Harag funkció - Anger function

A matematika, a Anger funkciót , által bevezetett CT Anger  ( 1855 ), egy függvény, mint

${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ cos (\ nu \ theta -z \ sin \ theta) \, d \ theta}$

és szorosan kapcsolódik Bessel funkcióihoz .

A HF Weber  ( 1879 ) által bevezetett Weber-függvény (más néven Lommel – Weber-függvény ) szorosan összefüggő funkció, amelyet

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ pi} \ sin (\ nu \ theta -z \ sin \ theta) \, d \ theta}$

és szorosan kapcsolódik a második fajta Bessel-funkciókhoz .

A Weber és az Anger függvények kapcsolata

A Harag és a Weber függvényeket a

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sin (\ pi \ nu) \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) & = \ cos (\ pi \ nu) \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) - \ mathbf {E} _ {- \ nu} (z), \\ - \ sin (\ pi \ nu) \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) & = \ cos (\ pi \ nu) \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) - \ mathbf {J} _ {- \ nu} (z), \ end {igazítva}}}$

így különösen, ha ν nem egész szám, akkor egymás lineáris kombinációiként fejezhetők ki. Ha ν jelentése egész szám, akkor Anger funkciók J _ν ugyanazok, mint a Bessel-függvények J _ν , és Weber funkciók fejezhető véges lineáris kombinációi Struve funkciók .

Teljesítménysorozat bővítése

Az Anger funkció kibővíti a hatványsorozatot

${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) = \ cos {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k}} {4 ^ {k} \ Gamma \ bal (k + {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ jobb) \ Gamma \ bal (k - {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ jobb)}} + \ sin {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k + 1} \ Gamma \ bal (k + {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2} } \ jobb) \ Gamma \ bal (k - {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2}} \ jobbra)}}.}$

Míg a Weber funkció kiterjeszti a teljesítménysorozatot

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = \ sin {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k}} {4 ^ {k} \ Gamma \ bal (k + {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ jobb) \ Gamma \ bal (k - {\ frac {\ nu} {2}} + 1 \ jobbra)}} - \ cos {\ frac {\ pi \ nu} {2}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {( -1) ^ {k} z ^ {2k + 1}} {2 ^ {2k + 1} \ Gamma \ bal (k + {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2} } \ jobb) \ Gamma \ bal (k - {\ frac {\ nu} {2}} + {\ frac {3} {2}} \ jobb)}}.}$

Differenciál egyenletek

Az Anger és a Weber függvények Bessel-egyenlet inhomogén formáinak megoldásai

${\ displaystyle z ^ {2} y ^ {\ prime \ prime} + zy ^ {\ prime} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = 0.}$

Pontosabban, a Harag függvények kielégítik az egyenletet

${\ displaystyle z ^ {2} y ^ {\ prime \ prime} + zy ^ {\ prime} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = {\ frac {(z- \ nu) \ sin (\ pi \ nu)} {\ pi}},}$

és a Weber-függvények kielégítik az egyenletet

${\ displaystyle z ^ {2} y ^ {\ prime \ prime} + zy ^ {\ prime} + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) y = - {\ frac {z + \ nu + ( z- \ nu) \ cos (\ pi \ nu)} {\ pi}}.}$

Ismétlődési viszonyok

A Harag függvény kielégíti a megismétlődés relációjának ezt az inhomogén formáját

${\ displaystyle z \ mathbf {J} _ {\ nu -1} (z) + z \ mathbf {J} _ {\ nu +1} (z) = 2 \ nu \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) - {\ frac {2 \ sin \ pi \ nu} {\ pi}}.}$

Míg a Weber-függvény kielégíti a megismétlődés relációjának ezt az inhomogén formáját

${\ displaystyle z \ mathbf {E} _ {\ nu -1} (z) + z \ mathbf {E} _ {\ nu +1} (z) = 2 \ nu \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) - {\ frac {2 (1- \ cos \ pi \ nu)} {\ pi}}.}$

Késleltesse a differenciálegyenleteket

Az Anger és Weber függvények kielégítik a késleltetési differenciálegyenletek ezen homogén formáit

${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ nu -1} (z) - \ mathbf {J} _ {\ nu +1} (z) = 2 {\ dfrac {\ részleges} {\ részben z}} \ mathbf {J} _ {\ nu} (z),}$

${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {\ nu -1} (z) - \ mathbf {E} _ {\ nu +1} (z) = 2 {\ dfrac {\ részleges} {\ részleges z}} \ mathbf {E} _ {\ nu} (z).}$

Az Anger és a Weber függvények kielégítik a késleltetési differenciálegyenletek ezen inhomogén formáit is

${\ displaystyle z {\ dfrac {\ részleges} {\ részleges z}} \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) \ pm \ nu \ mathbf {J} _ {\ nu} (z) = \ pm z \ mathbf {J} _ {\ nu \ mp 1} (z) \ pm {\ frac {\ sin \ pi \ nu} {\ pi}},}$

${\ displaystyle z {\ dfrac {\ részleges} {\ részleges z}} \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) \ pm \ nu \ mathbf {E} _ {\ nu} (z) = \ pm z \ mathbf {E} _ {\ nu \ mp 1} (z) \ pm {\ frac {1- \ cos \ pi \ nu} {\ pi}}.}$

Hivatkozások

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , szerk. (1983) [1964. június]. "12. fejezet" . Matematikai függvények kézikönyve képletekkel, grafikonokkal és matematikai táblázatokkal . Alkalmazott matematika sorozat. 55. (Kilencedik újranyomás a tizedik eredeti nyomtatás további javításával javításokkal (1972. december); első kiadás). Washington DC; New York: Egyesült Államok Kereskedelmi Minisztériuma, Nemzeti Szabványügyi Hivatal; Dover Publications. o. 498. ISBN   978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . MR   0167642 . LCCN   65-12253 .
• CT Harag, Neueste Schr. d. Naturf. d. Ges. én. Danzig, 5 (1855) 1–29
• Prudnikov, AP (2001) [1994], "Harag funkció" , Matematika Enciklopédia , EMS Press CS1 maint: nem javasolt paraméter ( link )
• Prudnikov, AP (2001) [1994], "Weber function" , Matematika Enciklopédia , EMS Press
• GN Watson , "A traktátus a Bessel-függvények elméletéről", 1–2, Cambridge Univ. Sajtó (1952)
• HF Weber, Zürich Vierteljahresschrift, 24 (1879) 33–76.