Faktor - Factorion

I tallteori , en factorion i et gitt tallsystem er et naturlig tall som er lik summen av de factorials til sine sifre . Navnefaktoren ble laget av forfatteren Clifford A. Pickover . ${\ displaystyle b}$

Definisjon

La være et naturlig tall. For en base , definerer vi summen av fakultetet av sifrene til , å være følgende: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b> 1}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle SFD_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle SFD_ {b} (n) = \ sum _ {i = 0}^{k-1} d_ {i}!}$.

hvor er antall siffer i tallet i basen , er faktoren til og ${\ displaystyle k = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle n!}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod {b^{i+1}}}-n {\ bmod {b^{i}}}} {b^{i}}}}}$

er verdien av det sifferet i tallet. Et naturlig tall er en - faktor hvis det er et fast punkt for , dvs. hvis . og er faste punkter for alle baser , og er dermed trivielle faktorer for alle , og alle andre faktorer er ikke -trivielle faktorer . ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle SFD_ {b}}$${\ displaystyle SFD_ {b} (n) = n}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$

For eksempel er tallet 145 i basen en faktor fordi . ${\ displaystyle b = 10}$${\ displaystyle 145 = 1! +4! +5!}$

For summen av sifferfaktoren er ganske enkelt antall siffer i grunn 2 -representasjonen siden . ${\ displaystyle b = 2}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 0! = 1! = 1}$

En naturlig tall er et sosialt factorion hvis det er en periodisk punkt for , hvor for et positivt heltall , og danner en syklus av perioden . En faktor er en sosial faktor med , og en minnelig faktor er en sosial faktor med . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle SFD_ {b}}$${\ displaystyle SFD_ {b}^{k} (n) = n}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k = 1}$${\ displaystyle k = 2}$

Alle naturlige tall er forhåndsperioder for , uavhengig av basen. Dette er fordi alle naturlige tall med base med sifre tilfredsstiller . Imidlertid når , da for , så noen vil tilfredsstille til . Det er endelig mange naturlige tall mindre enn , så tallet vil garantert nå et periodisk punkt eller et fast punkt mindre enn , noe som gjør det til et forhåndsperiode. For , antall sifre for et hvilket som helst tall, nok en gang, noe som gjør det til et forhåndsperiode. Dette betyr også at det er et begrenset antall faktorer og sykluser for en gitt base . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle SFD_ {b}}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle b^{k-1} \ leq n \ leq (b-1)! (k)}$${\ displaystyle k \ geq b}$${\ displaystyle b^{k-1}> (b-1)! (k)}$${\ displaystyle b> 2}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n> SFD_ {b} (n)}$${\ displaystyle n <b^{b}}$${\ displaystyle b^{b}}$${\ displaystyle b^{b}}$${\ displaystyle b = 2}$${\ displaystyle k \ leq n}$${\ displaystyle b}$

Antall iterasjoner som trengs for å nå et fast punkt er funksjonens utholdenhet av , og udefinert hvis den aldri når et fast punkt. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle SFD_ {b}^{i} (n)}$${\ displaystyle SFD_ {b}}$${\ displaystyle n}$

Faktorer for ${\ displaystyle SFD_ {b}}$

b = ( k - 1)!

La være et positivt heltall og tallbasen . Deretter: ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle b = (k-1)!}$

• ${\ displaystyle n_ {1} = kb+1}$er en faktor for alle .${\ displaystyle SFD_ {b}}$${\ displaystyle k}$

• ${\ displaystyle n_ {2} = kb+2}$er en faktor for alle .${\ displaystyle SFD_ {b}}$${\ displaystyle k}$

Faktorer

${\ displaystyle k}$	${\ displaystyle b}$	${\ displaystyle n_ {1}}$	${\ displaystyle n_ {2}}$
4	6	41	42
5	24	51	52
6	120	61	62
7	720	71	72

b = k ! - k + 1

La være et positivt heltall og tallbasen . Deretter: ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle b = k! -k+1}$

• ${\ displaystyle n_ {1} = b+k}$er en faktor for alle .${\ displaystyle SFD_ {b}}$${\ displaystyle k}$

Faktorer

${\ displaystyle k}$	${\ displaystyle b}$	${\ displaystyle n_ {1}}$
3	4	1. 3
4	21	14
5	116	15
6	715	16

Tabell over faktorer og sykluser av ${\ displaystyle SFD_ {b}}$

Alle tall er representert i basen . ${\ displaystyle b}$

Utgangspunkt ${\ displaystyle b}$	Ikke -privat faktor ( , ) ${\ displaystyle n \ neq 1}$${\ displaystyle n \ neq 2}$	Sykler
2	${\ displaystyle \ varnothing}$	${\ displaystyle \ varnothing}$
3	${\ displaystyle \ varnothing}$	${\ displaystyle \ varnothing}$
4	1. 3	3 → 12 → 3
5	144	${\ displaystyle \ varnothing}$
6	41, 42	${\ displaystyle \ varnothing}$
7	${\ displaystyle \ varnothing}$	36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36
8	${\ displaystyle \ varnothing}$	3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175
9	62558
10	145, 40585	871 → 45361 → 871 872 → 45362 → 872

Programmeringseksempel

Eksemplet nedenfor implementerer summen av faktoren til sifrene beskrevet i definisjonen ovenfor for å søke etter faktorer og sykluser i Python .

def factorial(x: int) -> int:
    total = 1
    for i in range(0, x):
        total = total * (i + 1)
    return total

def sfd(x: int, b: int) -> int:
    """Sum of the factorial of the digits."""
    total = 0
    while x > 0:
        total = total + factorial(x % b)
        x = x // b
    return total

def sfd_cycle(x: int, b: int) -> List[int]:
    seen = []
    while x not in seen:
        seen.append(x)
        x = sfd(x, b)
    cycle = []
    while x not in cycle:
        cycle.append(x)
        x = sfd(x, b)
    return cycle

Se også

• Aritmetisk dynamikk
• Dudeney nummer
• Lykkelig nummer
• Kaprekar er konstant
• Kaprekar nummer
• Meertens nummer
• Narsissistisk tall
• Perfekt siffer-til-siffer invariant
• Perfekt digital invariant
• Sum-produktnummer

Referanser

Eksterne linker

• Factorion hos Wolfram MathWorld