ {\ nu} (z).}$

Funkcje Gniewu i Webera również spełniają te niejednorodne formy równań różniczkowych opóźnienia

${\ Displaystyle z {\ dfrac {\ częściowe} {\ częściowe z}} \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) \ pm \ nu \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) = \ pm z \ mathbf {J} _ {\ nu \ mp 1} (z) \ pm {\ frac {\ sin \ pi \ nu} {\ pi}},}$

${\ Displaystyle z {\ dfrac {\ częściowe} {\ częściowe z}} \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) \ pm \ nu \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = \ pm z \ mathbf {E} _ {\ nu \ mp 1} (z) \ pm {\ frac {1- \ cos \ pi \ nu} {\ pi}}.}$

Bibliografia

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , wyd. (1983) [czerwiec 1964]. „Rozdział 12” . Podręcznik funkcji matematycznych ze wzorami, wykresami i tabelami matematycznymi . Seria Matematyki Stosowanej. 55 (dziewiąty przedruk z dodatkowymi korektami dziesiątego oryginału z poprawkami (grudzień 1972); wyd. Waszyngton; Nowy Jork: Departament Handlu Stanów Zjednoczonych, National Bureau of Standards; Publikacje Dover. p. 498. ISBN   978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . MR   0167642 . LCCN   65-12253 .
• CT Anger, Neueste Schr. re. Naturf. re. Ges. ja. Danzig, 5 (1855) s. 1–29
• Prudnikov, AP (2001) [1994], „Funkcja gniewu” , Encyklopedia matematyki , EMS Press CS1 maint: zniechęcony parametr ( link )
• Prudnikov, AP (2001) [1994], „Funkcja Webera” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
• GN Watson , „Traktat o teorii funkcji Bessela”, 1–2, Cambridge Univ. Prasa (1952)
• HF Weber, Zurich Vierteljahresschrift, 24 (1879) s. 33–76