Faktor - Factorion

V teorii čísel , je factorion v dané základní číslo je přirozené číslo , které se rovná součtu faktoriálů jeho číslic . Název factorion vytvořil autor Clifford A. Pickover . ${\ displaystyle b}$

Definice

Nechť je přirozené číslo. Pro základnu , definujeme součet faktoriálem číslic z , , být následující: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b> 1}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle SFD_ {b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle SFD_ {b} (n) = \ sum _ {i = 0}^{k-1} d_ {i}!}$.

kde je počet číslic v počtu v základně , je faktoriál of a ${\ Displaystyle k = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle n!}$${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod {b^{i+1}}}-n {\ bmod {b^{i}}}} {b^{i}}}}$

je hodnota th číslice čísla. Přirozené číslo je - faktor, pokud je pevným bodem pro , tj. Pokud . a jsou pevnými body pro všechny báze , a jsou tedy triviálními faktory pro všechny a všechny ostatní faktory jsou netriviální faktory . ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle SFD_ {b}}$${\ displaystyle SFD_ {b} (n) = n}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b}$

Například číslo 145 v základu je faktor, protože . ${\ displaystyle b = 10}$${\ displaystyle 145 = 1! +4! +5!}$

Neboť součet faktoriálu číslic je jednoduše počet číslic v reprezentaci báze 2 od . ${\ displaystyle b = 2}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 0! = 1! = 1}$

Přirozené číslo je společenským faktorem, pokud je periodickým bodem pro , kde pro kladné celé číslo a tvoří cyklus období . Faktor je společenský faktor s a přátelský faktor je společenský faktor s . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle SFD_ {b}}$${\ displaystyle SFD_ {b}^{k} (n) = n}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k = 1}$${\ displaystyle k = 2}$

Všechna přirozená čísla jsou preperiodickými body pro bez ohledu na základnu. Důvodem je, že všechna přirozená čísla základny s číslicemi splňují . Když však, pak pro , tak každý uspokojí do . Konečně existuje mnoho přirozených čísel méně než , takže je zaručeno, že počet dosáhne periodického bodu nebo pevného bodu méně než , což z něj činí předperiodický bod. For , počet číslic pro libovolné číslo, opět, což z něj činí předperiodický bod. To také znamená, že pro danou základnu existuje konečný počet faktorů a cyklů . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle SFD_ {b}}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle b^{k-1} \ leq n \ leq (b-1)! (k)}$${\ Displaystyle k \ geq b}$${\ Displaystyle b^{k-1}> (b-1)! (k)}$${\ displaystyle b> 2}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n> SFD_ {b} (n)}$${\ Displaystyle n <b^{b}}$${\ displaystyle b^{b}}$${\ displaystyle b^{b}}$${\ displaystyle b = 2}$${\ Displaystyle k \ leq n}$${\ displaystyle b}$

Počet iterací potřebných pro dosažení pevného bodu je na funkci jeho vytrvalost of a nedefinované pokud to nikdy nedosáhne pevného bodu. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle SFD_ {b}^{i} (n)}$${\ displaystyle SFD_ {b}}$${\ displaystyle n}$

Faktory pro ${\ displaystyle SFD_ {b}}$

b = ( k - 1)!

Nechť je kladné celé číslo a číselná základna . Pak: ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle b = (k-1)!}$

• ${\ displaystyle n_ {1} = kb+1}$je faktorem pro všechny .${\ displaystyle SFD_ {b}}$${\ displaystyle k}$

• ${\ displaystyle n_ {2} = kb+2}$je faktorem pro všechny .${\ displaystyle SFD_ {b}}$${\ displaystyle k}$

Faktory

${\ displaystyle k}$	${\ displaystyle b}$	${\ displaystyle n_ {1}}$	${\ displaystyle n_ {2}}$
4	6	41	42
5	24	51	52
6	120	61	62
7	720	71	72

b = k ! - k + 1

Nechť je kladné celé číslo a číselná základna . Pak: ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle b = k! -k+1}$

• ${\ displaystyle n_ {1} = b+k}$je faktorem pro všechny .${\ displaystyle SFD_ {b}}$${\ displaystyle k}$

Faktory

${\ displaystyle k}$	${\ displaystyle b}$	${\ displaystyle n_ {1}}$
3	4	13
4	21	14
5	116	15
6	715	16

Tabulka faktorů a cyklů ${\ displaystyle SFD_ {b}}$

Všechna čísla jsou uvedena v základu . ${\ displaystyle b}$

Základna ${\ displaystyle b}$	Netriviální faktor ( , ) ${\ Displaystyle n \ neq 1}$${\ Displaystyle n \ neq 2}$	Cykly
2	${\ displaystyle \ varnothing}$	${\ displaystyle \ varnothing}$
3	${\ displaystyle \ varnothing}$	${\ displaystyle \ varnothing}$
4	13	3 → 12 → 3
5	144	${\ displaystyle \ varnothing}$
6	41, 42	${\ displaystyle \ varnothing}$
7	${\ displaystyle \ varnothing}$	36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36
8	${\ displaystyle \ varnothing}$	3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175
9	62558
10	145, 40585	871 → 45361 → 871 872 → 45362 → 872

Příklad programování

Následující příklad implementuje součet faktoriálů číslic popsaných v definici výše pro hledání faktorů a cyklů v Pythonu .

def factorial(x: int) -> int:
    total = 1
    for i in range(0, x):
        total = total * (i + 1)
    return total

def sfd(x: int, b: int) -> int:
    """Sum of the factorial of the digits."""
    total = 0
    while x > 0:
        total = total + factorial(x % b)
        x = x // b
    return total

def sfd_cycle(x: int, b: int) -> List[int]:
    seen = []
    while x not in seen:
        seen.append(x)
        x = sfd(x, b)
    cycle = []
    while x not in cycle:
        cycle.append(x)
        x = sfd(x, b)
    return cycle

Viz také

• Aritmetická dynamika
• Dudeneyho číslo
• Šťastné číslo
• Kaprekarova konstanta
• Kaprekarovo číslo
• Meertensovo číslo
• Narcistické číslo
• Perfektní invariant mezi číslicemi a číslicemi
• Perfektní digitální invariant
• Souhrnné číslo produktu

Reference

externí odkazy

• Factorion ve společnosti Wolfram MathWorld